西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的分布

第二章随机变量及其分布 9§2.1随机变量 。§2.2离散型随机变量及其概率分布 9§2.3随机变量的分布函数 。§2.4连续型随机变量及其概率密度 9§2.5随机变量的函数的分布 2/35

第二章 随机变量及其分布  §2.1 随机变量  §2.2 离散型随机变量及其概率分布  §2.3 随机变量的分布函数  §2.4 连续型随机变量及其概率密度  §2.5 随机变量的函数的分布 2/35

§2.5随机变量的函数的分布 9实际应用中，某些人们关心的随机变量Y往往不 能直接测量得到，而它可能是某个能测量的随机 变量的函数X 。比如我们有时很关心圆柱轴截面的面积S,但无法直接 获得，而我们能够获得圆柱轴截面的直径D，而随机变 量S是随机变量D的函数，即S=(1/4)πD2 。问题： 。怎样由已知的随机变量X的概率分布求它的函数Y=g(X) 的概率分布，其中g(·)是连续函数？ 一般的步骤是什么？ 3/35

§2.5 随机变量的函数的分布  实际应用中，某些人们关心的随机变量Y往往不 能直接测量得到，而它可能是某个能测量的随机 变量的函数X  比如我们有时很关心圆柱轴截面的面积S，但无法直接 获得，而我们能够获得圆柱轴截面的直径D，而随机变 量S是随机变量D的函数，即S=(1/4)πD2  问题：  怎样由已知的随机变量X的概率分布求它的函数Y=g(X) 的概率分布，其中g(•)是连续函数?  一般的步骤是什么？ 3/35

§2.5随机变量的函数的分布 例1：设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=X一1)的分布律 ● X-1012 Pk0.20.30.10.4 解：首先获得Y的所有可能取值：0,1,4 。求解各取值的概率 。P{Y=0}=P{X-1)2=0}=PX=1}=0.1 。PY=1=P{X-1)2=1}=P{X=0}+PX=2=0.7 ●PY=4=P{X-1)2=4}=P{X=-1}=0.2 。即得Y的分布律为 ● Y014 Pk0.10.70.2 。对于离散型随机变量 ●PY=y}等于所有满足yk=g(X)的X的取值的概率之和 4/35

§2.5 随机变量的函数的分布  例1：设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X－1)2的分布律  X －1 0 1 2  pk 0.2 0.3 0.1 0.4  解：首先获得Y的所有可能取值：0，1，4  求解各取值的概率  P{Y=0}＝P{(X－1)2=0}= P{X=1}=0.1  P{Y=1}＝P{(X－1)2=1}= P{(X=0}+P{X=2}=0.7  P{Y=4}＝P{(X－1)2=4}= P{(X=－1}=0.2  即得Y的分布律为  Y 0 1 4  pk 0.1 0.7 0.2  对于离散型随机变量  P{Y=yk }等于所有满足yk＝g(X)的X的取值的概率之和 4/35

§2.5随机变量的函数的分布 9例2：设随机变量X具有概率密度fx(x)= x/8,0<x<4 0,其它 。求随机变量Y=2X+8的概率密度 解：分别记X,Y的分布函数为Fxx),Fy),先求Y的分布函数Fy) Fy)=PYSY) ∥由分布函数的含义 ● 将Y=2X+8代入 =P2X+8≤y} ●表示为关于X的概率=PX≤(y一8)/2} 。即 =F(y-8)/2) 。将Fy)关于y求导得 ●fy)=dFy)1=dFx(Gy-8)/2)1dy=fx(G0y-8)/2)d0y-8)/2)1y =J(1/8)0y-8)/2]1/2),0<y-8)12<4 0, 其它 y-8)/32,8<y<16 =10,其它 ●注意：代入时，f的自变量及分段函数取值范围用g-(y)来代 5/35

§2.5 随机变量的函数的分布  例2：设随机变量X具有概率密度  求随机变量Y=2X+8的概率密度  解：分别记X,Y的分布函数为FX (x)，FY (y)，先求Y的分布函数FY (y)  FY (y)＝P{Yy} //由分布函数的含义  将Y=2X+8代入 ＝P{2X＋8y}  表示为关于X的概率 ＝P{X(y－8)/2}  即 ＝FX ((y－8)/2)  将FY (y)关于y求导得  fY (y)=dFY (y)/dy=dFX ((y－8)/2)/dy = fX ((y－8)/2)d((y－8)/2)/dy  =  =  注意：代入时， fX的自变量及分段函数取值范围用g－1 (y)来代       0, 其它 / 8, 0 4 ( ) x x f X x        0, 其它 (1/ 8)[( y 8)/ 2](1/ 2), 0 ( y 8)/ 2 4       0, 其它 ( y 8)/ 32, 8 y 16 5/35

§2.5随机变量的函数的分布 求连续型随机变量X的函数Y=gX)的概率密度的一般步骤： 9已知fxx),Y=gX),求fy) ●1°先写出Y的分布函数定义式：Fy)=P{Y以 由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论fOy) ●2°将Y=gX)代入上式 =P{g(X)}/在y的值域范围内讨论 ·3°由g(X)y求解X的范围 =PXIg(X)}表示为y的形式 。4°由X的分布函数Fc)表示以上概率，得到关于y的表达式Fy), 其中Fc)的自变量x用关于y的表达式来代。 。5°求导得fy)=dFy)/d,将fy)的所有可能的情况合并 。掌握变上下限积分求导公式 6/35

§2.5 随机变量的函数的分布  求连续型随机变量X的函数Y=g(X)的概率密度的一般步骤：  已知fX (x)，Y=g(X)，求fY (y)  1°先写出Y的分布函数定义式：FY (y)＝P{Yy}  由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论 fY (y)  2°将Y=g(X)代入上式 ＝P{g(X)y} //在y的值域范围内讨论  3°由g(X)y求解X的范围 ＝P{X|g(X)y} 表示为y的形式  4°由X的分布函数FX (x)表示以上概率，得到关于y的表达式FY (y)， 其中FX (x)的自变量x用关于y的表达式来代。  5°求导得fY (y)＝dFY (y)/dy，将fY (y)的所有可能的情况合并  掌握变上下限积分求导公式 6/35

§2.5随机变量的函数的分布 例3：设随机变量X具有概率密度fx), 一o00时，代入Y=X2得 Fy)=P(Y0 0 y≤0 7135

§2.5 随机变量的函数的分布 例3：设随机变量X具有概率密度fX (x)， －∞0时，代入Y=X2得 FY (y)＝P{Yy}＝P{ X2y} 3° ＝P{ } 4°由FX (x)得 FY (y)＝ 5°fY (y)＝dF(y)/dy＝  y  X  y F ( y) F ( y) X  X           0, 0 [ ( ) ( )] 0 2 1 y f y f y y y X X ， 7/35

§2.5随机变量的函数的分布 在Y=g(X),且g(X)为严格单调函数时的一般结果 9定理：设随机变量X具有概率密度f(x),一oo0(或g'x)<0),则Y=g(X)是 连续型随机变量，其概率密度为 fy(y)= fxIh(y川'(y),a&<y<B 0, 其它 o其中a=min{g(-oo),g(o)}, B=maxig(-oo),g(oo), hy)是g(x)的反函数 8135

§2.5 随机变量的函数的分布  在Y=g(X)，且g(X)为严格单调函数时的一般结果  定理：设随机变量X具有概率密度fX (x)，－∞0(或g(x)<0)，则Y= g(X)是 连续型随机变量，其概率密度为   其中α＝min{g(－∞)，g(∞)}，  β＝max{g(－∞)，g(∞)}，  h(y)是g(x)的反函数        0, 其它 [ ( )]| ( )| , ( ) f h y h y  y  f y X Y 8/35

§2.5随机变量的函数的分布 证：g')>0的情况 F()=P(YSy)=P(g(X)s) 此时gc)为单调增函数，所以(y)也是单调增函数，且有y的取值范围为 a=g(-o)y≤g(oo)=p, 因此当≤时，Fy)=0; 当y2时，F0y)=1 当a≤ys时，Fy)=PYs=P{g(X)s} h(y)是单调增函数 =P{X≤(y)} =Fx(h(y)) ● 求导0例=aE0=aEhW于xh]')a<y<B 其它 g')<0的情况，此时h'y)<0 0, ● P(g(X)S)=P(Xzh(v))=1-Fx(h(v)) fx [h(y)I-h'(y)l,a<y<B fy(y)=dF(y)/dy=dl1-Fx(h(v))lldy= 0, 其它 两种情况合并即可得证 9/35

§2.5 随机变量的函数的分布  证：g(x)>0的情况  FY (y)＝P{Yy}＝P{g(X)y}  此时g(x)为单调增函数，所以h(y)也是单调增函数，且有y的取值范围为  α＝g(－∞)yg(∞)＝β，  因此当yα时，FY (y)＝0； 当yβ时，FY (y)＝1  当 αyβ时，FY (y)＝P{Yy}＝P{g(X)y}  h(y)是单调增函数 ＝P{Xh(y)}  ＝ FX (h(y))  求导fY (y)＝dFY (y)/dy＝dFX (h(y))/dy＝  g(x)<0的情况，此时h(y)<0  P{g(X)y}=P{Xh(y)}=1－FX (h(y))  fY (y)＝dF(y)/dy＝d[1－FX (h(y))]/dy＝  两种情况合并即可得证       0, 其 它 f X [h( y)]h ( y),  y         0, 其 它 f X [h( y)][ h ( y)],  y  9/35

§2.5随机变量的函数的分布 推广 ●若fxx)在有限区间[a,b以外等于0，则只需假设在[a,b] 上恒有g'x)>0(或g'x)<0),a=min{g(a,g(b)},B= max{g(a),g(b)},以上结论还成立 分段单调函数的情况下，上述定理可进一步推广 为下面形式 ·假设g(x)在下面两个区间(a1,b)和(2，b2)分别是单调的函 数，其中在(a1,b1)上的反函数为h1y),在(2，b)上的反 函数为2y),且fxx)在其它有限区间等于0，则有 ·f0=fxhI训川+fxh,OI训goia<y<B 0. 其它 其中y的范围由gx)确定 。可参考教材中Y=X2的求解过程 10/35

§2.5 随机变量的函数的分布  推广  若fX (x)在有限区间[a,b]以外等于0，则只需假设在[a,b] 上恒有g(x)>0(或g(x)<0)，α＝min{g(a)，g(b)}，β＝ max{g(a)，g(b)}，以上结论还成立  分段单调函数的情况下，上述定理可进一步推广 为下面形式  假设g(x)在下面两个区间(a1 ,b1 )和(a2 ,b2 )分别是单调的函 数，其中在(a1 ,b1 )上的反函数为h1 (y)，在(a2 ,b2 ) 上的反 函数为h2 (y)，且fX (x)在其它有限区间等于0，则有  fY (y)＝  其中y的范围由g(x)确定  可参考教材中Y=X2的求解过程         0, 其它 [ ( )]| ( )| [ ( )]| ( )| , f X h1 y h1 y f X h2 y h2 y  y  10/35

§2.5随机变量的函数的分布 。例4：正态分布的随机变量的线性变换问题 ●已知随机变量X~N(w,σ)，试证明X的线性函数Y=aX+b(0)也服从正态 分布。 。证：X的概率密度为 1-2 fx)= 0,-00<x<00 √2πo ·现在y=gc)=x+b,由这一式子解得x=hy)=(y-b)/a,且有h'y)=1/a 。显然gx)是严格单调的，由定理有 。f0)=fxhI川h'la<y<B1 0 其它a 。)，-00<y00 11 e 20 1-(b+a e 2(ao) 一00<yK00 Ia|√2πo |a|o√2π 所以有 Y=aX+b~N(au+b,(ao)2) 。特别的当a=1/o,b=一ulc时，Y=(X一)/o=~N0,1) 。即上一节的引理的结果 11/35

§2.5 随机变量的函数的分布  例4：正态分布的随机变量的线性变换问题  已知随机变量X～N(μ，σ 2 )，试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态 分布。  证：X的概率密度为  f(x)＝ ，－∞<x<∞  现在y＝g(x)=ax+b，由这一式子解得x＝h(y)=(y-b)/a，且有h(y)＝1/a  显然g(x)是严格单调的，由定理有  fY (y)＝ ，－∞<y<∞  ＝ ＝ ，－∞<y<∞  所以有  Y= aX+b～N(aμ＋b，(aσ) 2 )  特别的当a＝1/σ，b＝－μ/σ时，Y=(X－μ)/σ=～N(0，1)  即上一节的引理的结果 2 2 2 ( ) 2 1      x e ( ) | | 1 0, [ ( )]| ( )|, a y b f a f h y h y y X X         其它   2 2 2 ( ) 2 1 | | 1       a y b e a 2 2 2( ) [ ( ] | | 2 1     a y b a e a    11/35