《数学分析)下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 §2第二型曲面积分 教学目的掌握第二型曲面积分的定义和计算公式. 教学内容曲面的侧：第二型曲面积分的定义和计算公式。 ()基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式 (②)较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公 式，掌握两类曲面积分的联系。 教学建议 (1)本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要 强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性。 (②)本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的 计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们学握。 教学程序 曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念 背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速 的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限” 的步骤，来得到结果。一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结 出下面一类积分的定义. 一、第二型曲面积分的概念与性质 定义设函数P,Q,R与定义在双侧曲面S上的函数.在S所指定的一侧 作分割T它把S分成n个小曲面SS,S。(1=2,n),分割T的细度 门=婴5的直径，以△S,AS。,△5，分别为S在三个坐标上的投影区域的 面积，它们的符号由S的方向来确定.如5的法线正向与：轴正向成锐角时，S 在y平面上的投影区域的面积△S,为正，反之，如S的法线正向与：轴正向成 钝角时，S在y平面上的投影区域的面积△S,为负(1=12，”).在每个小曲 面5任取一点传，5)，若极限 -2P飞5A,02O%,5A5en.5A5
《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 1 §2 第二型曲面积分 教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公 式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议 (1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要 强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性． (2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的 计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序 曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念 背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速 的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限” 的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结 出下面一类积分的定义． 一、第二型曲面积分的概念与性质 定义 设函数 P ，Q ，R 与定义在双侧曲面 S 上的函数．在 S 所指定的一侧 作分割 T 它把 S 分成 n 个小曲面 S S Sn , , 1 2 （ i = 1,2, , n ），分割 T 的细度 i的直径 i n T S = 1 max ，以 yz Si ， zx Si ， xy Si 分别为 i S 在三个坐标上的投影区域的 面积，它们的符号由 i S 的方向来确定．如 i S 的法线正向与 z 轴正向成锐角时， i S 在 xy 平面上的投影区域的面积 xy Si 为正，反之，如 i S 的法线正向与 z 轴正向成 钝角时， i S 在 xy 平面上的投影区域的面积 xy Si 为负（ i = 1,2, , n ）．在每个小曲 面 i S 任取一点 ( ) i i i , , ，若极限 ( ) = → n i i i i i T yz P S 1 0 lim , , + ( ) = → n i i i i i T zx Q S 1 0 lim , , + ( ) = → n i i i i i T xy R S 1 0 lim , ,
《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 存在且与分割T与点5,1，S)的取法无关，则称此极限为函数P,Q,Rd曲 面S所指定的一侧的第二型曲面积分，记为 ∬Pyt+O,yd+Rxy=d (1) 上述积分(1)也可写作 ∬P,.ow.y.-a∬h迹 第二型曲面积分的性质 O们考厂Pt+Q+R的 (1=12,.,n)都存在，9(1=1,2，.，n), 为常数，则有 ②eRht+{2e0t+区cR ef p.dod=+Q.dds Rdedy (2)若曲面S由两两无公共内点的曲面块S,S.S所组成， fjPdt+Od-dx+Rk山 (i=1,2,.,n)都存在，则 ∬P,t+0ky=t+Rk,y=达 也存在，且 ∬P代tyMt+0yd+,y 三Pt+Qh+脑 二、第二型曲面积分的计算 定理2.2设R为定义在光滑曲面S::=t,)(K,川eD,上的连续函 数，以S的上侧为正侧（这时S的法线正向与：轴正向成锐角），则有 ∬Rx,y,dJ∬Rx,ykyd (2) 证明由第二型曲面积分的定义
《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 2 存在且与分割 T 与点 ( ) i i i , , 的取法无关，则称此极限为函数 P ，Q ，R d 曲 面 S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为 ( ) ( ) ( ) + + S P x, y,z dydz Q x, y,z dzdx R x, y,z dxdy ， (1) 上述积分(1)也可写作 ( ) S P x, y,z dydz + ( ) S Q x, y,z dzdx + ( ) S R x, y,z dxdy . 第二型曲面积分的性质 (1)若 + + S Pidydz Qidzdx Ridxdy （ i = 1,2, , n ）都存在， i c （ i = 1,2, , n ）， 为常数，则有 c P dydz c Q dzdz c R dxdy n i i i n i i i S n i i i + + =1 =1 =1 = = + + n i S ci pidydz Qidzdx Ridxdy 1 . （2）若曲面 S 由两两无公共内点的曲面块 1 2 S ,S . n S 所组成， + + Si Pdydz Qdzdx Rdxdy （ i = 1,2, , n ）都存在，则 ( ) ( ) ( ) + + S P x, y,z dydz Q x, y,z dzdx R x, y,z dxdy 也存在，且 ( ) ( ) ( ) + + S P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y, z dxdy = = + + n i Si Pdydz Qdzdx Rdxdy 1 . 二 、第二型曲面积分的计算 定理 22.2 设 R 为定义在光滑曲面 S ： ( ) ( ) Dxy z = z x, y x, y ，上的连续函 数，以 S 的上侧为正侧（这时 S 的法线正向与 z 轴正向成锐角 ），则有 ( ) S R x, y,z dxdy = ( ( )) Dxy R x, y,z x, y dxdy . （2） 证明 由第二型曲面积分的定义
《数学分析》下所 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 hR之Rn5,As,m∑飞n5.nAs 这里d=m,J因门=5的直径，0，立刻可推得d=mS,0. 由相关函数的连续性及二重积分的定义有 jeh卧之形，nEn》A。,所以 ∬Rt,yk∬R(x,y,y 类似地，P为定义在光滑曲面S:x=)小eD=上的连续函数时， 而S的法线方向与x轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 Py=t∬P6.以，=t D Q为定义在光滑曲面S:y=(,)(仁，eD:上的连续函数时，而S的法 线方向与'轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 ∬o,ykk∬Q(x,y,x,ykd 注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S的法线方向与相应坐标轴的 正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“_”号 阁1计算小 ,其中S是球面+少2+：2=1在x之0，y20部分并取 球面外侧. 解曲面在第一，五卦限间分的方程分别为 S:=-2-y,k川eD,={xp2+y2s1x20,y20 5:=-y,k列eDn={xk2+y≤1x≥0，y20 ∬yz∬xyz小∬zh +S ∬-少-∬-产-rk
《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 3 ( ) S R x, y,z dxdy = ( ) = → n i i i i i T xy R S 1 0 lim , , = ( ( )) = → n i i i i i i d xy R S 1 0 lim , , , ， 这里 ( ) xy d = max Si ，因 i的直径 i n T S = 1 max → 0 ，立刻可推得 ( ) xy d = max Si → 0， 由相关函数的连续性及二重积分的定义有 ( ( )) Dxy R x, y,z x, y dxdy = ( ( )) = → n i i i i i i d xy R S 1 0 lim , , , ，所以 ( ) S R x, y,z dxdy = ( ( )) Dxy R x, y,z x, y dxdy . 类似地, P 为定义在光滑曲面 S ： ( ) ( ) Dyz x = x y,z y,z 上的连续函数时， 而 S 的法线方向与 x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 ( ) S P x, y,z dydz = ( ( ) ) Dxy P x y,z , y,z dydz . Q 为定义在光滑曲面 S ： ( ) ( ) Dzx y = y z, x z, x 上的连续函数时，而 S 的法 线方向与 y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 ( ) S Q x, y,z dzdx = ( ( )) DZX Q x, y,z x, y dzdx . 注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果 S 的法线方向与相应坐标轴的 正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号 例 1 计算 S xyzdxdy ，其中 S 是球面 1 2 2 2 x + y + z = 在 x 0, y 0 部分并取 球面外侧． 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为 1 S ： 2 2 z1 = 1− x − y ， ( , ) ( , ) 1, 0, 0 2 2 x y Dxy = x y x + y x y ， 2 S ： 2 2 z2 = − 1− x − y ， ( , ) ( , ) 1, 0, 0 2 2 x y Dxy = x y x + y x y ， S xyzdxdy = S1 xyzdxdy + S2 xyzdxdy = − − Dxy xy x y dxdy 2 2 1 − − − − Dxy xy x y dxdy 2 2 1
《数学分析》下所 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 2n-r-了2 jdoj0snai-Fd-号 =00 例2计算积分成(x+t+0-止本+(+3x)h,Σ为球面 x2+y2+2=R2取外侧. 解对积分(x+)止，分别用和Σ后记前半球面和后半球面的外 侧，则有 2前：x=VR2-y2-2 De:y2+22sR2: 2后：x=-√R2-y2- D:y2+2≤R2 因此，乐x+比=儿。+儿 -R-+- 2fof =-r引- 对积分乐心y-)止dk,分别用Σ右和工：记右半球面和左半球面的外侧，则 2有：y=VR2-22-x2 Da:x+:25R2 Σ左：y=-VR2-2-x Dx:x2+z2≤R2. 4
《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 4 = − − Dxy xy x y dxdy 2 2 2 1 = − = 2 0 1 0 3 2 15 2 2 cos sin 1 d r r dr ． 例 2 计算积分 (x + y)dydz + (y − z)dzdx + (z + 3x)dxdy， 为球面 2 2 2 2 x + y + z = R 取外侧. 解 对积分 (x + y)dydz , 分别用 前 和 后 记前半球面和后半球面的外 侧, 则有 前 : , 2 2 2 x = R − y − z 2 2 2 Dyz : y + z R ; 后 : , 2 2 2 x = − R − y − z 2 2 2 Dyz : y + z R . 因此, (x + y)dydz = 前 + 后 ( ) = − − + − Dyz R y z y dydz 2 2 2 ( ) 2 2 2 Dyz − − − + R y z y dydz 2 2 2 cos , sin 2 2 2 2 2 2 0 0 2 8 y r z r R y z R R y z dydz d R r rdr = = + = − − =========== − ( ) 3 0 2 3 2 2 3 4 3 2 2 1 4 R r R r R r = = − − = = . 对积分 y z dzdx ( − ) , 分别用 右 和 左 记右半球面和左半球面的外侧, 则 有 右 : , 2 2 2 y = R − z − x 2 2 2 Dzx : x + z R ; 左 : , 2 2 2 y = − R − z − x 2 2 2 Dzx : x + z R
《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 因此、我0-t=儿。+川 =r-lR-h -2机R- 对积分质（仁+3x本少，分别用工上和工下记上半球面和下半球面的外侧，则 t:=R2-x-少 Dw:x2+y2≤R2 8:x=-VR2-x2-y2 Dn:x2+y2≤R2 因此，乐e+3x儿，+儿 =(R-r-y+3刘-r-+3刘 =2儿r-r-yhw-号成 综上，乐(x+t+0-t+(e+3xh=3x号R=4R 作业P289:1:2
《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 5 因此, − = (y z)dydz 右 + 左 ( ) ( ) = − − − − − − − − Dz x Dz x R z x z dzdx R z x z dzdx 2 2 2 2 2 2 + = − − = 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2 x z R R z x dzdx R . 对积分 z x dxdy ( + 3 ) , 分别用 上 和 下 记上半球面和下半球面的外侧, 则 有 上 : , 2 2 2 z = R − x − y 2 2 2 Dxy : x + y R ; 下 : , 2 2 2 x = − R − x − y 2 2 2 Dxy : x + y R . 因此, z x dxdy ( + 3 ) = 上 + 下 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 D D xy xy = − − + − − − − + R x y x dxdy R x y x dxdy + = − − = 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2 x y R R x y dxdy R . 综上, (x + y)dydz + (y − z)dzdx + (z + 3x)dxdy= 3 3 4 3 4 3 R = R . 作业 P289:1;2