海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二十章 曲线积分 20.1 第一型曲线积分

《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 第二十章曲线积分 §1第一型曲线积分 教学目的掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学内容第一型曲线积分的定义，性质和计算公式。 基本要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学建议 要求学生必须熟练掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式， 教学程序 一、引言：金属曲线的质量问题 设有一根有限的金属曲线C,其线密度是不均匀的，在C上的点(x,y)处的密 度为px,小，试问该曲线的质量是多少？ 用微分分析来处理之，若p均匀，则好处理：mp(C). a)分割：设曲线C端点为A,B从A到B依次插入A,A2,An-1,这样曲线C 就分成了一些小弧段.把A1A(A=A,A.=B)的弧长记为 △S,i=1,2,n,在每一小弧段数AA上都任取一点p5,.显然 当△S,很小时，A1A的质量mi近似等于p5,)△S.从而整个金属曲 线C的质量m: b)作和： r2mi*2p5,m△ c)取极限：令s=max△Si,则 im()AS 上式右端还是分割，作和，取极限，这意外者我们已经达到一种类型的积分， 这种积分就是第一类曲线积分. 抽去上述问题的实际背景，并把它推广到[门中就有下面的定义： 二、第一型曲线积分的概念与性质 (一)、第一类曲线积分的定义

《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 1 第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分 教学目的 掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学内容 第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 基本要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学建议 要求学生必须熟练掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学程序 一、引言: 金属曲线的质量问题 设有一根有限的金属曲线 C ,其线密度是不均匀的,在 C 上的点(x,y)处的密 度为 p x y ( , ),试问该曲线的质量是多少? 用微分分析来处理之,若 p 均匀,则好处理: m=p(C). a) 分割:设曲线 C 端点为 A,B,从 A 到 B 依次插入 1 2 1 , , , A A An− ,这样曲线 C 就 分 成 了 一 些 小 弧 段 . 把 A A i i −1 （ 0 , A A A B = = n ） 的 弧 长 记 为 , 1,2, ,  = S i n i ,在每一小弧段数 A A i i −1 上都任取一点 ( , ) p i i   .显然, 当 Si 很小时, A A i i −1 的质量 mi 近似等于 ( , ) p S i i i    .从而整个金属曲 线 C 的质量 m: b) 作和: m= = m i m 1 i =  m i p i i 1 ( , ) Si c) 取极限:令 s=max Si ,则 m=lim = n i p i i 1 ( , ) Si 上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分, 这种积分就是第一类曲线积分. 抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义

《微学分析》下册 第二十章曲线积分 海市大学数学系 定义设L为平面上可求长度的曲线段，(，川为定义在L上的函数.对曲 线L作分割T,它把L分成n个可求长度的小曲线段4，(=l2,n),马的弧 长记为4，分割T的细度为门哪△，在马上任取一点传，n) (i=12,.,n).若有极限 肥nJ, 且J的值与分割T与点怎，n)的取法无关，则称此极限为（川在L上的第一型 曲线积分，记作 ∫fx,y (二)、第一型曲线积分的性质 若4 （d=l2.,”)都存在，c(d=12.n).为常数，则 空恤豆咖 f(x.yps (2)若曲线段L由曲线L,↓2.L。,首尾相接而成， 都存在，则 ∫f f,地∫，西 也存在，且 8若地 都存在，且在L上(sg川，则 t体e恤 Jfxy达 [f(x.y)ds fky (4)若 存在，则 也存在，且 )考/ 存在，L的弧长为5，则存在常数c,使得 fk,y达 =cs, 这里时fk小sc≤mx/k,)

《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 2 定义 设 L 为平面上可求长度的曲线段， f (x, y) 为定义在 L 上的函数．对曲 线 L 作分割 T ，它把 L 分成 n 个可求长度的小曲线段 Li （ i = 1,2,  , n ）， Li 的弧 长记为 i s ，分割 T 的细度为 i i n T = s 1  max ， 在 Li 上 任 取 一 点 ( )  i i , （ i = 1,2,  , n ）．若有极限  ( ) = →  n i i i i T f s 1 0 lim  , = J ， 且 J 的值与分割 T 与点 ( )  i i , 的取法无关，则称此极限为 f (x, y) 在 L 上的第一型 曲线积分，记作 f (x y)ds L  , ． （二）、第一型曲线积分的性质 （1）若 f (x y)ds L  i , （ i = 1,2,  , n ）都存在， i c （ i = 1,2,  , n ），为常数，则 c f (x y)ds L n i  i i =1 , = c f (x y)ds n i L  i  i =1 , . （2）若曲线段 L 由曲线 1 2 L ,L . Ln ，首尾相接而成， f (x y)ds Li  , 都存在，则 f (x y)ds L  , 也存在，且 f (x y)ds L  , = f (x y)ds n i Li  =1 , . （3）若 f (x y)ds L  , ， g(x y)ds L  , 都存在，且在 L 上 f (x, y)  g(x, y) ，则 f (x y)ds L  ,  g(x y)ds L  , . （4）若 f (x y)ds L  , 存在，则 f (x y)ds L  , 也存在，且 f (x y)ds L  ,  f (x y)ds L  , . （5）若 f (x y)ds L  , 存在， L 的弧长为 s ，则存在常数 c ，使得 f (x y)ds L  , = c s ， 这里 f (x y) c f (x y) L L inf ,   max ,

《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 三、第一类曲线积分的计算 定理20.1设有光滑曲线L:D=y你a月7 ,)为定义在上的连续 函数，则 fx,y达∫f)wtNo20)+w2百h =a (3) 证明由弧长公式知道，L上由(=到=4的孤长， 。手o0)+w6h As,= 由V00+w而的连续性与积分中值定理，有 △s,=Vp20)+w2G)M,0,必存在6>0，使当<i时有+w阿-O+≤s 从而seM2M=M6-a) 所以=0 3

《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 3 三、第一类曲线积分的计算 定理 20.1 设有光滑曲线 L ： ( ) ( )     , , ,     = = t y t x t ， f (x, y) 为定义在上的连续 函数，则 f (x y)ds L  , = ( ( ) ( )) ( ) ( )   +    f  t  t  t  t dt 2 2 , . (3) 证明 由弧长公式知道， L 上由 = i−1 t t 到 i t = t 的弧长, si = ( ) ( )  −  +  i i t t t t dt 1 2 2   ， 由 (t) (t) 2 2  + 的连续性与积分中值定理，有 si = ( ) ( ) i i i    +  t 2 2 ( ) i i i t    t −  1 ， 所以  ( ) =  n i i i i f s 1  , = ( ( ) ( )) ( ) ( ) i n i i i i  f     +   t =1 2 2   ,      ， 这里 ( ) i i i i t     t −  , 1 ．设  = ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i n i i i i  f     +   −   +   t = , [ ] 2 2 1 2 2             ， 则有  ( ) =  n i i i i f s 1  , = ( ( ) ( )) ( ) ( ) i n i i i i  f     +   t =1 2 2   ,      +  ， (4) 令 t = maxt 1 ,  ,t n1 ，则当 T → 0 时，必有 t →0 ．现在证明 lim 0 0 =  →  t . 因为复合函数 f ((t),(t)) 关于 t 连续，所以在闭区间 , 上有界，即存在常数 M ，使对一切 t  , 都有 f ((t),(t))  M ，  ( )+ ( ) −  ( )+ ( )   i i i i 2 2 2 2 ， 再由 (t) (t) 2 2  + 在 , 上连续，所以它在 , 上一致连续，即对任给的   0 ，必存在   0 ，使当 t   时有  ( )+ ( ) −  ( )+ ( )   i i i i 2 2 2 2 ， 从而  ( ) =   = − n i M t i M b a 1    , 所以 lim 0 0 =  →  t

《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海市大学数学系 再由定积分定义 三i)E+pw6o0+v0h 因此当在（④）式两边取极限后，即所要证的式 当曲线L由方程y=以x∈a,表示，且y=)在a,上有连续导函数 「fx,wxAN1+w2x 时，(3)式成为 注：1.小参数值作下限，大参数值作上限 1.上述公式可能为在替换x=x()y=()z=0下积分[f(x,y,达的变 形. 2.注意：d=√x)+y0+z)d山 3.利用弧长公式：把第一类曲线积分化为定积分计算 4.特别地，如果曲线C为一光滑的平面曲线，解为y=(x)(a≤x≤b),那么 有 [/x,ys=∫/几x,p(xlW1+o(x) 若曲线C方程为x=oy)y∈[c,d, 则 Sf.n-jno.hi+ood. 5.这个积分的特性在于曲线C的方向无关，又称为关于弧长的积分 x=cost,0≤1≤开 例1设L是半圆y=asin1, 试计算第一型曲线积分 j62+y2 解 ∫62+yh了aos1+sm7h=a 例2设L是广=r从000到02的一段，试计第第一型线积分必 4

《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 4 再由定积分定义 ( ( ) ( )) ( ) ( ) i n i i i i  f     +   t =1 2 2   ,      = ( ( ) ( )) ( ) ( )   +    f  t  t  t  t dt 2 2 , ， 因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式. 当曲线 L 由方程 y =(x), xa,b 表示，且 y =(x) 在 a,b 上有连续导函数 时，(3)式成为 ( ( )) ( )  +  b a f x xt x dx 2 , 1  . 注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限． 1.上述公式可能为在替换 x = x(t).y = y(t).z = z(t) 下积分 f x y z ds c ( , , ) 的变 形. 2.注意: ds = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ' ' ' x t t t dt y z + + 3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算. 4.特别地,如果曲线 C 为一光滑的平面曲线,解为 y= (x) (a  x  b), 那么 有   f x y ds = f x x + x dx c ( , ) [ , ( )] 1 ( ) ' 2   . 若曲线 C 方程为 x = ( y), y [c,d] , 则 f x y f y y y dy d c c ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) ' 2  =   + . 5.这个积分的特性在于曲线 C 的方向无关,又称为关于弧长的积分. 例 1 设 L 是半圆       = = t y a t x a t 0 sin , cos , 试 计 算 第 一 型 曲 线 积 分 ( )  + L x y ds 2 2 . 解 ( )  + L x y ds 2 2 = ( )  + =   0 2 2 2 2 3 a a cos t sin t dt a . 例 2 设 L 是 y 4x 2 = 从 O(0,0) 到 A(1,2) 的一段，试计算第一型曲线积分  L yds

《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 解 jn-2-a-可 空间曲线L上的第一型曲线积分：设空间曲线 L:x=p0,y=w0,=2X0,1ea,B]. 函数()，0，x)连续可导，则对L上的连续函数fx,y,),有 ∫fx,y=)d达=fo0,w),x0ANo2)+)+x20d. 例3计算积分[x2d,其中L是球面x2+y2+z2=a2被平x+y+:=0 截得的圆周· 解由对称性知，∫xd杰=y本=，→ 达=+少+：达=号=号知.（注意L是大圆)。 例4求y+2+2x达，其中L是球面x2+y2+:2=a2与平面 x+y+:=0的交线。 解法1∫y+2+x达=打2(y+g+2x)达 =2x+y+-+少+脑 c+产+达== 解法2求曲线L的参数方程。由x2+y2+22=a2,x+y+:=0消去y, x2+(x+z)2+z2=a2, 即 +罗0-2品 令：=m1,则

《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 5 解  L yds = (2 2 1) 3 4 0 2 4 1 3 2 2 4 1 2 3 2 2 0 2 = −         + =  +  y dy y y . 空间曲线 L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线 L : x = (t), y =(t), z = (t) ,t [,  ]. 函数 (t), (t), (t) 连续可导, 则对 L 上的连续函数 f (x, y,z) , 有 ( )   =  +  +  L f x y z ds f t t t t t t dt   ( , , ) ( ) , ( ) , ( )  ( )  ( )  ( ) 2 2 2 . 例3 计算积分 L x ds 2 , 其中 L 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 被平 x + y + z = 0 截得的圆周 . 解 由对称性知 ,  = L x ds 2  = L y ds 2 L z ds 2 ,  L x ds 2 =   + + = = L L ds a a x y z ds 3 2 2 2 2 3 2 3 ( ) 3 1  . ( 注意 L 是大圆 ). 例 4 求  + + L (xy yz zx)ds ，其中 L 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 与平面 x + y + z = 0 的交线. 解法 1  + + L (xy yz zx)ds  = + + L 2(xy yz zx)ds 2 1  = + + − + + L [(x y z) (x y z )]ds 2 1 2 2 2 2  + + − = L (x y z )ds 2 1 2 2 2  = − − = L ds a a 3 2 2  解法 2 求曲线 L 的参数方程。由 2 2 2 2 x + y + z = a ， x + y + z = 0 消去 y ， 得 2 2 2 2 x + (x + z) + z = a ， 即 ) 2 3 (1 2 ) 2 ( 2 2 2 2 z a z a x + = − ， 令 z asin t 3 2 = ，则

《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海市大学数学系 y=+=干行o4-6m1, 于是得到两组参数方程 a y= =-Vasnt 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和L都具有轮换对称性，则 w++2x站=3∫xd =5cjm1cs-方no0+0+0h -jaea1方m0a=-m= 解法3作坐标旋转。就坐标是(x,y),新坐标是(X,Y),旋转角为0，则旋 转变换的一般公式为 x=Xcos0-Ysin0,y=Xsin 0+Y cos0, 因为平面x+):=0的单位法无为厅=方山，则它与：轴的夫角余弦为 Q0s下面分两步进行旋转，先将Oy平面旋转，得新坐标系O: 再将Ocd平面旋转p,得新坐标系Omp.即 Oxy:-Ou'vzOw 由旋转公式得 6

《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 6 ) 2 3 (1 2 2 2 2 2 z a z a x = −  − t a t a sin 6 cos 2 =  − , t a t a y x z sin 6 cos 2 = −( + ) =  − , 于是得到两组参数方程 t a t a x sin 6 cos 2 = − t a t a x sin 6 cos 2 = − − t a t a y sin 6 cos 2 = − − t a t a y sin 6 cos 2 = − z asin t 3 2 = z asin t 3 2 = 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和 L 都具有轮换对称性，则  + + L (xy yz zx)ds  = L 3 zxds  = 2 0 2 3a sin t t sin t) x (t) y (t) z (t)dt 3 1 (cos 2 2 2 −  +  +   = 2 0 3 3a sin t t sin t)dt 3 1 (cos − 3 2 0 3 2 a sin tdt a  = − = −  . 解法 3 作坐标旋转。就坐标是 (x, y) ，新坐标是 (X,Y) ，旋转角为  ，则旋 转变换的一般公式为 x = X cos −Y sin ， y = X sin  + Y cos , 因为平面 x + y + z = 0 的单位法矢为 {1,1,1} 3 1 n =  ，则它与 z 轴的夹角余弦为 3 1 cos = . 下面分两步进行旋转，先将 Oxy 平面旋转 4  ，得新坐标系 Ou  vz ； 再将 Ozu  平面旋转  ，得新坐标系 Ouvw. 即 Oxyz Ou  vz Ouvw, 由旋转公式得

《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 ('-v) 1 x=. C==wcosd-usin +. u'=wsin +ucos, 于是得 1 [x=. (uc+wsin) 万ucos+p+wsn) =wcoso -usin 在这组变换下，曲线L:x2+y2+2=a2,x+y+z=0变为w2+v2+w2=a2, w=0,故 +rco-rx -ecw-rh=e-3nw =打e2+2)-42]达=和2-2d了sm2d=-m2 注1：三种解法各具特点： 解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分 解法2常规的方法，即 写出参数方程一套公式一计算定积分. 这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法 解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规 的方法计算. Oxz坐标系下的线积分一On坐标系下的线积分 一写出参数方程一套公式一计算定积分， 在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问 题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。 作业P201:1:2:3

《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 7 ( ) 2 1 x = u  − v z = wcos − u sin  ( ) 2 1 y = u  + v , u  = wsin  + u cos , 于是得 ( cos sin ) 2 1 x = u  − v + w  ( cos sin ) 2 1 y = u  + v + w  z = wcos − u sin  在这组变换下，曲线 L ： 2 2 2 2 x + y + z = a ， x + y + z = 0 变为 2 2 2 2 u + v + w = a ， w = 0 ，故  + + L (xy yz zx)ds  = L 3 xyds  = − + L (u cos v)(u cos v)ds 2 3    = − L (u cos v )ds 2 3 2 2 2  u v ds L ( 3 ) 2 1 2 2 = −  u v v ds L [( ) 4 ] 2 1 2 2 2 = + −  3 2 0 3 3 2 a 2a sin tdt a  = − = −  . 注 1: 三种解法各具特点： 解法 1 技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。 解法 2 常规的方法，即 写出参数方程 套公式 计算定积分. 这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法 2，给出了一种求参数方程的方法. 解法 3 先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规 的方法计算. Oxyz 坐标系下的线积分 Ouvw 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定积分, 在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问 题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程. 作业 P201: 1;2;3