海南大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第六章 二次型

第六章二次型 一.二次型及其矩阵 二.二次型的标准化 三.正定二次型 四.二次型的最大值和最小值

三. 正定二次型 四. 二次型的最大值和最小值 一. 二次型及其矩阵 二. 二次型的标准化 第六章 二次型

第一节.二次型及其矩阵 1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 定义1：含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,.,xn) =411x+24121X2+2a13X1x3+.+2a1nx1Xm +a2+2a23X2x3+.+2a2mX2xn +an-nx21+20nnxn-1心n +amx好 称为二次型。（1)

第一节. 二次型及其矩阵 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 称为二次型。（1） 1 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x − − − − − = + + + + + + + + + + + 2 nn n + a x 定义1：含有 n 个变量 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式

实二次型：为实数。（我们仅讨论实二次型） 复二次型：为复数。 例如：f(K,y)=x2+4xy+5y2 f(x,y,z)=2x2+y2+xz+yz 都是二次型。 f(x1,x2,X3,x4)=x1x2+x23+x2x4 氏，)=+十5不是次型 f(x,y)=2x2-y2+2x

实二次型： aij 为实数。（我们仅讨论实二次型） 复二次型： aij 为复数。 例如： 2 2 f x y x xy y ( , ) 4 5 = + + 2 2 f x y z x y xz yz ( , , ) 2 = + + + 1 2 3 4 1 2 2 3 2 4 f x x x x x x x x x x ( , , , ) = + +      都是二次型。 2 2 f x y x y ( , ) 5 = + + 2 2 f x y x y x ( , ) 2 2 = − +    不是二次型

只含有平方项的二次型f=ky+k2Jy好+.+kJy 称为二次型的标准形（或法式) 例如：f(x,x2,x3)=2x+4x号+5x号-4x f(x1,x2,x3)=x1K2+x3+x2x3 都为二次型； f(x,x2,x3)=+4x+4x号 为二次型的标准形

只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）。 例如： ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形。 ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

取4=为 则2ag,火j=axx;+anX:Xj 则(1)式可以表示为 f=a1子+412x2+.+41nxxn +021X2X1+022X2+.+42mX2m 十 二次型用和号表示 apa =x1(a1X1+412X2++41mn) +x2(0211+a22X2+.+a2mxn） 十. +x(anx+anx2++amxn)

2 2 11 12 2 1 1 2 1 21 1 22 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n n n n n n nn n n n f a a x a x a x a x x a x x x x a a a x x x x x = + + + x + + + + + + + + + ij ji 取 a a = 2 ij i j ij i j ji i j 则 a x x a x x a x x = + 则（1）式可以表示为 1 11 1 12 2 1 ( ) n n = + + + x a x a x x a 2 21 1 22 2 2 ( ) n n + + + + x a x a x x a + 1 1 2 2 ( ) n n n nn n + + + + x a x a x a x , 1 n ij i j i j a x x = =  二次型用和号表示

41七1+412X2+.+a1n火m 21X1+22X2+.+42mXn =(x1,x2,xn) mK1+0n2x2+.+0nmXn 12 . 1 L21 L22 X2 =(1,x2.,xn) ·:

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + +   =     + + +   11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x          =         

L12 令A= u21 L22 a2n X= X2 Ani An2 Xn 则f=XIAX 二次型的矩阵表示 其中A为对称矩阵。 例如：二次型f(x,x2,x3)=x2-3y32-4x水2十x2x -2 0 1 =(x1,x2,x3) -2 0 0 1 3 2

1 2 n x x X x       =       11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a     =         令 T 则 f X AX = 其中 A 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示 1 1 2 3 2 3 1 -2 0 1 ( , , ) -2 0 2 1 0 -3 2 x x x x x x         =              2 2 1 2 3 1 3 1 2 2 3 例如：二次型 ( , , ) 3 4 f x x x x x x x x x = − − +

在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型. 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. 定义2： 二次型f=XTAX 把对称矩阵A称为二次型f的矩阵 也把二次型f称为对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩

在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩 T 定义2： 二次型 f X AX =

例1：求二次型f的矩阵 (1)f(x,y,z)=x+2x-2xK2+3x2x3 -1 0 解： 2 3-2 (2)f(x1,K2,3,x4)=x子+2x2+7x-2xK2-2x2x3+4x3x4 0 0 -1 0 解： 0 2 2

2 2 1 2 1 2 2 3 (1) ( , , ) 2 2 3 f x y z x x x x x x = + − + 例1：求二次型 f 的矩阵 1 1 0 3 1 2 2 3 0 0 2 A     −   = −          解： 222 1 2 3 4 1 2 4 1 2 2 3 3 4 (2) ( , , , ) 2 7 2 2 4 f x x x x x x x x x x x x x = + + − − + 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 2 0 0 2 7 A   −   − − =     −     解：

(3)f(X1,.,xn)=X2+2x3+.+Xm-七， 1 2 解：A 2

x x n x x x x x n x n f 1 1 2 2 3 1 (3) ( , , )  = + ++ − 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 A     =   解：