海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二十一章 二重积分 21.3 格林公式、曲线积分与路线无关性

《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 §3格林公式，曲线积分与路线无关性 教学目的掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件 教学内容格林公式；曲线积分与路线无关的条件。 (①)基本要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，理解格林公 式以及曲线积分与路线无关的条件的定理的证明. (2)较高要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件定理应用的特 殊技巧. 教学建议 ()要求学生必须熟练掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，并应 用格林公式化二重积分为曲线积分和化曲线积分为二重积分，使他们懂得在什么 情况下进行变换可带来方便 (②)对较好学生要求掌握在应用格林公式以及曲线积分与路线无关的条件 的定理时掌握“挖”“补”等某些特殊技巧. 教学程序 一、格林公式 区域边界的正方向的规定：略 定理21.11若函数Pk,以，Qx,川在闭区域D上连续，且具有连续的一阶 偏导数，则有 架P+ (1) 这里L是区域D的边界曲线，并取正方向.公式(1)称为格林公式 证明按区域的形状分三种情况来证明。 (i)若区域D既是x型又是y型区域（如图） 区域D表示为：p(d)≤y≤p,(,a≤x≤b 又可表示为：46)sy≤4：以asysB =a w)

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §3 格林公式，曲线积分与路线无关性 教学目的 掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件． 教学内容 格林公式；曲线积分与路线无关的条件． (1) 基本要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，理解格林公 式以及曲线积分与路线无关的条件的定理的证明． (2) 较高要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件定理应用的特 殊技巧． 教学建议 (1) 要求学生必须熟练掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，并应 用格林公式化二重积分为曲线积分和化曲线积分为二重积分，使他们懂得在什么 情况下进行变换可带来方便． (2) 对较好学生要求掌握在应用格林公式以及曲线积分与路线无关的条件 的定理时掌握“挖”“补”等某些特殊技巧． 教学程序 一、格林公式 区域边界的正方向的规定：略 定理 21.11 若函数 P(x, y)，Q(x, y) 在闭区域 D 上连续，且具有连续的一阶 偏导数，则有            −   D d y P x Q  =  + L Pdx Qdy ， （1） 这里 L 是区域 D 的边界曲线，并取正方向．公式（1）称为格林公式． 证明 按区域的形状分三种情况来证明. （ⅰ）若区域 D 既是 x 型又是 y 型区域（如图） 区域 D 表示为： 1 (x)  y 2 (x),a  x  b ， 又可表示为： 1 (y)  y  2 (y),  y      D d x Q  = ( ) ( )         y y dx x Q dy 2 1

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系■ jo,0以-jom,b以h-∫，wfet 网可E器知f化 ,上述两式相加即得 器}加.P肱+呦 (ⅱ)若区域D由一条按段光滑的闭曲线围成，用几条光滑曲线将它分成有 限个既是x型又是y型子区域，然后逐块应用 (i)得到它的格林公式，并相加即可，如图 中所示的情况则有 器加器-器加 婴器器加 fPd+Qdy fPd+QdfP+fPd+Qd (进)若区域D为由若干条闭曲线所围成的多连通区域，如图为例，可添加直线 段AB,EC,把区域转化为(i)的情况来处理， " +o 上ffh+w)fr+o 格林公式的便于记忆的形式 +

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 = ( ( ) )    Q  y , y dy 2 ( ( ) )  −   Q  y , y dy 1 = Q(x y)dy CBE  , Q(x y)dy CAE  − , = ( )  L Q x, y dy ， 同理可证    − D d y P  = ( )  L P x, y dx ，上述两式相加即得            −   D d y P x Q  =  + L Pdx Qdy . （ⅱ）若区域 D 由一条按段光滑的闭曲线围成，用几条光滑曲线将它分成有 限个既是 x 型又是 y 型子区域，然后逐块应用 （ⅰ）得到它的格林公式，并相加即可，如图 中所示的情况则有            −   D d y P x Q  =            −   D1 d y P x Q  +            −   D2 d y P x Q  +            −   D3 d y P x Q  =  + L1 Pdx Qdy +  + L2 Pdx Qdy +  + L Pdx Qdy =  + L Pdx Qdy ． （ⅲ）若区域 D 为由若干条闭曲线所围成的多连通区域，如图为例，可添加直线 段 AB, EC ，把区域转化为（ⅱ）的情况来处理．            −   D d y P x Q  = (Pdx Qdy) AB L BA AFC CE L EC CGA +         + + + + + + + +         2 3 = (Pdx Qdy) L L L +         + +    2 3 1 =  + L Pdx Qdy ． 格林公式的便于记忆的形式      D d P Q x y  =  + L Pdx Qdy ．

《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 例1计算流，其中鱼线B是半径为的国在第一象限的部分 解半径为r的圆在第一象限的部分为区域D,由格林公式 -h+ ,所以 ∫x-∬do-ar D =4. s xdy-ydx 例2计算1=x+y,其中L为任一不包含原点的闭区域的边界 解格林公式条件满足，故 g加品小加 =0 例3计算抛物线G+ヅ=a>0)与x轴所 围的面积 解 .2 二、曲线积分与路径的无关性 单连通区域的概念：若对平面区域D内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的 点而连续收缩于D内的某一点，称D为单连通区域.否则称为复连通区域， 定理21.12设D是单连通闭区域.若函数P心k,川，Qk,川在D内连续，且 具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (i)对于D内任一按段光滑的封闭曲线L,有 手Pt+0 =0: (ⅱ)对于D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分 3

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 例 1 计算  AB xdy ，其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限的部分． 解 半径为 r 的圆在第一象限的部分为区域 D ，由格林公式  − D d =  −L xdy =    + + OA AB BO xdy xdy xdy =0+  + OA xdy 0=  OA xdy ,所以  OA xdy =  − D d = 4 2  r − ． 例 2 计算 I =  + − L x y xdy ydx 2 2 ，其中 L 为任一不包含原点的闭区域的边界． 解 格林公式条件满足，故 I =  + − L x y xdy ydx 2 2 =             −   D d y P x Q  =                    +  −        + −   D d x y x x y y y x  2 2 2 2 =   D 0d =0. 例 3 计算抛物线 ( ) ( 0) 2 x + y = ax a  与 x 轴所 围的面积. 解 D S =  − L xdy ydx 2 1 =  − AMO xdy ydx 2 1 +  − ONA xdy ydx 2 1 =  − AMO xdy ydx 2 1 +0= ( )   =      − −         − 0 2 6 1 1 2 2 1 a ax x dx a ax a x ． 二、曲线积分与路径的无关性 单连通区域的概念：若对平面区域 D 内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的 点而连续收缩于 D 内的某一点，称 D 为单连通区域．否则称为复连通区域． 定理 21.12 设 D 是单连通闭区域．若函数 P(x, y)，Q(x, y) 在 D 内连续，且 具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： （ⅰ）对于 D 内任一按段光滑的封闭曲线 L ，有  + L Pdx Qdy =0； （ⅱ）对于 D 内任一按段光滑的曲线 L ，曲线积分

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 Pdx+Qdy 与路线无关.只与L的起点及终点有关： (iⅲ)Pd+Q是D内某一函数u的全微分，即 du=Pdx+Qdy; (iv)在D内处处成立yx 证明(i)→（ⅱ）如图 Ph+O-+O.P+O+Ph+O呦 「Pk+Q本 三ARRSA =0 JPt+O∫Pdk+Qd 图21-17 所以R =ASB (ⅱ)→() 设4，)为D内一定点，B川为D内任意一点，由 ∫Pt+Ow (ⅱ)曲线积分 与路线的选择无关，故当B(,)在 D内变动时，其积分值是B,以的函数，即有 t以JPh+Q .取△x充分小，使+Ax,)eD,由于积分与路线无关故 函数x,)对于的偏增量 +at.Pi+呦-P+QwPk+Q ,其中直线段BC平 行于x轴由积分中值定理可得 A如t+.I+Q.k+aA,种 0<B<1,由Px,)在D上的连续性 器卧岩-典Pt+》K)

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4  + L Pdx Qdy 与路线无关．只与 L 的起点及终点有关； （ⅲ） Pdx + Qdy 是 D 内某一函数 u 的全微分，即 du = Pdx + Qdy ； （ⅳ）在 D 内处处成立 x Q y P   =   ． 证明 （ⅰ） → （ⅱ）如图  + ARB Pdx Qdy  − + ASB Pdx Qdy =  + ARB Pdx Qdy  + + BSA Pdx Qdy =  + ARBSA Pdx Qdy =0, 所以  + ARB Pdx Qdy =  + ASB Pdx Qdy ． （ⅱ） → （ⅲ） 设 ( ) 0 0 A x , y 为 D 内一定点， B(x, y) 为 D 内任意一点，由 （ⅱ）曲线积分  + AB Pdx Qdy 与路线的选择无关，故当 B(x, y) 在 D 内变动时，其积分值是 B(x, y) 的函数，即有 u(x, y)=  + AB Pdx Qdy ．取 x 充分小，使 (x + x, y) D ，由于积分与路线无关故 函数 u(x, y) 对于的偏增量 u(x + x, y)− u(x, y)=  + − AC Pdx Qdy  + AB Pdx Qdy =  + BC Pdx Qdy ,其中直线段 BC 平 行于 x 轴由积分中值定理可得 u = u(x + x, y)− u(x, y)=  + BC Pdx Qdy = P(x y)dx x x x  + , = P(x +x, y)x ,其中 0  1 ，由 P(x, y) 在 D 上的连续性 x u   = P(x x y) x u x x lim lim , 0 0 = +     →  →  = P(x, y)

《数学分析》下所 第二十一章二重积分 海市大学数学系 同理可证y=Qx,y以.因此du=Pk+Q山 (i)→(iv)设存在，)，使得d=P+Q, 所以P(,以=亦，川，川=可，川，因此 aP o'u 8o 8'u 因P化，Q,以在区域D内有连续的偏导数，所以 u 8'u dxdy =Oydx 从而在D内每一点处有 aP a0 dy =dx. (iw)→(i) 设L为D内任一按段光滑封闭曲线，记L所围的区域为O.由于D为单连通 aP ao 区域，所以区域G含在D内.应用格林公式及在D内恒有可=成的条件，就得 到 f+架 以上证明了所述四个条件是等价的. ap ae 注1：第二十章§2中的例1，因不满足=x,故积分与路线有关，而例 2中砂=x满足，故积分与路线无关. 生利用装K用新，引÷ 在除去原点的区域内是成立，但L为绕原点的封闭曲线时，L所围成的区域包含 aP 80 原点，=所成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零.事实上 5

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 同理可证 y u   =Q(x, y)．因此 du = Pdx + Qdy （ⅲ） → （ⅳ）设存在 u(x, y) ，使得 du = Pdx + Qdy , 所以 P(x, y)= x  u(x, y)，Q(x, y)= y  u(x, y) ，因此 y P   = x y u    2 ， x Q   = y x u    2 , 因 P(x, y)，Q(x, y) 在区域 D 内有连续的偏导数，所以 x y u    2 = y x u    2 , 从而在 D 内每一点处有 y P   = x Q   ． （ⅳ） → （ⅰ） 设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线，记 L 所围的区域为  ．由于 D 为单连通 区域，所以区域  含在 D 内．应用格林公式及在 D 内恒有 y P   = x Q   的条件，就得 到  + L Pdx Qdy =            −   D d y P x Q  =0. 以上证明了所述四个条件是等价的． 注 1：第二十章§2 中的例 1，因不满足 y P   = x Q   ，故积分与路线有关，而例 2 中 y P   = x Q   满足，故积分与路线无关． 注 2：条件单连通区域是证明要的本节例 2 中，          +  −        + −   2 2 2 2 x y x x y y y x =0 在除去原点的区域内是成立，但 L 为绕原点的封闭曲线时， L 所围成的区域包含 原点， y P   = x Q   成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零．事实上

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 设L为绕原点一周的圆时， L:x=acos0,y=asin0,(0≤0≤2x, 则有 ao 若函数x,以具有性质 dix.y)=p(x.y)dx+(x.y)dy 称，为P:+Qx,的一个原函数.函数Px,以，Qx,以满足定理 21.12时，在D内的原函数可用路线积分的方法求出. 例4应用曲线积分求 (2x+siykx+xcos ydy 的原函数 解P心k,以=2x+smy,)=xcosy在整个平面上有连续的偏导数，且 Pa袒 dy ax =cosy, 故积分与路线无关，取原点O0,O)为起点，Bx,)为终点，取如图的折线为积分 路线，则有(2x+s少：+xcos)的原函数为 lk刘-j2恤+jox+my. 作业P231:1;2:3:4:5:6:7. 6

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 6 设 L 为绕原点一周的圆时， L ： x = acos ， y = asin  ，(0   2 ), 则有  + − L x y xdy ydx 2 2 =  =    2 0 d 2 ． 若函数 u(x, y) 具有性质 du(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy , 称 u(x, y) 为 P(x, y)dx +Q(x, y)dy 的一个原函数.函数 P(x, y)，Q(x, y) 满足定理 21.12 时，在 D 内的原函数可用路线积分的方法求出． 例 4 应用曲线积分求 (2x + siy)dx + xcos ydy 的原函数. 解 P(x, y)= 2x + sin y，Q(x, y)= x cos y 在整个平面上有连续的偏导数，且 y P   = x Q   = cos y , 故积分与路线无关，取原点 O(0,0) 为起点， B(x, y) 为终点，取如图的折线为积分 路线，则有 (2x + siy)dx + xcos ydy 的原函数为 ( )   = + x y u x y tdt x sds 0 0 , 2 cos = x xsin y 2 + ． 作业 P 231: 1;2;3;4;5;6;7

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