第二章行列式 §1引言、§2排列 教学目标掌握排列的概念、性质及逆序数的计算方法 教学重点：排列的概念、性质。 教学方法：讲授法 教学过程 解方程是代数中一个基本的问题这一章和下一章主要地就是讨论一般的多元一次方程组，即线性 方程组这一章是引进行列式来解线性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问 在中学代数课中学过对于二元线性方程组 a+ax2=b a2X+a222=b2 当二级行列式凸：≠0时.该方程组有唯一解即 anan 6a2 %,5 x= b2 an az b2 对于三元线性方程组有相仿的结论在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组 a+a2d3++awx。=, a2x+a2z2+.+a2nxn=2 an+an22+.+amxn=bn, 的情形为此我们首先要给出级行列式的定义并讨论它的性质，这就是本章的主要内容。 作为定义级行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质 定义1由l,2,n组成的一个有序数组称为一个n级排列 例如，2431是一个四能排列，45321是一个5级排列，我们知道n级排列的总数是 n-(n-1)(n-2).2.1,我们记 12.(n-1)-n=nl
第二章 行列式 §1 引言、§2 排列 教学目标: 掌握排列的概念、性质及逆序数的计算方法. 教学重点: 排列的概念、性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 解方程是代数中一个基本的问题.这一章和下一章主要地就是讨论一般的多元一次方程组,即线性 方程组.这一章是引进行列式来解线性方程组,而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问 题. 在中学代数课中学过,对于二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , , a x a x b a x a x b + = + = 当二级行列式 11 12 21 22 0 a a a a 时,该方程组有唯一解,即 1 12 11 1 2 22 21 2 1 2 11 12 11 12 21 22 21 22 , b a a b b a a b x x a a a a a a a a = = 对于三元线性方程组有相仿的结论.在这一章我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , , , n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 的情形.为此,我们首先要给出 n 级行列式的定义并讨论它的性质,这就是本章的主要内容. 作为定义级行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质 定义 1 由 1,2, , n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列. 例 如 ,2431 是 一 个 四 能 排 列 ,45321 是一个 5 级排列 , 我 们 知 道 n 级 排 列 的 总 数 是 n n n − − ( 1) ( 2) 2 1, 我们记 1 2 ( 1) ! − = n n n
读为“n阶乘”例如：41=4-3-21=24,51=120nl随着n的增大迅速增大.例如，101=362880， 显然12.n也是一个级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的：其它的排列 都或少地破坏自然顺序 定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那末它 们就称为一个逆序一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数 例如2431中，21,43,41,31是逆序2431的逆序数就是4.而45321的逆序数是9 排列小2.n的逆序数记为U2.) 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列 例如.2431是偶排列：45321是奇排列：12.n的逆序数是零，因之是偶排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为n级排列对这 样一般的刀级挂列同样可以定义上面这 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列这样一个变换称为一个 对换例如，经过1,2对换，排列2431就变成了1432就变成了1234，显然，如果连续施行两次相同的对换， 那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对.使每两个配成对的级排列在这个对 换下互变 于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实 定 对换改变排列的奇偶性 就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形排列 .jk. () 经过，k对换变成 . ② 这里”"表示那些不动的数显然，在排列(1)中如，k与其它的数构成逆序，则在排列(2)中仍然构成逆 序：如不构成逆序则在(2)中也不构成逆序：不同的只是，k的次序.如果原来j,k组成逆序，那么经过对 换逆序数就减少一个如果原来广，k不组成逆序，那么经过对，逆序数就增加一个不论增加1还是减少 1,排列的逆序数的奇偶性总是变了.因之，在这个特殊的情形，定理是对的 再看一般的情形设排列为 .j吨.k., (3) 经过，k对换，排列(3)变成.站.，J 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现从(3)出发，把k与，对换，再与引， 对换.，也就是说把k一位一位地向左移动经过3+1次相邻位置的对换，排列(3)就变成 i. (5)
读为“ n 阶乘”.例如: 4! 4 3 2 1 24,5! 120. ! = = = n 随着 n 的增大迅速增大.例如,10!=362880. 显然 12n 也是一个 n 级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序排起来的;其它的排列 都或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那末它 们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 例如 2431 中,21,43,41,31 是逆序,2431 的逆序数就是 4.而 45321 的逆序数是 9. 排列 1 2 n j j j 的逆序数记为 1 2 ( ) n j j j . 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列. 例如,2431 是偶排列;45321 是奇排列; 12n 的逆序数是零,因之是偶排列. 应该指出,我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列,一般地也称为 n 级排列.对这 样一般的 n 级排列,同样可以定义上面这些概念. 把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列.这样一个变换称为一个 对换.例如,经过 1,2 对换,排列 2431 就变成了 1432 就变成了 1234,显然,如果连续施行两次相同的对换, 那么排列就还原了.由此得知,一个对换把全部 n 级排列两两配对,使每两个配成对的 n 级排列在这个对 换下互变. 关于排列的奇偶性,我们有下面的基本事实. 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列. 证明 先看一个特殊的情形,即对换的两个数在排列中是相邻的情形.排列 jk (1) 经过 j k, 对换变成 kj , (2) 这里 " " 表示那些不动的数.显然,在排列(1)中如 j k, 与其它的数构成逆序,则在排列(2)中仍然构成逆 序;如不构成逆序则在(2)中也不构成逆序;不同的只是 j k, 的次序.如果原来 j k, 组成逆序,那么经过对 换,逆序数就减少一个.如果原来 j k, 不组成逆序,那么经过对,逆序数就增加一个.不论增加 1 还是减少 1,排列的逆序数的奇偶性总是变了.因之,在这个特殊的情形,定理是对的. 再看一般的情形.设排列为 1 2 s ji i i k ， （3） 经过 j k, 对换,排列(3)变成 1 2 s ki i i j . 不难看出,这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现.从(3)出发,把 k 与 s i 对换,再与 s 1 i − 对换 ,也就是说,把 k 一位一位地向左移动.经过 s +1 次相邻位置的对换,排列(3)就变成 1 2 s kji i i . (5)
从(5)出发，再把了一位一位地向右移动，经过s次相邻位置的对换，排列(5)就变成了排列(4).因之，了，k 对换可以通过23+1次相邻位置的对换来实现.25+1是奇数相邻位置的对换改变排列的奇偶性显 然，奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性. 定理2任意一个n级排列与排列12.n都可以经过一毓对换互变，并且所作对换的个数与这个 排列有相同的奇偶性 证明我们对排列的级数n作数学归纳法，来证任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成 12.n 1级排列只有一个，结论显然成立. 假设结论对n一1级排列已经成立，现在来证对n级排列的情形结论也成立 设店.jn是一个n级排列，如果。=n,那么根据归纳法假设，n-1级排列2可以经 过一系列对换变成，12.n-1于是这一系列对换也就把2.n变成12.n.如果j≠n,那么对 2.jn作广n,n对换，它就六.n变成这就归结成上面的情形.因此结论普遍成立 相仿地，12.n也可用一系列对换变成2,因为12.n是偶排列，所以根据定理1，所作对换的 个数与排列12.n有相同的奇偶性 作业：Pg7,习题4. 预习：下一节基本概念 §3n级行列式 教学目标掌握的级行列式的概念、特殊行列式的计算方法 教学重点：n级行列式的概念 教学方法：讲授法 教学过程 从这一节开始，我们总是取一固定的数域P·作为基础，所谈到的数都是指这个数域P中的数，所 考虑的行列式也都是数域P上的行列式. 在给出级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义我们有 a ddhdis-dedan
从(5)出发,再把 j 一位一位地向右移动,经过 s 次相邻位置的对换,排列(5)就变成了排列(4).因之, j k, 对换可以通过 2 1 s + 次相邻位置的对换来实现. 2 1 s + 是奇数.相邻位置的对换改变排列的奇偶性.显 然,奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性. 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一毓对换互变,并且所作对换的个数与这个 排列有相同的奇偶性. 证明 我们对排列的级数 n 作数学归纳法,来证任意一个 n 级排列都可以经过一系列对换变成 12n 1 级排列只有一个,结论显然成立. 假设结论对 n−1 级排列已经成立,现在来证对 n 级排列的情形结论也成立. 设 1 2 n j j j 是一个 n 级排列,如果 n j n = ,那么根据归纳法假设, n−1 级排列 1 2 1 n j j j − 可以经 过一系列对换变成, 12 1 −n 于是这一系列对换也就把 1 2 n j j j 变成 12n .如果 n j n ,那么对 1 2 n j j j 作 , n j n 对换,它就 1 1 n j j n− 变成,这就归结成上面的情形.因此结论普遍成立. 相仿地, 12n 也可用一系列对换变成 1 2 n j j j ,因为 12n 是偶排列,所以根据定理 1,所作对换的 个数与排列 12n 有相同的奇偶性. 作业: P97，习题 4. 预习: 下一节基本概念. §3 n 级行列式 教学目标: 掌握的 n 级行列式的概念、特殊行列式的计算方法. 教学重点: n 级行列式的概念. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 从这一节开始,我们总是取一固定的数域 P 作为基础,所谈到的数都是指这个数域 P 中的数,所 考虑的行列式也都是数域 P 上的行列式. 在给出 n 级行列式的定义之前,先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有 11 12 11 22 12 21 21 22 , a a a a a a a a = − (1)
an an a a21a22a2g=a42zag+az42a31+ag421a2-4a241-a2421ag-414a2 asasas 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式 中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成在n=2 时，由不同行不同列的元素构成的乘积只有a,42与a,4,这两项，在n=3时也不难看出只有(2)中的 6项这是二级和三级行列式的特征的一个方面另一方面，每一项乘积都带有符号这符号是按什么原则 决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 (3) 其中23是1,2,3，的一个排列.可以看出，当3是偶排列时，对应的项在(2)中带有正号，当小2是 奇排列时带有负号.二级行列式显然也符合这个原则。 上面对二级和三级行列式的分析对于我们理解一般的定义是有帮助的.下面就来给出级行列式 的定义 定义4n级行列式 a1a2.a2 aa.a . dd2.ann 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 (5) 的代数和，这里2.jn是1,2，.，n的一个排列，每一项(5)都按下列规则带有符号：当2.1n是偶排 列时(5)带有正号，当2.是奇排列时，（⑤）带有负号.这一定义可写成 a1a.ae =∑(-l5aa.a (6 这里，三表示对所有级排列求和 定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同先不同列元素构成的乘积把构成这 些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号 由定义立即看出，n级行列式是由！项组成的
11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + 13 22 31 12 21 33 11 23 32 − − − a a a a a a a a a (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出,它们都是一些乘积的代数和,而每一项乘积都是由行列式 中位于不同的行和不同的列的元素构成的,并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.在 n = 2 时,由不同行不同列的元素构成的乘积只有 11 22 a a 与 12 21 a a , 这两项,在 n = 3 时也不难看出只有(2)中的 6 项.这是二级和三级行列式的特征的一个方面.另一方面,每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则 决定的呢?在三级行列式的展开式(2)中,项的一般形式可以写成 1 2 3 1 2 3 j j j a a a , (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1,2,3,的一个排列.可以看出,当 1 2 3 j j j 是偶排列时,对应的项在(2)中带有正号,当 1 2 3 j j j 是 奇排列时带有负号.二级行列式显然也符合这个原则. 上面对二级和三级行列式的分析对于我们理解一般的定义是有帮助的.下面就来给出 n 级行列式 的定义. 定义 4 n 级行列式 11 12 12 21 22 22 n n nn 1 2 a a a a a a a a a (4) 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 1 2 1 2 n j j nj a a a (5) 的代数和,这里 1 2 n j j j 是 1, 2, , n 的一个排列,每一项(5)都按下列规则带有符号:当 1 2 n j j j 是偶排 列时,(5)带有正号,当 1 2 n j j j 是奇排列时,(5)带有负号.这一定义可写成 1 2 1 2 1 2 11 12 12 21 22 22 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a = − (6) 这里 1 2 n j j j 表示对所有级排列求和. 定义表明,为了计算 n 级行列式,首先作所有可能由位于不同先不同列元素构成的乘积.把构成这 些乘积的元素按行指标排成自然顺序,然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号 由定义立即看出, n 级行列式是由 n! 项组成的
0001 例1 4000 这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！=24项但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数 就大减少了.我们具体地来看一下展开式中项的一般形式是a464,4显然，如果人≠4，那么 4,=0,从而这个项就等于零.因此只须考虑方=4的那些项：同理，只须考虑2=3，乃=2，j4=1这 些列指标的项这就是说，行列式中不为零的项只有4,4,4241这一项，而t(4321)=6,这一项前面的 符号应该是正的所以 0001 0020 0300 =123.4=24 4000 例2计算上三角形行列式 (7 00.am 我们先来看一下，形如（⑤式的项有哪一些不为零，然后再来决定它们的符号.项的一般形式为 a4h.0 在行列式中第n行的元素除去am以外全为零，因之，只要考虑n=n的那些项在第n-1行中，除去 a-m-,a-n外，其余的项全为零，因之n,只有n-l,n,这两个可能由于jn=n,所以j就不能等于 n了，从而j=n-1这样逐步推上去不难看出，在展开式中，除去442.am这一项外，其余的项 全是0.而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号于是 0a2.a2n =a,a.aw (8) 00.am 换句话说，这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积作为8)的特殊情 形，有
例1 计算行列式 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4000 这是一个四级行列式,在展开式中应该有 4! 24 = 项.但是由于出现很多的零,所以不等于零的项数 就大减少了.我们具体地来看一下展开式中项的一般形式是 1 2 3 4 1 2 3 4 j j j j a a a a .显然,如果 1 j 4 ,那么 1 1 0 j a = ,从而这个项就等于零.因此只须考虑 1 j = 4 的那些项;同理,只须考虑 2 j = 3, 3 j = 2, 4 j =1 这 些列指标的项.这就是说,行列式中不为零的项只有 14 23 32 41 a a a a 这一项,而 (4321) 6 = ,这一项前面的 符号应该是正的.所以 0 0 0 1 0 0 2 0 1 2 3 4 24 0 3 0 0 4000 = = 例2 计算上三角形行列式 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a (7) 我们先来看一下,形如(5)式的项有哪一些不为零,然后再来决定它们的符号.项的一般形式为 1 2 1 2 n j j nj a a a 在行列式中第 n 行的元素除去 nn a 以外全为零,因之,只要考虑 n j n = 的那些项.在第 n−1 行中,除去 1, 1 1, , n n n n a a − − − 外,其余的项全为零,因之 n 1 j − 只有 n n −1, ,这两个可能.由于 n j n = ,所以 n 1 j − 就不能等于 n 了,从而 1 1 n j n − = − .这样逐步推上去,不难看出,在展开式中,除去 11 22 nn a a a 这一项外,其余的项 全是 0 .而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列,所以这一项带正号.于是 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 11 22 nn = a a a (8) 换句话说,这个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的乘积.作为(8)的特殊情 形,有
40.0 04.0 =dd.d (9) l00.d 对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式(9)说明了对角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把个元素按行指标排起来事实上，数的乘法是 交换的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成 a.0 (10) 其中.，2.jn,是两个n级排列利用排列的性质，不难证明，(10)的符号等于 (-l)45h (11) 事实上，为了根据定义来决定(11)的符号，就要把这个元素重新排一下使得它们的行指标成自然顺 序，也就是排成 a4r42g.am (12) 于是它的符号是 （-y) (13) 现在米证明(1)与(13)是致的.我们知道，由(10)变到(12)可以经过一系列元素的对换米实现每作一次对 换元素的行指标与列指标所成的排列，.i,与.n,就都同时作一次对换，也就是2.) 与t(j2.j)同时改变奇偶性，因而它们的和（中.）+t(2.j)的奇偶性不改变这就是说， 对(10)作一次元素的对换不改变(1)的值因此，在一系列对换之后有 (-1)5*U-》=(-1)252)=(-1)-2) 这就证明了(1)与(13)是一致的. 例如，a14244a:是4级行列式中一项，t(2314)-2,t1243)=1于是它的符号应 为.(-)21=-1如按行指标排列起来，就是a41a2a,t(4123)=3因而它的符号也是(-l)=-】 按(1山)米决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定 每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来于是定义又可写成 a1a2.a2 =∑(-lrwaaa (14) aa2.am
1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n n d d d d d d = (9) 对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.(9)说明了对角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积. 在行列式的定义中,为了决定每一项的正负号,我们把个元素按行指标排起来.事实上,数的乘法是 交换的,因而这 n 个元素的次序是可以任意写的,一般地, n 级行列式中的项可以写成 1 2 1 2 n j j nj a a a (10) 其中 1 2 , n i i i 1 2 , n j j j 是两个 n 级排列.利用排列的性质,不难证明,(10)的符号等于 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) n n i i i r j j j + − (11) 事实上,为了根据定义来决定(11)的符号,就要把这个元素重新排一下使得它们的行指标成自然顺 序,也就是排成 1 2 1 2 n j j nj a a a (12) 于是它的符号是 1 2 ( ) ( 1) n r j j j − (13) 现在来证明(11)与(13)是致的.我们知道,由(10)变到(12)可以经过一系列元素的对换来实现.每作一次对 换,元素的行指标与列指标所成的排列 1 2 , n i i i 与 1 2 , n j j j 就都同时作一次对换,也就是 1 2 ( ), n i i i 与 1 2 ( ) n j j j 同时改变.奇偶性,因而它们的和 1 2 ( ) n i i i + 1 2 ( ) n j j j 的奇偶性不改变.这就是说, 对(10)作一次元素的对换不改变(11)的值.因此,在一系列对换之后有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) n n i i i r j j j + − 1 2 (12 ) ( ) ( 1) n n j j j + = − 1 2 ( ) ( 1) n j j j = − 这就证明了(11)与(13)是一致的. 例 如 , 21 32 14 43 a a a a 是 4 级 行 列 式 中 一 项 , (2314) 2 = , (1243) 1 = 于 是 它 的 符 号 应 为. 2 1 ( 1) 1 + − = − 如按行指标排列起来,就是 14 21 32 43 a a a a , (4123) 3 = 因而它的符号也是 3 ( 1) 1 − = − 按(11)来决定行列式中每一项的符号的好处在于,行指标与列指标的地位是对称的,因而为了决定 每一项的符号,我们同样可以把每一项按列指标排起来,于是定义又可写成 1 2 1 2 1 2 11 12 12 21 22 22 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n i i i i i ni i i i n n nn a a a a a a a a a a a a = − (14)
由此即得行列式的下列性质： 性质】行列互换，行列式不变即 aa.ana1a.a1 4a2am2 (15) a。a2m.anm 事实上元素，在(15)的右端位于第j行第1列，这就是说，1是它的列指标，j是它的行指标因之， 把右端按(14)展开就等于 三.r“a,a。8 它正是左端按(6)的展开式。 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立 作业 P97,习题8之2) 预习：下一节基本概念 §4n级行列式的性质 教学目标掌握n级行列式的性质，会应用行列式的性质计算行列式 教学重点：n级行列式的性质， 教学方法：讲授法 教学过程 n级行列式一共有项l项，计算它就需做nl(n-1)个乘法当n较大时，nl是一个相当大的数字 直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事因此我们有必要进一步讨论行列式的性质利用这些性质 可以化简行列式的计算 在行列式的定义中，虽然每一项是”个元素的乘积，但是由于这”个元素是取自不同的行与列，所以 对于某一确定的行中n个元素（譬如a1,a2,.,a)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的 个元素因之，n级行列式的nl项可以分成n组，第一组的项都含有a1,第二组的项都含有a2等等再 分别把i行的元素提出来，就有
由此即得行列式的下列性质: 性质 1 行列互换,行列式不变.即 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a = (15) 事实上,元素 ij a 在(15)的右端位于第 j 行第 i 列,这就是说, i 是它的列指标, j 是它的行指标.因之, 把右端按(14)展开就等于 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n j j j j j nj j j j a a a − 它正是左端按(6)的展开式. 性质 1 表明,在行列式中行与列的地位是对称的,因之凡是有关行的性质,对列也同样成立. 作业: P97,习题 8 之 2). 预习: 下一节基本概念. §4 n 级行列式的性质 教学目标: 掌握 n 级行列式的性质，会应用行列式的性质计算行列式. 教学重点: n 级行列式的性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: n 级行列式一共有项 n! 项,计算它就需做 n n !( 1) − 个乘法.当 n 较大时, n! 是一个相当大的数字. 直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此我们有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质 可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中,虽然每一项是 n 个元素的乘积,但是由于这 n 个元素是取自不同的行与列,所以 对于某一确定的行中 n 个元素(譬如 1 2 , , , i i in a a a )来说,每一项都含有其中的一个且只含有其中的一 个元素.因之, n 级行列式的 n! 项可以分成 n 组,第一组的项都含有 i1 a ,第二组的项都含有 i2 a 等等.再 分别把 i 行的元素提出来,就有
a1a2.an =a141+a242+.+anAn, (1) 4.4 la1aa.a 其中A代表那些含有a,的项在提出公因子a,之后的代数和至于A,究竞是哪一些项的和我们暂且 不管，到6再来讨论从以上讨论可以知道，A,中不再含有第1行的元素，也就是 4,A2,.,An全与行列式中第i行的元素无关由此即得 性质2 aa2.an a1a2.am kae.a.=ka:.a an a2.am aiaa2.an 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式 事实上，() atae.a ka1ka2.am kan An +++kam Au aan2. 小. =ka41+ka242+.+Aun=ka1a2.an aa2.an 令k=0,就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零】 生质3 a12 a1a2.ama1a2.an b+Cb,+C,.b.+C a a2 d2.ama a2.am 这就是说如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这 行以外全与原来行列式的对应的行一样 事实上，设这一行是第1行，于是
11 12 1 21 22 2 1 1 2 2 1 2 n n i i i i in in n n nn a a a a a a a A a A a A a a a = + + + , (1) 其中 Aij 代表那些含有 ij a 的项在提出公因子 ij a 之后的代数和.至于 Aij 究竟是哪一些项的和我们暂且 不管,到§6 再来讨论.从以上讨论可以知道, Aij 中不再含有第 i 行的元素,也就是 1 2 , , , A A A i i in 全与行列式中第 i 行的元素无关.由此即得 性质 2 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka k a a a = 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a a a a a a a 这就是说,一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式. 事实上,由(1) 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a = i i i i in in 1 1 2 2 ka A ka A ka A + + + i i i i in in 1 1 2 2 = + + + ka A ka A ka A 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a k a a a a a a = 令 k = 0,就有,如果行列式中一行为零,那么行列式为零. 性质 3 11 12 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n nn a a a b c b c b c a a a + + + = 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a b b b a a a 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a c c c a a a + 这就是说,如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一 行以外全与原来行列式的对应的行一样. 事实上,设这一行是第 i 行,于是
6+Gb2+C3.bn+c=(6+G）4+(b+G2)42+.+(bn+c)Am an2. a =(41+42+.+bnAn)+(G4+C2A2+.+cnAn) az.an .bn +c a.amana2.anm 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等 证明设行列式 a1a2.an a1a2.am (2) a1a2.an an d2.am 中第1行与第k行相同.即 ay=dy.j=12.n (3) 为了证明(2)为零，只须证明(2)的右端所出现的项全能两两相消就行了.事实上，与项 (-)-ha.a%a.a。 同时出现的还有 (-)h4"a.a%.aa 比较这两项，由(3)有a,=a,0=a,也就是说，这两项有相同的数值.但是排列“，一么“，.与 方么.一.相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反易知，全部n级排列可以按上 述形式两两配对.因之，在(2)的右端，对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行 列式为零 性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零 证明
11 12 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n nn a a a b c b c b c a a a + + + 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) i i n n in = + + + + + + b c A b c A b c A 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) i i n in i i n in = + + + + + + + b A b A b A c A c A c A 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a b b b a a a = 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a c c c a a a + . 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质 4 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等. 证明 设行列式 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a 1 1 1 ( ) 1 ( 1) i k n i k n n j j j j j ij kj nj j j a a a a = − (2) 中第 i 行与第 k 行相同,即 , 1,2, , ij kj a a j n = = (3) 为了证明(2)为零,只须证明(2)的右端所出现的项全能两两相消就行了.事实上,与项 1 1 ( ) 1 ( 1) i k n i k n j j j j j ij kj nj a a a a − 同时出现的还有 1 1 ( ) 1 ( 1) i k n i k n j j j j j ij kj nj a a a a − 比较这两项,由(3)有 , , i i k k ij kj ij kj a a a a = = 也就是说,这两项有相同的数值.但是排列 1 i k n j j j j 与 1 k i n j j j j 相差一个对换,因而有相反的奇偶性,所以这两项的符号相反.易知,全部 n 级排列可以按上 述形式两两配对.因之,在(2)的右端,对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现,从而行 列式为零. 性质 5 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零. 证明
an an =A =0 kaka2.ka .am aan2a 这里第一步是根据性质2，第二步是根据性质4. 性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变 证明 a1a2.am a1+ca1aa+cak2.am+ca a1a2a 0 a5, an1a2.anm aa.anaa2.a aca2.ca .a aa2.a2.a 这里，第一步是根据性质3，第二步是根据性质5 根据性质6即得 性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号 证明 a1a2.an a 412 a11 a1+a1a2+ak2.an+a aa+a a2+a.a+a ak1ak2.am 44 -a. -0 -a d2.am a a
11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in i i in n n nn a a a a a a ka ka ka a a a 11 12 1 1 2 1 2 1 2 0 n i i in i i in n n nn a a a a a a k a a a a a a = = 这里第一步是根据性质 2,第二步是根据性质 4. 性质 6 把一行的倍数加到另一行,行列式不变. 证明 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i k i k in kn k k kn n n nn a a a a ca a ca a ca a a a a a a + + + 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a = 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a ca ca ca a a a a a a + 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a = 这里,第一步是根据性质 3,第二步是根据性质 5 根据性质 6 即得 性质 7 对换行列式中两行的位置,行列式反号. 证明 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i k i k in kn k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a + + + = 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i k i k in kn i i in n n nn a a a a a a a a a a a a a a a + + + = − − −