《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 §4条件极值 教学目的了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值. 教学要求 (①)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。 (②)用条件极值的方法证明或构造不等式. 教学建议 ()本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值.要求学生熟练掌握 (②)多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题. (3)在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方 法.可推荐给较好学生. 教学程序 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某 些条件的限制。决定一给定点（化6）到一曲面G(x八)=0的最短距离问题， 就是这种情形。我们知道点(x,y)到点(x,)的距离为 F(,y,)=Vx-x)》2+0y-o)2+(e-)2·现在的问题是要求出曲面 G(x,y)=0上的点(x,y,)使F为最小.即问题归化为求函数F(x,)在条件 G(x,y,)=0下的最小值问题. 又如，在总和为C的几个正数x,x2,x的数组中，求一数组，使函数值 f=x2+x2++xn2为最小，这是在条件x+x+.+x。=C(化，>0)的限制 下，求函数∫的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）· 例1要设计一个容积为V的长方体形开口水箱·确定长、宽和高，使水 箱的表面积最小· 分别以x、y和：表示水箱的长、宽和高，该例可表述为：在约束条件 xz=V之下求函数S(x,y,)=2(x2+)+xy的最小值
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 1 §4 条件极值 教学目的 了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． 教学要求 (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2)用条件极值的方法证明或构造不等式． 教学建议 (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方 法．可推荐给较好学生． 教学程序 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某 些条件的限制。决定一给定点 ( , , ) 0 0 0 x y z 到一曲面 G(x, y,z) = 0 的最短距离问题， 就 是 这 种 情 形 。 我 们 知 道 点 (x, y,z) 到 点 ( , , ) 0 0 0 x y z 的距离为 2 0 2 0 2 0 F(x, y,z) = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) . 现在的问题是要求出曲面 G(x, y,z) = 0 上的点 (x, y,z) 使 F 为最小.即问题归化为求函数 F(x, y,z) 在条件 G(x, y,z) = 0 下的最小值问题. 又如，在总和为 C 的几个正数 n x , x , x 1 2 的数组中，求一数组，使函数值 2 2 2 2 1 n f = x + x ++ x 为最小，这是在条件 x1 + x2 ++ xn = C ( 0) i x 的限制 下，求函数 f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例 1 要设计一个容积为 V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水 箱的表面积最小 . 分别以 x、 y 和 z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz = V 之下求函数 S(x, y,z) = 2(xz + yz) + xy 的最小值
《数学分析》下册 第十八章隐雨数定值及其应用海南大学数学系■ 例2求函数∫=xz在条件x2+y2+2=1,x+y+2=0下的极值. 解令L=xz+(x2+y2+2-1)+4(x+y+） L,=z+2x+4=0, L,=xz+2y+4=0, L.=xy+2z+4=0, 得2x2+1=2y2+y=222+E, (1) 又 x2+y2+z2=1, (2) x+y+==0, (3) 由(1)得22x2-y2)=4y-x)，20y2-2)=-), 当x≠y≠：时得2(x+)=-4, 220y+)=-4,故得x=2,代入(2) 8)式得2+少=1解得稳定点P店后启B(后后启 由对帝性特只号若岩B号若君 v6'6'6 山扎，召)也是稳定点。 二、限制极值的必要条件 设在约束条件(x,y)=0之下求函数：=f(x,)的极值，当满足约束条件 的点(x)是函数∫(x,y)的条件极值点，且在该点函数(x,y)满足隐函数存 在条件时，由方程(x,)=0决定隐函数y=g(x),于是点x,就是一元函数 =f(,8)的极限点，有左-人.+g)=0.代入gx)=-, dx P,(x0%) 就有 G）-o)2=0. 0(x6) (以下f、∫，、9，、9，均表示相应偏导数在点(x,)的值·） 2
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 2 例 2 求函数 f = xyz 在条件 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 下的极值. 解 令 ( 1) ( ) 2 2 2 L = xyz + x + y + z − + x + y + z Lx = yz + 2x + = 0, Ly = xz + 2y + = 0 , L z = xy+ 2z + = 0 , 得 x + x = y + y = z + z 2 2 2 2 2 2 , （1） 又 1 2 2 2 x + y + z = , （2） x + y + z = 0 , （3） 由（1）得 2 ( ) ( ) 2 2 x − y = y − x ，2 ( ) ( ) 2 2 y − z = z − y , 当 x y z 时得 2(x + y) = − ， 2( y + z) = − ,故得 x = z ，代入（2） （3）式得 2 1 2 2 x + y = 解得稳定点 ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 1 − P ， ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 2 − − P . 由对称性得 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 ( 3,4 P ， ) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 5,6 P 也是稳定点。 二、限制极值的必要条件 设在约束条件 (x, y) = 0 之下求函数 z = f (x, y) 的极值 . 当满足约束条件 的点 ( , ) 0 0 x y 是函数 f (x, y) 的条件极值点 , 且在该点函数 (x, y) 满足隐函数存 在条件时, 由方程 (x, y) = 0 决定隐函数 y = g(x) , 于是点 0 x 就是一元函数 z = f (x , g(x)) 的极限点 , 有 = f + f g (x) = 0 dx dz x y .代入 ( , ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 x y x y g x y x = − , 就有 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 − 0 0 = x y x y f x y f x y y x x y , ( 以下 x f 、 y f 、 x 、 y 均表示相应偏导数在点 ( , ) 0 0 x y 的值 . )
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 即fP,一f9,=0，亦即（f,f,）(9,-9,)=0· 可见向量（∫，∫，）与向量(9，-p,)正交.注意到向量(P,”,)也 与向量(9，-9，)正交，即得向量(f,，了，)与向量(9，9，)线性相关， 即存在实数1，使 (f2,∫）+(p,，9,)=0. [f+0,=0, 亦即 f,+0,=0. 三、Lagrange乘数法： 由上述讨论可见，函数：=f(x,y)在约束条件(x,y)=0之下的条件极值 f(x,y)+p(x,y)=0, 点应是方程组 ,(c)+0,(x,)=0,的解。 p(x,y)=0. 引进所谓Lagrange函数 L(x,y,)=f(x,)+元p(x,y),（称其中的实数1为Lagrange乘数) 则上述方程组即为方程组 L(xy,)=0, L.(x.y,)=0. L(x,y)=0. 下面以三元函数，两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况. 例1求函数f=xz在条件x2+y2+z2=1,x+y+:=0下的极值。 解令L=xg+x2+y2+z2-)+4(x+y+) L,=z+2x+4=0, L,=xz+2y+H=0, L.=xy+22+4=0, 得 2x2+4r=2y2+49y=2E2+4E, (1) 又x2+y2+22=1, (2)
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 3 即 x f y — y f x = 0 , 亦即 ( x f , y f ) ( y , − x ) = 0 . 可见向量( x f , y f )与向量 ( y , − x )正交. 注意到向量 ( x , y )也 与向量 ( y , − x )正交, 即得向量( x f , y f )与向量 ( x , y )线性相关, 即存在实数 , 使 ( x f , y f ) + ( x , y ) = 0. 亦即 + = + = 0. 0 , y y x x f f 三、 Lagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数 z = f (x, y) 在约束条件 (x, y) = 0 之下的条件极值 点应是方程组 = + = + = ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 0 , ( , ) ( , ) 0 , x y f x y x y f x y x y y y x x 的解. 引进所谓 Lagrange 函数 L(x, y,) = f (x, y) + (x, y) , ( 称其中的实数 为 Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组 = = = ( , , ) 0 . ( , , ) 0 , ( , , ) 0 , L x y L x y L x y y x 下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 . 例 1 求函数 f = xyz 在条件 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 下的极值。 解 令 ( 1) ( ) 2 2 2 L = xyz + x + y + z − + x + y + z Lx = yz + 2x + = 0, Ly = xz + 2y + = 0 , L z = xy+ 2z + = 0 , 得 x + x = y + y = z + z 2 2 2 2 2 2 , （1） 又 1 2 2 2 x + y + z = , （2）
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 x+y+z=0, (3) 由(1)得2x2-y2)=40y-x),202-2)=42-y), 当x≠y≠：时得 2(x+y)=-4, 20y+)=-4 故得x=,代入(2)(3)式得 2x2+y2=1, (2x+y=0. 由时修性得后君岩话君启世是e定点 四、用Lagrange?乘数法解应用问题举例： 例1求容积为V的长方体形开口水箱的最小表面积.抛物面x2+y2=:被 平面x+y+:=1截成一个椭圆。求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离· 例2求函数fx,y）=在条件+1+-x>0,y>0,:>0r>0. x'y':r 下的极小值，并证明不等式仁++月≤ac，其中a,b,c为任意 a b c 正常数 例3将长度为！的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角 形.问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小， 解设x,y,:分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 满足约束2+4y+3z=1,x≥0，y≥0，z≥0 A
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 4 x + y + z = 0 , （3） 由（1）得 2 ( ) ( ) 2 2 x − y = y − x ，2 ( ) ( ) 2 2 y − z = z − y , 当 x y z 时得 2(x + y) = − ， 2( y + z) = − 故得 x = z ，代入（2）（3）式得 2 1 2 2 x + y = , 2x + y = 0 . 解得稳定点 ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 1 − P ， ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 2 − − P . 由对称性得 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 ( 3,4 P ， ) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 5,6 P 也是稳定点. 四、 用 Lagrange 乘数法解应用问题举例 : 例 1 求容积为 V 的长方体形开口水箱的最小表面积. 抛物面 x + y = z 2 2 被 平面 x + y + z = 1 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . 例 2 求函数 f (x, y,z) = xyz 在条件 ( 0, 0, 0, 0) 1 1 1 1 + + = x y z r x y z r . 下的极小值 . 并证明不等式 3 1 1 1 1 3 abc a b c + + − , 其中 a , b , c 为任意 正常数 . 例 3 将长度为 l 的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角 形.问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小. 解 设 x, y,z 分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 2 2 2 4 3 s = x + y + z 满足约束 2x + 4y + 3z = l ， x 0, y 0,z 0
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 令以，=++5:+2+4y+3- 4 /L=28+2π1=0 解得x=-入 L,=2y+41=0 y-2 人930 :=-251 (2a+4y+3z=1 =- 2+8+6W5 s-2,-23)=(a+4+3W5=红+4+35 (2π+8+63)7 约束集为有界闭集，故在其上必有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问 题： 「=y+5 4 =m2+5 4 3=a2+y2 04v+3-=1 2+3z=1 2+4y=1 稳定点分别是 y=-22 x=-入 x=-1 {:=-23 =-2W5 y=-2 =8+6万 -1 = -1 2π+6√5 元=2+8 函数值分别是 ()=4+35M: (8+63P,3()=π+35/： (2π+63)2’ ()=+4 (2π+8)月 又 12 12 s2元00=4 040-i6 003-251 比较上述6个函数值得，最小值为 5
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 5 令 2 2 2 3 ( , , , ) (2 4 3 ) 4 L x y z x y z x y z l = + + + + + − Lx = 2x + 2 = 0 解得 x = − Ly = 2y + 4 = 0 y = −2 3 0 2 3 Lz = z + = z = −2 3 2x + 4y + 3z = l 2 + 8 + 6 3 = − l 2 2 2 (2 8 6 3) ( 4 3 3) ( , 2 , 2 3 ) ( 4 3 3) + + + + − − − = + + = l s , 约束集为有界闭集，故在其上必有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问 题： 2 2 1 4 3 s = y + z 2 2 2 4 3 s = x + z 2 2 3 s = x + y 4y + 3z = l 2x +3z = l 2x + 4y = l 稳定点分别是 y = −2 x = − x = − P1 z = −2 3 P2 z = −2 3 P3 y = −2 8 + 6 3 − = l 2 + 6 3 − = l 2 + 8 − = l 函数值分别是 2 2 1 1 (8 6 3) (4 3 3) ( ) + + = l s P , 2 2 2 2 (2 6 3) ( 3 3) ( ) + + = l s P , 2 2 3 3 (2 8) ( 4) ( ) + + = l s P 又 4 ,0,0) 2 ( 2 l l s = ， , 16 ,0) 4 (0, 2 l l s = 12 3 ) 3 (0,0, 2 l l s = 。 比较上述 6 个函数值得，最小值为
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 5-,-2-25)=(a+4+35e=红+4+352 (2π+8+6V3)2 作业教材169页：1一3
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 6 2 2 2 (2 8 6 3) ( 4 3 3) ( , 2 , 2 3 ) ( 4 3 3) + + + + − − − = + + = l s . 作业 教材 169 页: 1—3