第一章行列式 使学牛堂据排与逆序 教学目 阶行列式的定义，性质及其算法 使学生掌握克莱姆法则 的 教 学 n阶行列式的定义，性质及其算法 克莱姆法则 学 n阶行列式的定义，性质及其算法 难 克莱姆法则 教学过程 (一)引入新课。 行列式及其性质 行列式与行列式的值 对一个n阶方阵A a21a22.a2n 用记号4 表示一个与A相联系的数，称 这种表达式为矩阵A的行列式，记作IA或detA。 第一节：二 阶与三阶行列式 由消元法求解二元线性方程组引出二阶行列式的定义。 介绍行、列、行标、列标及元素的定义。 利用行列式求解二元线性方程组的解。 第二节：n阶行列式 介绍排列、 全排列 、逆序、逆序数、偶排列及奇排列的定义。 重点介绍n阶行列式的定义。 介绍三角行列式、对换。 利用对换导出n阶行列式的另一个定义。 第三节：行列式的性质 明确为解决行列式的计算问题，研究行列式的性质。 首先给出转置行列式的概念和表示法。 性质1行列式和它的转置行列式相等： D=dea,D'=det(b,A,=an。此性质表明行列式中行和列的地位是同等的，对行成立的性 质对列也对，反之亦然。 性质2互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号： 引入记号：斯口，(G,口c)表示交换行列式的，两行（列） 推论行列式有两行（列）元素完全相同，则其值为零：
1 第一章 行列式 教 学 目 的 使学生掌握排列与逆序 使学生掌握 n 阶行列式的定义，性质及其算法 使学生掌握克莱姆法则 教 学 重 点 n 阶行列式的定义，性质及其算法 克莱姆法则 教 学 难 点 n 阶行列式的定义，性质及其算法 克莱姆法则 教 学 过 程 （一） 引入新课。 行列式及其性质 行列式与行列式的值 对一个 n 阶方阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ，用记号 n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 = 表示一个与 A 相联系的数，称 这种表达式为矩阵 A 的行列式，记作|A|或 detA。 第一节：二阶与三阶行列式 由消元法求解二元线性方程组引出二阶行列式的定义。 介绍行、列、行标、列标及元素的定义。 利用行列式求解二元线性方程组的解。 第二节：n 阶行列式 介绍排列、全排列、逆序、逆序数、偶排列及奇排列的定义。 重点介绍 n 阶行列式的定义。 介绍三角行列式、对换。 利用对换导出 n 阶行列式的另一个定义。 第三节：行列式的性质 明确为解决行列式的计算问题，研究行列式的性质。 首先给出转置行列式的概念和表示法。 性质 1 行列式和它的转置行列式相等； ij ij ji T D = det(aij), D = det(b ), b = a 。此性质表明行列式中行和列的地位是同等的，对行成立的性 质对列也对，反之亦然。 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号； 引入记号： ( ) i j i j r r c c 表示交换行列式的 i, j 两行（列）。 推论 行列式有两行（列）元素完全相同，则其值为零；
性质3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k,等于用k乘此行列式： 引入记号：行列式的第：行（列）乘以数k,记作×k(或c,×k)。 推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的符号之外： 引入记号：行列：行（列）式的第：行（列）提出公因子k可记作：÷k(或c,÷k)。 性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零： 性质5若D的某一行（列）的元素都是两数之和，则D等于相应两个行列式之和。 性质6把D式的某行（列）的各元素乘以同一数加到另一行（列）上去，其值不变。 引入记号：以数k乘第)行（列）加到第：行（列）上去，记作5+k灯(G+kc,)。 注意：①+知不能写作：+，它们含义不同：②性质5的应用举例，见P19。 性质？行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D=a4h+aa42+am4n=∑a4,i=l2,.,n 0-o+y4产24J=2 练习：P19:Ex1 总结本次课所讲主要内容和布置作业 引入新课。 第四节：行列式的展开与计算 N阶行列式的递推定义 定义：n阶行列式的值等于第一列的每个元与其代数余子式乘积的和。 定理：阶行列式的值等于第一行的每个元与其相应的代数余子式乘积的和。 1.利用行列式的性质和按行（列）展开定理推导范德蒙(Vandermonde)行列式 例： 证明。 2.由行列式的按行（列）展开性质6可得重要推论 性质7行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积 之和为零，即a14h+a24+.n4n=44=0i*, =a4,+k,+0山-2ee4=0ij 将性质6及性质？可写成如下形式（以助于记忆） 含==a,- 其中，-化称为克龙纳克儿(Kroneche)记号. 克拉默(Cramer)法则 L.Cramer法则
2 性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 k ，等于用 k 乘此行列式； 引入记号：行列式的第 i 行（列）乘以数 k ，记作 r k i （或 c k i ）。 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的符号之外； 引入记号：行列 i 行（列）式的第 i 行（列）提出公因子 k 可记作 r k i （或 c k i ）。 性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零； 性质 5 若 D 的某一行（列）的元素都是两数之和，则 D 等于相应两个行列式之和。 性质 6 把 D 式的某行（列）的各元素乘以同一数加到另一行（列）上去，其值不变。 引入记号：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上去，记作 ( ) i j i j r + kr c + kc 。 注意： i j r + kr 不能写作 j i kr + r ，它们含义不同；性质 5 的应用举例，见 P19。 性质 7 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D a A a A a A a A i n n k i i i i in in ik ik , 1,2, , 1 = 1 1 + 2 2 + = = = ， = D a A a A a A a A j n n k j j j j nj nj kj kj , 1,2, , 1 = 1 1 + 2 2 + = = = 。 练习：P19：Ex 1 总结本次课所讲主要内容和布置作业 引入新课。 第四节：行列式的展开与计算 N 阶行列式的递推定义 定义：n 阶行列式的值等于第一列的每个元与其代数余子式乘积的和。 定理：n 阶行列式的值等于第一行的每个元与其相应的代数余子式乘积的和。 1．利用行列式的性质和按行（列）展开定理推导范德蒙（Vandermonde）行列式 例： 证明Vandermonde行列。 2．由行列式的按行（列）展开性质 6 可得重要推论 性质 7 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积 之和为零，即 a A a A a A a A i j n k i j + i j + in jn = ik jk = = 0, 1 1 1 2 2 ， = a A a A a A a A i j n k i j + i j + ni nj = ki kj = = 0, 1 1 1 2 2 。 将性质 6 及性质 7 可写成如下形式（以助于记忆） = = = = i j D i j a a jk D ij n k ik 0, , 1 或 = = = = i j D i j a akj D ij n k ki 0, , 1 ， 其中 = = i j i j ij 0, 1, ，称为克龙纳克儿（Kronecher）记号。 克拉默（Cramer）法则 1．Cramer法则
(9)中，如果其系数行列式 D=dayz0,则(9)有唯一解：=D么=2，其中D,是将D的第列换成(9)的 常数项所得的行列式。 an:aj-b ai aum 即D a2 i a2j-b2 az.jtl:a2m . am:anj-1 ba anjsl amm 给出Cramer法则的证明。 说明Car法则有着重大理论价值，它可叙述为如下定理 定理：如果(9)的系数行列式D≠0，则(9)有且仅有唯一解。 或写成， 推论：如果(9)无解或有两个不同的解，则其系数行列式D=0。 2.齐次线性方程组有非零解的必要条件 a西+a2+an=0 若在(9)中，4，一4=0，它成为0++a=0 (12),它显然有零解： d+an2x2+amx=0 =2=.=x=0,何时有非零解2 定理：若在(12)中D≠0，则(12)无非零解。 或写成， 推论：若(12)有非零解，则一定有D=0。 总结本次课所讲主要内容 布置作业
3 在方程组 + + = + + = + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （9） 中，如果其系数行列式 D = det(aij) 0 ，则（9）有唯一解： j n D D x j j = , = 1,2,, ，其中 D j 是将 D 的第 j 列换成（9）的 常数项所得的行列式。 即 n n j n n j nn j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D 1 , 1 , 1 21 2, 1 2 2, 1 2 11 1, 1 1 1, 1 1 − + − + − + = 。 给出 Cramer 法则的证明。 说明 Cramer 法则有着重大理论价值，它可叙述为如下定理 定理： 如果（9）的系数行列式 D 0 ，则（9）有且仅有唯一解。 或写成， 推论：如果（9）无解或有两个不同的解，则其系数行列式 D = 0。 2．齐次线性方程组有非零解的必要条件 若在（9）中， b1 ,b2 , ,bn = 0 ，它成为 + + = + + = + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （12），它显然有零解： x1 = x2 == xn = 0 ，何时有非零解？ 定理： 若在（12）中 D 0 ，则（12）无非零解。 或写成， 推论： 若（12）有非零解，则一定有 D = 0。 总结本次课所讲主要内容 布置作业