《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 §6重积分的应用 教学目的学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力. 教学内容曲面面积的计算公式：物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式： 引力的计算公式. 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量 的计算公式和引力的计算公式. 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的 计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题. 教学程序 一、曲面的面积 (一)、定义设D为可求面积的平面有界区域，函数化，)在D上具有连续的 一阶偏导数，讨论由方程：=在，以(c,)eD,所确定的曲面S的面积 1.对投影区域D作分割T,它把分成n个小区域·，(=1.，川，相应地也 将曲面S分成n个小曲面片S,=1.,川.在每个S,上任取一点M,作曲面在 这点的切平面元，并在元，上取出一小块4，使得4和S在平面上的投影都为·， 2.取近似AS,*A46=1,) 3.作和式 s-24244 AS, 4.取极限门→0用和式二心的极限作为S的面积。 (二入、计算公式 1.先计算4的面积，因切平面，的法向量就是曲面S在点M,传，5)处的 法向量，记它与：轴的夹角为，则 coSY,=- 1+G,n)+5,n, 因4：在少平面上的投影为·：，所以
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §6 重积分的应用 教学目的 学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． 教学内容 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式； 引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量 的计算公式和引力的计算公式． 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的 计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． 教学程序 一、曲面的面积 （一）、定义 设 D 为可求面积的平面有界区域，函数 f (x, y) 在 D 上具有连续的 一阶偏导数，讨论由方程 z = f (x, y),(x, y)D ，所确定的曲面 S 的面积. 1．对投影区域 D 作分割 T ，它把分成 n 个小区域 i (i =1, ,n) ，相应地也 将曲面 S 分成 n 个小曲面片 i S (i =1, ,n) ．在每个 i S 上任取一点 Mi ，作曲面在 这点的切平面 i ，并在 i 上取出一小块 Ai ，使得 Ai 和 i S 在平面上的投影都为 i ． 2．取近似 Si Ai (i =1, ,n) 3．作和式 = = = n i i n i S Si A 1 1 4．取极限 T → 0 用和式 = n i Si 1 的极限作为 S 的面积． （二）、 计算公式 1．先计算 Ai 的面积，因切平面 i 的法向量就是曲面 S 在点 Mi ( ) i i i , 处的 法向量，记它与 z 轴的夹角为 i ，则 ( ) ( ) x i i y i i i f f 1 , , 1 cos 2 2 + + = , 因 Ai 在 xy 平面上的投影为 i ，所以
《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 A 4.=(cos)=+). 简和鼓玄△三+G-代见Aa是连装系数在有界阴区装D上 的积分和，故当→0时就得到 As.R2+飞.n+G7o,∬+6 皮4s余含岛夏能.种oW楼的与：华的正内 夹角的余弦， 例1求圆锥：=V+严在圆柱体产+)少产≤x内的那一部分的面积。 解45.小+小+张 D是+r≤，：=F+.5F,5,F4, 2π ++5,As.55An. 二、重心 设V是密度为pxy)的空间物体，px,y,)在V上连续，因V的质量为 M=∬p(xt,'对r平面的静力矩为∬xp,yt,由重心坐 标的概念有，以x少：分别表示V的重心的各个坐标，应有 M=J川xp(x,y)dt,所以 ∬p,ykt∬pt,ykt M 叮px,dt j∬ypt,y,kdt∬pk,ykd M ∬pxyt 类似地有 y=
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 Ai = ( ) 1 cos i = ( ) ( ) x i i y i i 1 f , f , 2 2 + + i ． 而和数 = n i 1 Ai = ( ) ( ) = + + n i x i i y i i i f f 1 2 2 1 , , 是连续函数在有界闭区域 D 上 的积分和，故当 T → 0 时就得到 S = ( ) ( ) = → + + n i x i i y i i i T f f 1 2 2 0 lim 1 , , = f (x y) f (x y)dxdy D + x + y 1 , , 2 2 , 或 S = = → n i i i T 1 0 cos lim = ( ) D n z dxdy cos , ．其中 cos(n,z) 为曲面的法向量与 z 轴的正向 夹角的余弦． 例 1 求圆锥 2 2 z = x + y 在圆柱体 x + y x 2 2 内的那一部分的面积． 解 S = z (x y) z (x y)dxdy D + x + y 1 , , 2 2 , D 是 x + y x 2 2 ， 2 2 z = x + y ， 2 2 x y x z x + = ， 2 2 x y y z y + = , z (x y) z (x y) x y 1 , , 2 2 + + = 2 , S = dxdy D 2 = 2 D = 4 2 ． 二、重心 设 V 是密度为 (x, y,z) 的空间物体， (x, y,z) 在 V 上连续，因 V 的质量为 ( , , ) V M x y z dxdydz = ，V 对 yz 平面的静力矩为 ( , , ) V x x y z dxdydz ，由重心坐 标的概念有，以 x, y,z 分别表示 V 的重心的各个坐标，应有 ( , , ) x V M x x y z dxdydz = ，所以 x = ( ) ( ) ( ) = V V V x y z dxdydz x x y z dxdydz M x x y z dxdydz , , , , , , ， 类似地有 y = ( ) ( ) ( ) = V V V x y z dxdydz y x y z dxdydz M y x y z dxdydz , , , , , ,
《数学分析》下册 第二十一章二重积分】 海南大学数学系 ∬pky:kdt j∬px,y,kt M [p(x.y.-Yixdbd ∬d∬w∬冰 若p,y为常数，则x=△V,y=△V,三=△P 对平面薄板D的情况，则有 ∬ptd∬pkh M Ip.yds 川ypx,yk川p(x,ykd M J= [p(x.y)dxdy f∬xdo ydo 若p化)为常数，则x=△D,y=AD 例3求密度均匀的上半椭球体的重心 ,20表示 由对称性知x=y=0,由前节的例5的结果，可得 ∬kdt 川冰 :.a。c 三、转动惯量 质点A对轴I的转动惯量J是质点A的质量m和到转动轴I的距离r的平方 的乘积，即J=m2,当讨论空间物体'的转动惯量问题时，利用讨论质量、重 心等相由的方法可得：设空间物体V的密度函数为p(少)，它对x轴的转动惯 量为 人.6+：4M男ht 同样地 3
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 z = ( ) ( ) ( ) = V V V x y z dxdydz z x y z dxdydz M z x y z dxdydz , , , , , , ， 若 (x, y,z) 为常数，则 x = V xdv V ， y = V ydv V ， z = V zdv V . 对平面薄板 D 的情况，则有 x = ( ) ( ) ( ) = D D D x y dxdy x x y dxdy M x x y dxdy , , , y = ( ) ( ) ( ) = D D D x y dxdy y x y dxdy M y x y dxdy , , , 若 (x, y) 为常数，则 x = D xd D ， y = D yd D . 例 3 求密度均匀的上半椭球体的重心． 解 设椭球体由式 1 2 2 2 2 2 2 + + c z b y a x ， z 0 表示 由对称性知 x = y =0，由前节的例 5 的结果，可得 z = V zdv V = abc zdxdydz V 3 2 = 8 3c . 三、转动惯量 质点 A 对轴 l 的转动惯量 J 是质点 A 的质量 m 和到转动轴 l 的距离 r 的平方 的乘积，即 2 J = mr . 当讨论空间物体 V 的转动惯量问题时，利用讨论质量、重 心等相由的方法可得：设空间物体 V 的密度函数为 (x, y,z) ，它对 x 轴的转动惯 量为 x J = ( ) ( ) + V y z x, y,z dxdydz 2 2 ， 同样地
《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海市大学数学系 ,旷(2+rb达t 人.+yrbk达2 对y平面的转动惯量为 人，.0：p6ht 对2平面的转动惯量为 .∬s'ps.x.-)hod 对x平面的转动惯量为 ,.rptht 对原点的转动惯量为 Jn.6+产+：b63ht 平面薄板时的转动惯量问题也有类似的公式。 例4求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯 量 解设圆环D为R≤+少广≤店，密度为P,则 J=∬pk2+yo=2R-R)-gR+R） 其中m为圆环的质量 例5求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量 解设圆盘为x2+y2≤R密度为P,则 J da-njuoj(room 00 其中m为圆盘的质量 例6设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4 y J = ( ) ( ) + V z x x, y,z dxdydz 2 2 ， z J = ( ) ( ) + V x y x, y,z dxdydz 2 2 ， 对 xy 平面的转动惯量为 xy J = ( ) V z x, y,z dxdydz 2 ， 对 yz 平面的转动惯量为 yz J = ( ) V x x, y,z dxdydz 2 ， 对 zx 平面的转动惯量为 zx J = ( ) V y x, y,z dxdydz 2 ， 对原点的转动惯量为 O J = ( ) ( ) + + V x y z x, y,z dxdydz 2 2 2 . 平面薄板时的转动惯量问题也有类似的公式． 例 4 求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯 量． 解 设圆环 D 为 2 2 2 2 2 R1 x + y R ，密度为 ,则 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 4 1 4 2 2 2 2 2 R R m J x y d R R D = + = − = + ， 其中 m 为圆环的质量. 例 5 求均匀圆盘 D 对于其直径的转动惯量 解 设圆盘为 2 2 2 x + y R 密度为 ,则 ( ) 2 2 0 0 4 2 2 4 1 4 cos mR R J x d d r rdr R D = = = = ， 其中 m 为圆盘的质量. 例 6 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量．
《数学分析》下所 第二十一章二重积分 海南大学数学系 解设球体由式2+y2+:≤R2表示，密度函数为P=k+少+：，则 它对切平面x=R的转动惯量为 J=k∬+y+:(x-Rt wwj0-rmoo 四、引力 求密度为P,八，2)的立体对立体外一质量为1的质点A的万有引力. 设A的坐标为5，n),V中点的坐标用仁，八，=)表示，我们用微元法来求'对 A的引力，V中质量微元m=pW对的引力在坐标轴上的投影为 a成-kaw,此-kmw,。-k兰r 其中k为引力系数，r=V-+(-+-了是到的距离。于是力F在三 个坐标轴上的投影分别为 E=k二awE=k二”awR=k二a 所以 R=Fi+E,j+FR 例？设球体'具有均匀密度P,求对球外一点A(质量为1)的引力（引力 系数为k)。 解设球体由式r产+广+：2≤R表示，球外一点A的坐标为Q,0a(R<a) 由对称性F=F=0 E=兰n柳 2-a (2+y2+-a) 作业P259:1;2:3:4:5;6
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 解 设球体由式 2 2 2 2 x + y + z R 表示，密度函数为 2 2 2 = k x + y + z ，则 它对切平面 x = R 的转动惯量为 ( ) = + + − V J k x y z x R dxdydz 2 2 2 2 = ( ) − 2 0 0 0 2 3 sin cos sin R k d d R r r dr = 6 9 11 kR . 四、引力 求密度为 (x, y,z) 的立体对立体外一质量为 1 的质点 A 的万有引力． 设 A 的坐标为 (,, )，V 中点的坐标用 (x, y,z) 表示。我们用微元法来求 V 对 A 的引力， V 中质量微元 dm = dV 对的引力在坐标轴上的投影为 dV r x dF k x 3 − = ， dV r y dF k y 3 − = ， dV r z dF k zx 3 − = ， 其中 k 为引力系数， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 r = x − + y − + z − 是到的距离。于是力 F 在三 个坐标轴上的投影分别为 − = V x dV r x F k 3 ， − = V y dV r y F k 3 ， − = V z dV r z F k 3 ， 所以 F= F i F j F k x + y + z . 例 7 设球体 V 具有均匀密度 ，求对球外一点 A （质量为 1）的引力（引力 系数为 k ）。 解 设球体由式 2 2 2 2 x + y + z R 表示，球外一点 A 的坐标为 (0,0,a （ ) R a ） 由对称性 Fx = Fy = 0 − = V z dV r z F k 3 ( ) + + − − = V dV x y z a z a k 3 2 2 2 = R k a 3 2 3 4 − 作业 P259: 1;2;3;4;5;6