海南大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第六章二次型.doc_大学文库

16 第六章二次型教学目的使学生掌握二次型、二次型的秩、二次型的标准型的概念、合同变换和合同矩阵的概念和有关结论。使学生掌握用合同变换、配方法化二次型为标准型的方法，掌握正交变换和正交矩阵的概念及正交矩阵的判断方法教学重点用正交变换化二次型为标准形对正交矩阵的理解及应用教学难点用正交变换化二次型为标准形对正交矩阵的理解及应用教学过程（一）回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。（二）引入新课。第一节二次型及其矩阵 1．二次型的概念、矩阵表示及其秩定义 f (x1 , x2 ,, xn ) = a11x1 2 + a22x2 2 ++ annxn 2 + 2a12x1 x2 + 2a13x1 x3 ++ n n n n a x x 2 −1, −1 称为变量 n x , , x 1  的二次型。若取 aij = a ji ，则 i j n i j ij f a x x = = , 1 ；若经变换 x Cy   = 使 2 2 1 1 n n f = k y ++ k y ，称之为二次型的标准型。给出实二次型和复二次型的概念，并指出我们只讨论实二次型。若记 A = aij nn ( ) ，则（ 5.1 ）可表示为 f x Ax T   = ，其中 A A T = ，（例：写出 f (x, y,z) = x −3z −4xy + yz 2 2 的矩阵表示）， f 与 A 一一对应，称 A 为 f 的矩阵，称 R(A) 为 f 的秩。 2．二次型的标准化记 ij n n C c =  ( ) ，做 x Cy   = 成为 f x Ax T   = = y C AC y T T   ( ) 。 3．合同变换和合同矩阵定义：设 A，B 是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶满秩矩阵 P，使得 B P AP −1 = ，则称 A 和 B 是合同的，称满秩矩阵 P 为合同变换矩阵。例 1 对任意可逆阵 C ， B C AC T = 是对称阵，证明 R(A) = R(B) 。要使 f (x)  经可逆变换化为标准型 g(y) =  y C AC y T T   ( ) = 2 2 1 1 n n k y ++ k y ，找可逆阵 C 使 ( , , ) 1 n T C AC =  = diag k  k 。由第四节的定理 8，有结论：总存在满秩变换 x Py   = ，使（5.1）化为标准型 f (x)  = g(y) =  2 2 1 1 n n  y ++  y ，其中  n , , 1 

17 是 f 的阵 A 的特征值。第二节二次型的标准化初等变换法 1．合同变换法对对称矩阵 A，寻找可逆矩阵 P，使 ( , , , ,0, ,0) 1 2 P −1AP = diag c c  cr  。由于 P 是满秩矩阵，所以 P 可以表示成有限个初等矩阵之积。设 P = F1F2Fm ，这里每个 Fi 对应的一次初等变换，此时 P AP Fm F F PF1F2Fm 1 1 1 2 −1 −1 − − = ，下面说明 −1 Fi 恰好对应与 Fi 相应的初等行变换，而 Fi 是初等列变换。具体说有下列三种情况：（1）对调第 i 列与第 j 列，在对调第 i 行与第 j 行；（2）用数   0 乘以矩阵的第 i 列，再将   0 乘以矩阵的第 i 行；（3）将第 i 列的  倍加到第 j 列上，再将第 i 行的  倍加到第 j 行上。显然，实施上述三套初等变换中的任何一套，矩阵的对称性不变。（三）例 1 将         = 2 3 1 2 A 用合同变换化成对角阵用合同变换化二次型为标准形定理任意秩为r的对称矩阵A，都可以用三套初等变换将A化成对角阵。定理对于秩为r的对称矩阵A，必存在满秩矩阵P，使得 P AP −1 为对角阵。定理对于秩为 r 的二次型，必存在满秩变换 x py   = ，使二次型化成标准形 2 2 1 1 r r f = k y ++ k y 。用配方法化二次型为标准型的方法化 f x x Ax T    ( ) = 为标准型，相当于找可逆阵 C ，使 C AC =  T 为对角阵，不限定正交阵，有多种方法，此时  的元素未必是 A 的特征值。举例说明Lagrange配方法：例 1 化 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x 成为标准型，并求所用的变换矩阵。解 f = 2 3 2 3 2 2 2 (x1 + x2 + x3 ) + x + 4x + 4x x = 2 2 3 2 1 2 3 (x + x + x ) + (x + 2x ) 令      = = + = + + 2 3 3 2 2 3 1 1 2 3 y x y x x y x x x ，即      = = − = − + 2 3 3 2 2 3 1 1 2 3 x y x y y x y y y ，在此变换之下， 2 2 2 1 f = y + y ，所用的变换矩阵为 C =。例 2 化 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f = x x + x x − x x 化为标准型，并求所用的变换矩阵。解令      = = − = + 3 3 2 1 2 1 1 2 x y x y y x y y （1），代入得 2 3 2 2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 2( ) 2( 2 ) 6 2( 2 ) 2( 4 ) y y y y y f y y y y y y = − − − + = − − − ，再令

，即2.在-42下/-2-2+6e,所用的 s(001人：变换矩阵为C 地任二次型均可用如上方法化为标准，二次型的肤等于标准型中的项数。尽管二次型的标准型不唯一，但标准型中项数唯一，不仅如此，其中正、负项数也唯一定理惯性定理)如果对秩为r的实二次型f)=R,经可逆变换x=G及x=P四化为标准型f=k+.+k,y及∫=子+.+元，产(k,≠0，i=1,.,r。),则k,.k,中正数的个数（叫做正惯性指标s)与元，元中正数的个数相等。从而k,k,中负的个数（叫做负性指标1)与，.，元，中负的个数也相等（因为s+1=r≤n)。正交变换与正交矩阵定义5.3如果线性变换y=Qx保持内积不变，即对于任意的，2e”,总有 (Q,Q)=(,),则称y=Q为正交变换，称相应的方阵Q为正交矩阵。定理方阵Q为正交矩阵的充要条件为Q'Q=E。定理方阵Q为正交矩阵的充要条件为它的列（行）向量组构成标准向量组。 (四)总结本次课所讲主要内容 (五)回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 (六)引入新课。化二次型为标准形的正交变换的存在性对于给定的二次型=：，希望通过正交变换x=,将二次型f化成标准形。用矩阵的语言表述，就是寻找阶正交矩阵Q,使得QQ=A,其中A为对角阵。由于Q是正交矩阵，所以Q=Q,上式为Q40=A。上式表明：正交矩阵是合同矩阵，因此正交变换又是相似的变换。由于相似矩阵具有相同的特征值，所以如果存在正交矩阵Q,使得A相似于对角阵A,则A的对角元一定是A的特征值。定理实对称矩阵的特征值都是实数，其特征向量可以取为实向量。定理对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的。定理若A为阶对称阵，2是A的r重特征值，则A-E)=n-r,从而对应A的特征值入恰有，个线性无关的特征向量。定义设A为m阶对称阵，如果2为特征方程E-0的2重根(i+j时，2元，： =2+++=n),则必存在正交阵p使p4P=A,其中对角阵A对角线上的元素

18      = = − = − 2 3 3 2 2 2 1 1 3 z y z y y z y y ，即      = = + = + 2 3 3 2 2 3 1 1 3 y z y z z y z z （2），在                     = − −           3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 3 z z z x x x 之下 2 3 2 2 2 f = 2z1 − 2z + 6z ，所用的变换矩阵为 C =。一般地，任一二次型均可用如上方法化为标准型，二次型的秩等于标准型中的项数。尽管二次型的标准型不唯一，但标准型中项数唯一，不仅如此，其中正、负项数也唯一。定理惯性定理）如果对秩为 r 的实二次型 f x x Ax  T  ( ) = ，经可逆变换 x Cy   = 及 x Pz   = 化为标准型 2 2 1 1 r r f = k y ++ k y 及 2 2 1 1 r r f =  z ++  z （ k i r i i ,  0, =1,  , 。），则 r k , k 1 中正数的个数（叫做正惯性指标 s ）与  r , , 1  中正数的个数相等。从而 r k , k 1 中负的个数（叫做负性指标 t ）与  r , , 1  中负的个数也相等（因为 s + t = r  n ）。正交变换与正交矩阵定义 5.3 如果线性变换 y = Qx 保持内积不变，即对于任意的 n x1 , x2  R ，总有 ( , ) ( , ) 1 2 1 2 Qx Qx = x x ，则称 y = Qx 为正交变换，称相应的方阵 Q 为正交矩阵。定理方阵 Q 为正交矩阵的充要条件为 Q Q E T = 。定理方阵 Q 为正交矩阵的充要条件为它的列（行）向量组构成标准向量组。（四）总结本次课所讲主要内容（五）回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。（六）引入新课。化二次型为标准形的正交变换的存在性对于给定的二次型 f x Ax T = ，希望通过正交变换 x = Qy ，将二次型f化成标准形。用矩阵的语言表述，就是寻找n阶正交矩阵Q，使得 Q AQ =  T ，其中  为对角阵。由于Q是正交矩阵，所以 −1 Q = Q T ，上式为 =  − Q AQ 1 。上式表明：正交矩阵是合同矩阵，因此正交变换又是相似的变换。由于相似矩阵具有相同的特征值，所以如果存在正交矩阵Q，使得A相似于对角阵  ，则  的对角元一定是A的特征值。定理实对称矩阵的特征值都是实数，其特征向量可以取为实向量。定理对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的。定理若 A 为 n 阶对称阵，  是 A 的 r 重特征值，则 R(A− E) = n − r ，从而对应 A 的特征值  恰有 r 个线性无关的特征向量。定义设 A 为 n 阶对称阵，如果 i 为特征方程 iE − A = 0 的 i n 重根（ i  j 时， i   j ； i =1,2,  ,s,n1 + n2 ++ ns = n ），则必存在正交阵 P 使 =  − P AP 1 ，其中对角阵  对角线上的元素

19  n , , 1  为 A 的 n 个特征值。用正交变换化二次型为标准形的步骤（1）求解特征方程的特征根，由定理 5.7 知，都是实数   s , , , 1 2  。（2）对于 i n 重特征根 i ，求齐次方程 (iE − A)x = 0 的基础解系，得到 i n 个线性无关的特征向量 i i i in , , , 1 1  ，再将其标准正交化得 i i i in , , , 1 1  （3）将上面得到的标准正交向量组合并为一个向量组，由定理 5.9 保证了合并之后的向量组包含 n 个向量，同一特征值所对应的特征向量已经标准正交化，而不同特征值对应的特征向量是正交的，因此得到正交矩阵 P，使得               = ns s n n T E E E P AP     2 1 2 1 。由上面的分析得知：总存在正交变换 x Py   = ，使二次型化为标准型 f (x)  = g(y) =  2 2 1 1 n n  y ++  y ，其中  n , , 1  是 f 的阵 A 的特征值。例 1 用正交变换化二次型 1 2 2 3 2 3 2 1 3 2 2 f（x1，x2，x3）= 3x1 −8x x + 6x +3x − 4x x − 4x x 化成标准形。解先写出二次型的矩阵           − − − − − − = 4 2 3 2 6 2 3 2 4 A （1）计算特征值 0 4 2 3 2 6 2 3 2 4 = − − − − =    E A ，得 A 的特征根 1 = −2,2 = 3 = 7 （2）求特征值所对应的特征向量并将其正交化对 1 = −2 ，解齐次线性方程组 (−2E − A)x = 0 ，得 T x = (2,1,2) ，并将其单位化得 T ) 3 2 , 3 1 , 3 2 ( 1 = ，同理可求 2 = 3 = 7 对应的正交向量组为 T T ) 3 5 5 , 3 5 2 , 3 5 4 ,0) , ( 5 2 , 5 1 2 3 − − = −  =  ，二次型的标准形为 2 3 2 2 2 f = −2y1 + 7y + 7y 。（七）总结本次课所讲主要内容第三节正定二次型定义（给出正定、负定、半正定、半负定、不定二次型（矩阵）的概念）设有二次型 f x x Ax  T  ( ) = ，如果对任何 0   x  ，都有 f (x)  0  、 f (x)  0  、 f (x)  0  、 f (x)  0  ，则称 f 是正定、负定、半正定、半负定的，如果既有 0   x  ，使 f (x)  0  ，又有 0   x  ，使 f (x)  0  ，则称 f 是不定二次型。正定二次型的判断

20 定理设A是n阶对称矩阵，则二次型 f x x Ax  T  ( ) = 为正定二次型的充分必要条件是：它的正惯性指数为n，即 p = n。推论 1 二次型 f x x Ax  T  ( ) = 为正定的充分必要条件为矩阵A的所有特征值都是的正定。推论 2 如果A为正定的，则 | A | 0 。定义设A是n阶对称阵，则称 r r rr r r r a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1  = 为A的r阶顺序主子式。定理设 A 为对称阵，则 f x x Ax  T  ( ) = 为正定二次型的充分必要条件为：A 的所有的顺序主子式都大于零。负定二次型的判断法由定理知，A 为正定矩阵的充分必要条件为 A 的所有顺序主子式都大于零。所以 A 为负定矩阵的充分必要条件为 (−A) 为为正定矩阵，由此得到判断负定矩阵（二次型）的充分必要条件如下：（1） A 为负定矩阵的充分必要条件是：A 的特征值都是负的；（2） A 为负定矩阵的充分必要条件是：A 的 r 阶顺序主子式满足 (−1) r  0 r 。例1 n 阶对称阵 A 是正定矩阵的充分必要条件为：存在 n 阶满秩矩阵 P，使 A P P T = 。例2 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 m  n 实矩阵，试证明： B AB T 为正定矩阵的充分必要条件为 B 的秩为 n。证明充分性由于 B AB B A B B AB T T T T T T T ( ) = ( ) = ，所以 B AB T 是对称阵。如果 r(B) = n ，则齐次线性方程组 Bx = 0 只有零解。所以对于任意 n 维列向量 x  0 ，必有 m 维向量 Bx  0 。又因为 A 是 m 阶正定阵，所以 x (B AB)x = (Bx) A(Bx)  0 T T T ，故 B AB T 为正定阵。必要性如果 B AB T 为正定阵，则对于任意 n 维列向量 x  0 ，有 x (B AB)x = (Bx) A(Bx)  0 T T T ，所以 Bx  0 ，即方程组 Bx = 0 只有零解，即 r(B) = n。例 3 判断二次型 f 5x 6y 4z 4xy 4xz 2 2 2 = − − − + + 的正定性。（八）总结本次课所讲主要内容由以上讨论，判断二次型为正定二次型的充分必要条件为（1）对 x  0 ，总有 x Ax  0 ；（2） A 的正惯性指数为 n；（3）存在可逆矩阵 P，使 A P P T = ；（4） A 合同于单位阵；（5） A 的所有的特征值都大于零；（6） A 的 n 个顺序主子式都大于零

22 （3）如果向量组           =           =           = c b a 1 2 3 , 0 1 1 , 0 0 1    线性无关，那么 D。（A）a=b=c （B）b=c=0 （C）c=0 （D） c  0 （4）如果非齐次线性方程组 Ax = b 中方程的个数少于未知数的个数，那么 B。（A） Ax = b 必有无穷多解（B）对应的齐次方程组必有非零解（C）对应的齐次方程组仅有零解（D）对应的齐次方程组一定无解（5）如果 A 为正交矩阵，那么 D 不是正交矩阵（k 是正整数）。（A） −1 A （B） TA （C） KA （D） kA 三、计算行列式 ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 a d b c a d b c c d c d a b a b D = = − − 四、求向量组 (1,1,1,4), (2,1,3,5), (1, 1,3, 2), (3,1,5,6) 1 = 2 = 3 = − − 4 = 的秩和极大无关组，把其余向量用这个极大线性无关组表示。答案：秩为 2，极大无关组 1 2  , ， 3 1 2 4 1 2 2  = −3 + 2 , = − +  五、a 为何值时，方程组        + = + + + + = + + + = + + + = 2 1 4 5 3 2 3 2 2 3 2 3 1 4 5 1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x a 有解？求 a 取该值时的通解。答案： T T T a 1,(1, 1,1,0,0) k ( 1,1, 1,1,0) k ( 2,1,0,0,1) = − + 1 − − + 2 − 六、用施密特正交化方法把向量组 (1,2,2, 1), (1,1, 5,3), (3,2,8, 7) 1 = − 2 = − 3 = − 化成标准正交组。答案： (2, 1, 1, 2) 10 1 (2,3, 3,2), 26 1 (1,2,2, 1), 10 1 − − − − − 七、已知实对称矩阵           1 0 2 1 2 0 3 1 1 （1）求可逆的相似变换矩阵 P，使 P AP −1 为对角阵；（2）求正交的相似变换矩阵 Q，使 Q AQ T 为对角阵。答案：           = =                   − − = −           − − = − − 4 2 1 , 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 2 0 3 1 , 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 P Q P AP Q AQ T 八、设 A 为 n 阶矩阵，证明 ( ) | | ( 2) * * 2 =  − A A n n

海南大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第六章 二次型

海南大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第六章二次型