《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第六章 线性空间

第六章线性空间 §1线性空间的定义与简单性质 教学目标掌握线性空间的定义与简单性质。 教学重点：线性空间的定义与简单性质。 教学方法讲授法 教学过程 例在第三章中，我们已讨论过，n维向量空间可有加法和数乘两种运算并且它们各分别满足4 条基本算律，同样，在第四章中，我们也已看到，对数域P上的m×(m,n给定)矩阵，也可引入加法与数 乘两种运算.且也有入条基本算律 可以举出很多，它们的背景多种多样，但有一个共同的特点就是都有加法种数乘两种 乙算产韩入基本算律为了把它们院一起来进行研究视久线性空间的醒 定义1设V是一个非空集合，P是一个数域.V的元素间有一个加法运算，V的元素与P的 元素间有一个数乘运算，即对a,BeVk=P.存在唯一R的y∈v的与唯一的o∈V使 y=+B,。=ka,如果上述加法与数乘满足下列算律，则称V为P上的线性空间 1.a+B=B+a; 2.(a+B)+y=a+(B+Y）方 3.oEV使得对a∈V有a+o=a(此元素o称为零元素)， 4.对每个a∈V,都有BeV,使a+B=o(B称为的负元素)： 5.la =a; 6.k(la)=(kl)a 7.(k+=k+la: 8.k(a+B)=ka+kB. 这里,B,y表示V中任意元素，表示P中任意数 由定义；数域P上的n维向量空间是线性空间，记为P

第六章 线性空间 §1 线性空间的定义与简单性质 教学目标: 掌握线性空间的定义与简单性质. 教学重点: 线性空间的定义与简单性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 例 在第三章中，我们已讨论过， n 维向量空间可有加法和数乘两种运算.并且它们各分别满足 4 条基本算律,同样,在第四章中,我们也已看到,对数域 P 上的 m n ( m n, 给定)矩阵,也可引入加法与数 乘两种运算.且也有入条基本算律. 这种例子还可以举出很多,它们的背景多种多样,但有一个共同的特点,就是都有加法种数乘两种 运算且有入条基本算律.为了把它们统一起来进行研究.我们引入线性空间的概念. 定义 1 设 V 是一个非空集合, P 是一个数域. V 的元素间有一个加法运算, V 的元素与 P 的 元素间有一个数乘运算, 即对    , V  = k P . 存在唯一 R 的  v 的与唯一的  V . 使      = + = , k ,如果上述加法与数乘满足下列算律,则称 V 为 P 上的线性空间: 1.     + = + ; 2. ( ) ( );       + + = + + 3.   V 使得对   V 有    + = (此元素  称为零元素); 4.对每个  V ,都有  V ,使    + = (  称为的负元素); 5. 1 ;  = 6. k l kl ( ) ( ) ;   = 7. ( ) ; k l k l + = +    8. k k k ( ) ,     + = + 这里    , , 表示 V 中任意元素, kl 表示 P 中任意数. 由定义;数域 P 上的 n 维向量空间是线性空间,记为 . n P

例1数域P上的一元多项式环P[x]按多项式的加法与数乘作成一个P上的线性空间 例2数域P上的全体m×n矩阵，按矩阵的加法与数乘作成P上的线性空间，记为P 例3全体实函数按函数的加法与数乘作成R上的线性空间. 下面证明线性空间的一些简单性质 1.零元素唯 假设0,02∈'均为零元素则由零元素的定义有 0=0+02=02 2负元素唯 设B,y均为α的负元素，则 B=B+o=B+(a+y=(B+a)+y=(a+B)+y=0+Y=Y 根据此性质，a∈V的唯一的负元素记为-a.并且由此可定义V中减法，如下 a-B=a+(-B). 3.0a=o,ko=o,(-1)a=-. o.a=o.a+a-a=oa+la-a=(0+l)a-a=la-aa=a-a=0 (-1)a+a=(-1+10a=0d=0→-la=-a. ko=k(a-a)=ka+k(-a)=ka+k(-1)a=ka+(-1)(ka)=ka+(-(ka))=0. 4如果ka=0,则k=0或者a=0 假设k≠0，一方面 k(ka)=ko=o 另一方面 k(ka)=(kk)a=la=a 故有a=0. 例4.令V=R*(全体正实数).P=R.对Va,B∈P,k∈P,规定 加法：a⊕B=aB,数量乘法k⊙a=a:则V是P上的线性空间 事实上，易知田是V的元素间的运算⊙是V与P的元素间的运算且⊕显然满足定义中)与 2).⊙显然满足定义中5)-8)，下面确定'中的零元素设8为V中零元素则由零元素定义及⊕的规 定有 0⊕a=a=a→0=1

例1 数域 P 上的一元多项式环 P x .按多项式的加法与数乘作成一个 P 上的线性空间. 例2 数域 P 上的全体 m n 矩阵,按矩阵的加法与数乘作成 P 上的线性空间,记为 m n P  例3 全体实函数,按函数的加法与数乘作成 R 上的线性空间. 下面证明线性空间的一些简单性质 1.零元素唯一 假设 1 2  , V 均为零元素.则由零元素的定义有 1 1 2 2     = + = . 2.负元素唯一 设  , 均为  的负元素,则                = + = + + = + + = + + = + = ( ) ( ) ( ) . 根据此性质, V 的唯一的负元素记为− .并且由此可定义 V 中减法,如下:     − = + −( ). 3.         = = − = − ; ;( 1) . k                 =  + − = + − = + − = − = − = 1 (0 1) 1 0. ( 1) ( 1 1) 1 . − + = − + =  =  − = −         k k k k k k k k k k            = − = +  − = + − = + − = + − = ( ) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ( )) 0. 4.如果 k = 0,则 k = 0 或者  = 0. 假设 k  0,一方面 1 1 k k k ( )    − − = = 另一方面 1 1 k k k k ( ) ( ) 1 .     − − = = = 故有  = 0. 例 4.令 V R+ = (全体正实数). P R = .对      , , V k P ,规定. 加法:     = ,数量乘法 k k  = :则 V 是 P 上的线性空间. 事实上,易知  是 V 的元素间的运算. 是 V 与 P 的元素间的运算且  显然满足定义中 1)与 2). 显然满足定义中 5)-8).下面确定 V 中的零元素.设  为 V 中零元素.则由零元素定义及  的规 定有       = =  =1

最后，对a∈V.求a的负元素-a.由于a>0故由 1=0=a(-a=a(a)-= 例5设V-{(a,b)a,beR},P-R规定 则V对以上规定的⊕与⊙不作成P上的线性空间 事实上，虽然容易验证⊕是V中的运算.⊙是V与P的元素间的运算，且V的零元素为0=(0,1) 但a=(2,0)eV没有负向量，因为对(a,b)eV.a⊕(a,b)=(2,0)田(a,b)=(2+a,0)≠0=(0,1). 故V不是P上的线性空间. 作业：P273,习题3之1)，3)。 预习：下一节的基本概念 $2维数基与坐标 教学目标掌握维数、基与坐标的定义，n个向量构成n维向量空间的基的充要条件。 教学重点：维数、基与坐标的定义 教学方法：讲授法 教学过程 本节我们来介绍线性空间理论中的三个重要概念：维数基及坐标. 定义2.设V是数域P上的一个线性空间，a4,a2,.,a,(r21)是V中一组向量k∈P,1≤i≤r 则向量 a=ka+k42+.+k&, 称为向量组%，a2,.,α，的一个线性组合，也称α可由向量组%1，%2，.，g,线性表出 定义3设 C,a2,.,C ( 月，B,.,B (2) 是V中两个向量组.若()中每个向量可由向量组(2)线性表出，则称(1)可由(2)线性表出.若(1)与(2)可以 互相线性表出.则称()与(2)等价 定义4设a,.C,∈V(r≥1)，若存在不全为零的k,k2,.,k∈P使 k%+k%2+.+k,0=0

最后,对   V .求  的负元素 − .由于   0 .故由 1 1 ( ) ( ) .        = =  − =  −  − = 例 5.设 V a b a b R P R =  = ( , ) , , .  .规定 则 V 对以上规定的  与 不作成 P 上的线性空间. 事实上,虽然容易验证  是 V 中的运算. 是 V 与 P 的元素间的运算,且 V 的零元素为  = (0,1) , 但  =  (2,0) V 没有负向量,因为对    =  = +  = ( , ) . ( , ) (2,0) ( , ) (2 ,0) (0,1). a b V a b a b a   . 故 V 不是 P 上的线性空间. 作业: P273,习题 3 之 1），3）。. 预习: 下一节的基本概念. §2 维数 基与坐标 教学目标: 掌握维数、基与坐标的定义， n 个向量构成 n 维向量空间的基的充要条件。 教学重点: 维数、基与坐标的定义. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 本节我们来介绍线性空间理论中的三个重要概念:维数,基及坐标. 定义 2. 设 V 是数域 P 上的一个线性空间, 1 2 , , , ( 1) r    r  是 V 中一组向量, ,1 , i k P i r    则向量 1 1 2 2 r r     = + + + k k k 称为向量组 1 2 , , ,   r 的一个线性组合,也称  可由向量组 1 2 , , ,   r 线性表出. 定义 3 设 1 2 , , ,   r (1) 1 2 , , ,   r (2) 是 V 中两个向量组.若(1)中每个向量可由向量组(2)线性表出,则称(1)可由(2)线性表出.若(1)与(2)可以 互相线性表出.则称(1)与(2)等价. 定义 4 设 1 2 , , ( 1)   r   V r ,若存在不全为零的 1 2 , , , r k k k P  使 1 1 2 2 0 r r k k k    + + + = (3)

则称向量a,凸，.，a,线性相关，否则称4,4，.，,线性相关换言之若(3)成立必有 k=k3=.=k,-0.则称a4,马，.a,线性相关 以上概念与n维向量空间中的相应概念完全相同只不过研究的对象由维向量变成了抽象的一 般向量罢了维向量空间中与这些概念相关的性质的证明在一般线性空间中仍然成立，这里不再重复 论证，只给出几个常用的结论如下 1,单个向量α线性相关一口=0.两个以上向量线性相关一其中有一个向量是其余向量的线 性组合， 2.若4,42，.，a,线性无关，且可被月.f线性表出，则r≤3由此推出，两个等价的线性无关 的向量组，所含向量的个数必相同 3.若4,42，.，a,线性无关，但a,%2,.,a,B线性相关则B必可被a,a.,g,线性表出，且 表法唯一 定义5若线性空间V中有个线性无关的向量，但没有更多数目的线性无关的向量，则称'为n维的 记为dimV=n,若V中存在任意多个线性无关的向量：则称V为无限维的. 由定义5易知.P”是n维的.所有实系数多项式所成的实线性空间是无限维的这是因为对任意的自然 数n,由多项式相等的定义知， 都是线性无关的本书仅讨论有限维线性空间。 定义6设V是P上n维线性空间，则V中任意n个线性无关的B,B,.,Bn向量均称为V的 组基 则定义5可知，若月，.，Bn是V的一组恭，则对VaeV,月，.，Bn,a必线性相关，再由3可知，a 可由，.，B唯一地线性表出 定义7设B,.,阝n是线性空间V的一组基a∈V.且 a=ka+ka+.+ka 则称（化，k,.,k)为α在基月，.，Bn下的坐标 定理1若线性空间V中有个线性无关的向量B,.,B。,且V中任一向量均可由它们线性表出， 则V是n维的，并且,.,Bn就是V的一组基 例1以P[n表示P上所有次数不超过n-1的多项式所成线性空间，则1，x,x2,.,x一是P[xn 中n个线性无关的向量，且fx)=a+a,x++anx∈P[xn均可由它们线性表出

则称向量 1 2 , , ,   r 线性相关,否则称 1 2 , , ,   r 线性相关.换言之.若(3)成立必有 1 2 0 r k k k = = = = .则称 1 2 , ,   r 线性相关. 以上概念与 n 维向量空间中的相应概念完全相同.只不过研究的对象由 n 维向量变成了抽象的一 般向量罢了.维向量空间中与这些概念相关的性质的证明.在一般线性空间中仍然成立,这里不再重复 论证,只给出几个常用的结论如下: 1. 单个向量  线性相关  =  0.两个以上向量线性相关  其中有一个向量是其余向量的线 性组合. 2. 若 1 2 , , ,   r 线性无关,且可被 1 , ,  s 线性表出,则 r s  由此推出,两个等价的线性无关 的向量组,所含向量的个数必相同. 3. 若 1 2 , , ,   r 线性无关,但 1 2 , , , ,    r 线性相关.则  必可被 1 2 , , ,   r 线性表出,且 表法唯一. 定义 5 若线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量,但没有更多数目的线性无关的向量,则称 V 为 n 维的 记为 dimV n = ,若 V 中存在任意多个线性无关的向量;则称 V 为无限维的. 由定义 5 易知. n P 是 n 维的.所有实系数多项式所成的实线性空间是无限维的.这是因为对任意的自然 数 n,由多项式相等的定义知, 1 1, , , n x x − 都是线性无关的.本书仅讨论有限维线性空间. 定义 6 设 V 是 P 上 n 维线性空间,则 V 中任意 n 个线性无关的 1 2 , , ,   n 向量均称为 V 的一 组基. 则定义 5 可知,若 1 , ,  n 是 V 的一组基,则对   V, 1 , , ,   n 必线性相关,再由 3 可知, 可由 1 , ,  n 唯一地线性表出. 定义 7 设 1 , ,  n 是线性空间 V 的一组基. V. 且 1 1 2 2 n n     = + + + k k k 则称 1 2 ( , , , ) n k k k 为  在基 1 , ,  n 下的坐标. 定理 1 若线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 1 , ,  n ,且 V 中任一向量均可由它们线性表出, 则 V 是 n 维的,并且 1 , ,  n 就是 V 的一组基 例1 以  n P x 表示 P 上所有次数不超过 n−1 的多项式所成线性空间,则 2 1 1, , , , n x x x − 是  n P x 中 n个线性无关的向量,且 ( ) 0 1 1   n n n f x a a x a x P x  = + + +  − 均可由它们线性表出

显然f(x)在此基下的坐标为(ao,a,.,a）.另外，显然 l(x-a,.,(x-a 也是P[x]的一组基，由泰勒公式 =fa)+f(aXx-a)(-a n-1)1 可知.f(x)在这组基下的坐标为(f(a),f(a),., f-(a) 例2在n维向量空间P”中显然 6=(1,0,.,0),62=(0,1,.,0),.,6n=(0,0,.,1) 是一组基.a=(a,4,a,)eP有 a=a6+a62+.+an5n 所以a在此基下的坐标就是(a,a,.,a) 例3设V=p.求dimV及V的一组基 解令E,表示i行j列处元素为L,其余元素全为零的n级矩阵 则22k,E,=(k)=0→k=0j,=12,n iml fal 故，EaE线性无关又对a,n∈化a,n=立2a, 故dimV=m.且Ei,.,Ea,.,En,.,Enm就是V的一组是 作业：P274,习题8. 预习：下一节的基本概念。 §3基变换与坐标变换 教学目标掌握过渡矩阵的定义与坐标变换公式。 教学重点：过波矩阵的定义与坐标变换公式

显然 f x( ) 在此基下的坐标为 0 1 1 ( , , , ) n a a a − .另外,显然 1 1,( ), ,( )n x a x a − − − 也是  n P x 的一组基,由泰勒公式 ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1)! n n f a f x f a f a x a x a n − − = + − + + −  − 可知. f x( ) 在这组基下的坐标为 ( 1) ( ) ( ( ), ( ), , ). ( 1)! n f a f a f a n −  − 例2 在 n 维向量空间 n P 中.显然 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) n    = = = 是一组基. 1 2 ( , , , ) n n  =   a a a P 有 1 1 2 2 n n     = + + + a a a 所以  在此基下的坐标就是 1 2 ( , , , ) n a a a 例3 设 n n V P  = .求 dimV 及 V 的一组基 解 令 Eij 表示 i 行 j 列处元素为 1,其余元素全为零的 n 级矩阵. 则 1 1 ( ) 0 0, , , 1,2, , . n n ij ij ij nn ij i j k E k k i j n = =   = =  = = 故 11 1 21 2 1 , , , , , , , , , E E E E E E n n n nn 线性无关.又对 1 1 ( ) ( ) , n n ij nn ij nn ij ij i j a V a a E = =   =  故 2 dimV n = .且 11 1 1 , , , , , , E E E E n n nn 就是 V 的一组基. 作业: P274,习题 8. 预习: 下一节的基本概念. §3 基变换与坐标变换 教学目标: 掌握过渡矩阵的定义与坐标变换公式。 教学重点: 过渡矩阵的定义与坐标变换公式

教学方法：讲授法 教学过程： 上节的例子告诉我们，对不同的基，同一向量的坐标一般是不相同的本节我们来研究随者基的改 变，向量的坐标是如何变化的 设B,.,Bn与，.，B是V中两组基，其关系是 S=a15+a252+.+an6n, 6=ap6+an++anEn 80=an5+an52+.+am5n: 设向量5在这两组基下的坐标分别为(3，x2,.,x)与(x,x,.,x) 5=x6+x,62+.+xEn=+x6++xe (2) 我们要找出(，x2,.,x)与(，x',.,x,)的关系 为了方便，我们给出(1)的另一种表示法记 5=6+6++6,=G,马，西 x」 则(1)即为 a:a2.am 6,)=6,5,5. (4) dnt da2.amJ 这种“形式的”写法按通常矩阵的定义未必有意义但在我们的讨论中并不会产生问题 (4)中的知阵 A=4az.4 am am2.am 称为由基，.，6n到.，的过渡矩阵，它是可逆的 先给出这种简便写法所具有的一些运算规则. 设a4,a,.,an和B,B,.,Bn是'中两个向量组，A=(a,B=(亿，)是两个n×n矩阵，则

教学方法: 讲授法. 教学过程: 上节的例子告诉我们,对不同的基,同一向量的坐标一般是不相同的.本节我们来研究,随着基的改 变,向量的坐标是如何变化的. 设 1 , ,  n 与 1 , ,  n   是 V 中两组基,其关系是 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n n n n nn n a a a a a a a a a               = + + +    = + + +    = + + + (1) 设向量  在这两组基下的坐标分别为 1 2 ( , , , ) n x x x 与 1 2 ( , , , ) n x x x    即 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n        = + + + = + + + x x x x x x       (2) 我们要找出 1 2 ( , , , ) n x x x 与 1 2 ( , , , ) n x x x    的关系. 为了方便,我们给出(1)的另一种表示法.记 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n n n n x x x x x x              = + + + =         (3) 则(1)即为 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a                =         (4) 这种“形式的”写法,按通常矩阵的定义未必有意义.但在我们的讨论中并不会产生问题. (4)中的知阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =         称为由基 1 , , n   到 1 , , n     的过渡矩阵,它是可逆的. 先给出这种简便写法所具有的一些运算规则. 设 1 2 , , ,   n 和 1 2 , , ,   n 是V 中两个向量组, ( ), ( ) A a B b = = ij ij 是两个n n 矩阵,则

((aa)A)B=(aaaX(AB) (a,42,.,an)A+(a,%2,.,an)B=(a,a2,.,CnA+B (a,42,.,an)A+(月，B,.,Bn)A=(@+月，a2+B2,.,an+Bn)A 事实上，将%，.，“看成”通常的矩阵的元素令A=(a,.,a,).B=(B,.,B)则由通常的矩阵运 算规则有 (AA)B=A(AB).AA+AB=A(A+B).AA+BA=(A+B)A. 现在就来讨论本节要解决的问题由(2)有 「x =(G,6.8 再将(4)代入上式得 「aa2.amx 5=(6,62,.,6n) aia2.n 2.amLx 与(3)式比较.由基向量的线性无关性得 a1a.am￥ a1a2.a2n (5) Lxn」La1a2.amJx」 或者 x「a1a.anTl aaa.a (6) x」aa2.a x (⑤)与(6就是与基变换(4)相对应的坐标变换公式 例令8=(1,0，.，0)，6n=(0,0,.,10,=(11.,1),8=(0,1.,1)8。=(0,0,.,1) 则，.，6n与，.，是p中两组基，且

1 2 1 2 (( , , , ) ) ( , , , )( );       n n A B AB = 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )( );          n n n A B A B + = + 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) .             n n n n A A A + = + + + 事实上,将 1 , ,  n “看成”通常的矩阵的元素.令 1 1 ( , , ). ( , , ) A B = =     n n 则由通常的矩阵运 算规则有 ( ) ( ), ( ), ( ) . AA B A AB AA AB A A B AA BA A B A = + = + + = + . 现在就来讨论本节要解决的问题.由(2)有 1 2 1 2 ( , , , ) n n x x x           =            再将(4)代入上式得 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x a a a x              =             与(3)式比较.由基向量的线性无关性得 1 1 11 12 1 2 21 22 2 2 1 2 n n n n n n nn x x a a a x a a a x x x a a a                     =                      (5) 或者 1 1 1 11 12 1 2 21 22 2 2 1 2 n n n n n n nn x x a a a x a a a x x x a a a −                     =                      (6) (5)与(6)就是与基变换(4)相对应的坐标变换公式 例 令 1 2 1 (1,0, ,0), , (0,0, ,1), (1,1, ,1), (0,1, ,1) (0,0, ,1) n n      = = = = =    .则 1 , , n   与 1 , , n     是 n P 中两组基,且

[10.0 G,)=6,51.0 11.1 设5在6，.，6下的坐标为（，x)则5在（，.，）下的坐标((6) 11.1 001 作业：P274,习题9之1)。 预习：下一节的基本概念 §4线性子空间 教学目标掌握线性子空间定义，V的子集W构成线性子空间的充要条件，基的扩充定理。 教学重点：线性子空间定义，V的子集W构成线性子空间的充要条件 教学方法：讲授法 教学过程： 线性空间简称子空间 由于W是线性空间V的非空子集所以只要W对V原有的两种运算封闭，则易知八条算律均成立. 于是有 定理2若线性空间V的非空子集W对于V的两种运算封闭则W是V的子空间。 imW≤dim 例1 由V的零 例2'本身也是V的一个子空间它与零空间统称平凡子空间 例3全体实函数作成的线性空间中所有实系数多项式作成一个子空间 例4P[x是P[x]的子空间 例5齐次线性方程组

1 ( , , ) n     1 1 0 0 1 1 0 ( , , ) 1 1 1 n       =         设  在 1 , , n   下的坐标为 1 ( , , ) n x x .则  在 1 ( , , ) n     下的坐标(由(6)) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 n n n n n x x x x x x x x x x x − −                          − −       = = =           −                              − . 作业: P274,习题 9 之 1）。. 预习: 下一节的基本概念. §4 线性子空间 教学目标: 掌握线性子空间定义， V 的子集 W 构成线性子空间的充要条件，基的扩充定理。 教学重点: 线性子空间定义， V 的子集 W 构成线性子空间的充要条件. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 8 设 W 是 P 上线性空间 V 的非空子集.若 W 对 V 的两种运算也作成线性空间.则称 W 为 V 的一个线性空间.简称子空间. 由于 W 是线性空间 V 的非空子集.所以只要 W 对 V 原有的两种运算封闭,则易知八条算律均成立. 于是有 定理 2 若线性空间 V 的非空子集 W 对于 V 的两种运算封闭.则 W 是 V 的子空间. 对子空间 W ,当然也有维数,基,坐标等概念.显然 dim dim W V  例1 由 V 的零向量构成 V 的一个子空间,称为零子空间. 例2 V 本身也是 V 的一个子空间.它与零空间统称平凡子空间. 例3 全体实函数作成的线性空间中.所有实系数多项式作成一个子空间. 例4  n P x 是 P x  的子空间 例5 齐次线性方程组

a+a2x2+.+anxn=0 ax+a2x2+.+a2nxn=0 01000tt1t1t0t1t111410 a,+a2+.+anxn=0 的全部解向量作成P”的一个子空间，称为齐次线性方程组的解空间 显然，解空间的基就是方程组的基础解系其维数为一rr为系数矩阵的秩 设a,a,.,a,∈V.则易知 L(a,a,.,a,)={ka+k42+.+ka,k,.,k∈p2} 是V的子空间，称为由a,，.，a,生成的子空间显然V的任一包含,4，.，的子空间必包 含L(a,.,a,)此外.设W是V的子空间若a,a2,.,a,是W的一组基则W=L(a,a,.,a) 定理3.1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2)设向量组a,4,.,a,的 秩为S,则dimL(a,.,a,)=S. 证明1)设4，a2,.,a,与B,月2，.，B,是两个向量组，若 L(a,4,.,a,)=L(R,A,.R, 则每个a,均可被R,.,B,线性表出，同样，每个B,也可被a,.,a,线性表出，故二向量组等价。 反之，若二向量组等价.则每个a,可被B,.,B线性表出，从而每个a=L(a,.,a,)均可被 R,.,B线性表出，于是ae(R,.,)故L(a,.,a,)S(A,.,B)·同理 L(g,.,B,)cL(a,.,a,).因此，L(a,.,a）cL(B,.,f,) 2).设a,a2,.,a,为a,a,.,a,的一个极大线性无关组则二者等价 由1)知L(a,.,g,)L(a,.,a,).再由定理1即知dimL(a,.,a,)=S 定理4.设W是n维线性空间V的一个m维子空间.a,.,a是W的一组基，则它必可扩充为 V的一组基， 证明对n一m作归纳法.n-m=0时结论显然成立.设n-m=k时定理成立看n一m=k+1的 情 既然凸，.，an线性无关但不是V的基.故必有a1∈V不能被4，.，an线性表出，且

11 1 21 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 的全部解向量作成 n P 的一个子空间,称为齐次线性方程组的解空间. 显然,解空间的基就是方程组的基础解系.其维数为 n r r − . 为系数矩阵的秩. 设 1 2 , , ,   r V .则易知 1 2 ( , , , ) L   r   2 1 1 2 2 1, , r r r = + + +  k k k k k P    是 V 的子空间,称为由 1 2 , , ,   r 生成的子空间.显然 V 的任一包含 1 2 , , ,   r 的子空间必包 含 1 2 ( , , , ) L   r .此外.设 W 是 V 的子空间.若 1 2 , , ,   r 是 W 的一组基,则 W 1 2 ( , , , ) = L   r 定理 3.1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2)设向量组 1 2 , , ,   r 的 秩为 S ,则 1 dim ( , , ) . L S  r = 证明 1)设 1 2 , , ,   r 与 1 2 , , ,   r 是两个向量组,若 1 2 ( , , , ) L   r 1 2 ( , , , ), = L   r 则每个 i 均可被 1 , ,  s 线性表出,同样,每个  j 也可被 1 , ,  r 线性表出,故二向量组等价. 反之, 若二向量组等价.则每个 i 可被 1 , ,  s 线性表出, 从而每个 1 ( , , )    = L r 均可被 1 , ,  s 线 性 表 出 , 于 是 1 ( , , )    L s 故 1 ( , , ) L  r  1 ( , , ) L  s . 同 理 1 1 ( , , ) ( , , ) L L     s r  .因此, 1 ( , , ) L  r  1 ( , , ) L  s 2). 设 1 2 , , ,   s 为 1 2 , , ,   r 的一个极大线性无关组.则二者等价 由 1)知 1 ( , , ) L  r  1 ( , , ) L  s .再由定理 1 即知 1 dim ( , , ) . L S  r = 定理 4. 设 W 是 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间. 1 , ,   m 是 W 的一组基,则它必可扩充为 V 的一组基. 证明.对 n m− 作归纳法. n m− = 0 时结论显然成立.设 n m k − = 时定理成立.看 n m k − = +1 的 情形. 既 然 1 , ,   m 线 性 无 关但 不 是 V 的 基 . 故必 有  m+1 V 不能被 1 , ,   m 线性表出, 且

4,.,a,a1线性无关（见§3中结论三）由定理3.子空间(a,a,i)是m+1维的.因为 n-(m+l)=n-m-1=k+1-1=k.由归纳假设a,乌，a1可以扩充成V的一组基.由归纳法原 理，定理得证 作业：p275习题12 预习：前四节的基本概念与主要定理 §1一§4习题课 教学目标复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力， 教学重点：总结学生解题时易犯的错误，例题讲解 教学方法：讲授、讨论 教学过程 一、复习提问 二、作业讲评 三、 例题讲解 例1 P273,习题3之2)、5)6)、7) 明 此例复习线性空间的概念 例2.P274,习题8之3) 说明： 此例复习线性空间的维数与基的概念 例3P274,习题9之2). 说明：此题复习基变换与坐标变换

1 1 , , ,   m m+ 线性无关(见§3 中结论三).由定理 3.子空间 1 1 ( , , , ) L   m m+ 是 m+1 维的.因为 n m n m k k − + = − − = + − = ( 1) 1 1 1 .由归纳假设 1 2 1 , ,    m+ 可以扩充成 V 的一组基.由归纳法原 理,定理得证. 作业: P275,习题 12。. 预习: 前四节的基本概念与主要定理. §1—§4 习题课 教学目标: 复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力. 教学重点: 总结学生解题时易犯的错误，例题讲解. 教学方法: 讲授、讨论 教学过程: 一、 复习提问 二、 作业讲评 三、 例题讲解 例 1 P273，习题 3 之 2）、5）、6）、7）. 说明: 此例复习线性空间的概念. 例 2. P274，习题 8 之 3）. 说明: 此例复习线性空间的维数与基的概念. 例 3 P274，习题 9 之 2）. 说明: 此题复习基变换与坐标变换