第四章向量组的线性相关性 一.向量组及其线性组合 二.向量组的线性相关性 三.向量组的秩 四。向量空间 五.线性方程组解的结构
二. 向量组的线性相关性 一. 向量组及其线性组合 三. 向量组的秩 第四章 向量组的线性相关性 四. 向量空间 五. 线性方程组解的结构
第一节：向量组及其线性组合 1.向量的定义及其运算 定义：n个有次序的数1,42，.，4m所组成的有序数组 (1,2,.,4n)称为一个n维向量。 这n个数称为该向量的n个分量，第i个数： 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量 以后我们用小写希腊字母，B,Y.来代表向量
第一节：向量组及其线性组合 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 1. 向量的定义及其运算 定义：n 个有次序的数 1 2 , , , n a a a 所组成的有序数组 ( ) 1 2 , , , n a a a 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的n 个分量，第 个数 称为第 个分量。 i i i a 以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量
例如： (1,2,3,.,m) n维实向量 (1+2i,2+3i,.,n+(n+1)i)→ n维复向量 第2个分量 第n个分量 第1个分量
例如： (1,2,3, ,n) (1 + 2i,2 + 3i, ,n + (n + 1)i) n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量
向量通常写成一行：&=（41,42，.，4n) 称为行向量。 a 有时也写成一列： 0= 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 a, 的不同。 分量全为零的向量(0,0，.，0) 称为零向量。 2.向量的运算和性质 向量相等：如果n维向量=(a1,42,.,4n) B=（b1,b2,.,bn) 的对应分量都相等，即4=b(i=1,2,n） 就称这两个向量相等，记为=B
向量通常写成一行： ( ) 1 2 , , , n = a a a 有时也写成一列： 1 2 n a a a = 称为行向量。 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果n 维向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b 的对应分量都相等，即 1,2, , ( ) i i a b i n = = 就称这两个向量相等，记为 =
向量加法：向量Y=(a1+b,42+b2,.,4n+bn) 称为向量a=(41,42,.,m B=(b1,b2,.,bn） 的和，记为y=a+B 负向量：向量x=(-41,一4，.，一0n)称为向量a的负向量 向量减法：a-B=a+(-B) 数乘向量：设k为数域p中的数，向量(k1,ka2,.,kan) 称为向量a=(a1,42,.,4n) 与数k的数量乘积。记为k0
向量加法：向量 ( ) 1 1 2 2 , , , n n = + + + a b a b a b 称为向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b 的和，记为 = + 负向量：向量 ( ) 1 2 , , , n = − − − a a a 称为向量 的负向量 向量减法： − = + −( ) 数乘向量：设k为数域p中的数，向量 ( ) 1 2 , , , n ka ka ka 称为向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a 与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律： (1)a+B=B+a (5)1·a=a (2)(a+B)+y=(a+B)+Y(6)k(lc)=(kl)a (3)a+0=a (7)k+1)a=ka+la (4)a+(-a)=0 (8)k(a+B)=ka+kB 注：(1)对任意的向量心，存在唯一的零向量0， 使得a+0=a (2) 对任意的向量a,存在唯一的负向量-a, 使得a+(-)=0 (3)0a=0;(-1)a=-;20=0. (4)如果2=0，则2=0或a=0
(4) ( ) 0 (3) 0 (2)( ) ( ) (1) + − = + = + + = + + + = + ( ) ( ) k k k k l k l k l kl + = + + = + = = (8) (7) (6) ( ) ( ) (5)1 满足运算律： 注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 使得 + = o （2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 −, 使得 + − = ( ) o （4）如果 = 0, 则 = = 0 0 或 （3） 0 0; ( 1) ; 0 0. = − = − =
2.向量的线性组合 定义1：给定向量组A:a1,02,Cm’ 对于任何一组实数k1,k2,.,km, 向量kC1+k22+.+kmCm称为向量组A的一个 线性组合，k1,k2,.,km称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组A:01,2,.,Qm,和向量B 如果存在一组实数入1，入2，.九m, 使得B=几必1+人2a2+.+九mCm 则称向量B是向量组A的线性组合， 或称向量B能由向量组A线性表示
2. 向量的 线性组合 定义1：给定向量组 1 2 : , , , , A m 对于任何一组实数 1 2 , , , , m k k k 向量 1 1 2 2 m m k k k + + + 称为向量组A的一个 线性组合， 1 2 , , , m k k k 称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组 1 2 : , , , , A m 和向量 如果存在一组实数 1 2 , , , m 使得 = + + + 1 1 2 2 m m 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表示。
例如： 2 1 0 0 0 -5 0 0 B= 3 0 ,82= 0 ,63= 1 )84= 0 0 0 0 0 2 0 0 0 有 -5 0 1 0 0 =2 0 -5 +3 +0 3 0 1 0 0 0 0 1 即B=281-582+363+084 所以，称B是61,82,83，B4的线性组合， 或B可以由E1,E2,83,84线性表示
例如： 1 2 3 4 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 , , , , 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 − = = = = = 有 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 − = − + + 即 =2 5 3 0 1 2 3 4 − + + 所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。 1 2 3 4 , 1 2 3 4
判断向量B可否由向量组01,02，.，0m线性表示的定理。 定理1：向量B可由向量组c1,c2,.,Qm线性表示的 充分必要条件是： 以01,02，.，Cm为系数列向量，以B为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 线性方程组的矩阵表示和向量表示： 011x1+ 012X2+ 十 ainXn 三 b L21X1 十 L22X2 十. a2nXn b2 0m1x1+ m22++mn
定理1: 判断向量 可否由向量组 1 2 , , , m 线性表示的定理。 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 1 2 , , , m 以 1 2 , , , m 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 线性方程组的矩阵表示和向量表示： + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
12 L21 L22 A= X= b= m2 n 方程组可表示为x=b 若A=(a,c2,an) 则方程组的向量表示为XC1+x22+.+xnCn=b
令 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 1 1 2 2 n m x b x b x b x b = = 方程组可表示为 Ax b = ( ) 1 2 , , , 若A = n 则方程组的向量表示为 1 1 2 2 n n x x x b + + + =