《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第八章 λ一矩阵.doc_大学文库

反之，若 d A = ( )  是 P 中非零数，令 A ( )   表 A( )  的伴随矩阵，则它也是  —矩阵.由于 ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A E d d        =  = 故 A( )  可逆. §2  —矩阵初等变换下的标准形定义 3 以下变换叫做  —矩阵的初等变换： (1) 交换矩阵的两行(列)； (2) 用非零数 c 乘矩阵的某一行(列)； (3) 将矩阵某一行(列)的  ( ) 倍加到另一行(列)，这是    ( ) . P  和数字矩阵一样，对应上述三种初等变换，也可引进初等矩阵，分别记为 P i j P i c ( , ), ( ( )) P i j ( , ( ( )))   其作用也和数字阵中的初等矩阵相同.初等矩阵均可逆且 1 1 1 1 P i j P i j P i c P i P i j P i j ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) c     − − − = = = 为了简便，今后用记号 i j ,  表示交换 i j , 两行(列). i c( ) 表示用 c  0 乘 i 行(列)； i j + ( )   表示把 j 行(列)的  ( ) 倍加到 i 行(列). 定义 4 若经一系列初等变换可将 A( )  化为 B( )  ，则称 A( )  与 B( )  等价. 易知等价关系且有反身性、对称性与传递性.利用初等变换与初等矩阵的关系可得， A( )  与 B( )  等价的充要条件是有一系列初等矩阵 1 2 1 2 , , , , , , , P P P Q Q Q s t 使 1 2 1 2 ( ) , , , ( ) , , , A P P P B Q Q Q   = s t (1) 本节将证明任意一个  —矩阵都可经初等变换化为某种对角形.为此，先证引理设 A( )  的左上角元素 11 a ( ) 0   .并且 A( )  至少有一个元素不被它整除.那么必有与 A( )  等价的矩阵 B( )  ，它的左上角元素也不为零，但次数比 11 a ( )  的次数低. 证明 A( )  的第一列中有一个元素 1 ( ) i a  不能被 11 a ( )  整除，则 1 11 11 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0, ( ( )) ( ( ))) i a a q r r r a        = +     . 对 A( )  作下列初等行变换：

数比 1 b ( )  低.如此继续进行下去.因 11 a ( )  的次数有限，有限步之后，必有 ( ) B s  与 A( )  等价.它左上角元素 ( ) 0, s b   且 ( ) s b  整除 ( ) B s  的所有元素 ( ); ( ) ( ) ( ). ij ij s ij b b b q     = 对 ( ) B s  作初等变换      21 31    12 13 1 2 1( ) , 3 1( ) , 2 1( ) , 3 1( ) , 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 s j s q q s q q i b b b B b A       − − − −             = →                 其中 1 A ( )  中所有元素均被 ( ) s b  整除，因为它们都是 ( ) B s  中元素的组合. 如果 1 A ( ) 0   ，则对 1 A ( )  重复以上过程，进而把矩阵化为 1 2 2 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 d d A          其中 1 d ( )  与 2 d ( )  都是首次系数为 1 的多项式( 1 d ( )  与 ( ) s b  只差一个数数倍数) ，而且 1 2 2 d d d ( ) ( ), ( )    整除 2 A ( )  的所有元素. 如此进行下去， A( )  最后就化成了所要求的形式，它称为 A( )  的标准形. 例用初等变换化 2 2 3 2 1 2 1 ( ) 1 1 A              − −   = −       + + − − 为标准形解：         3 1 2 2 2 1 3 2 1(2 1) 3 2 3 2 3 2 3 1( ) 1 2 1 1 2 1 1 0 0 ( ) 0 0 0 1 1 1 0 A                         − + − − −       − −       → − → − → −                   + − − − − − − − −             3 2( 1) 2( 1) , 3( 1) 2 2,3 3 2( ) 2,3 2 3 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ). 0 0 0 0 0 B                − + − − +             → − → − → → =               − − − − − +    

分成两部分，而等于 A( )  的一个 k 阶子式与另一个 k 阶子式的  ( ) 倍的和。因此 f ( )  是 A( )  的 k 阶子式的公因式，从而 f g ( ) ( )   。对于列变换，证明完全一样。总之，如果 A( )  经过一次初等变换变成 B( )  ，那么 f g ( ) ( )   。但由初等变换的可逆性，同样可得 g f ( ) ( )   ，于是 f g ( ) ( )   = 。当 A( )  的 k 阶子式全部为零时， B( )  的 k 阶子式也全部为零；反之亦然。因此， A( )  与 B( )  有相同的秩与相同的各阶行列式因子。证毕。现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d d          ，（1）其中 1 2 ( ), ( ), ( ) r d d d    是首项系数为 1 的多项式，且 1 ( ) ( )( 1,2, , 1) i i d d i r   + = − 。不难看出，在这种形式的矩阵中，如果一个 k 阶子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 阶子式一定为零。因此，为了计算 k 阶行列式因子，只要看由 1 2 , , k i i i 行与 1 2 , , k i i i 列组成的 k 阶子式就行了，而这个 k 阶子式等于 1 2 ( ) ( ) ( ) k i i i d d d    。显然，这种 k 阶子式的最大公因式就是 1 2 ( ) ( ) ( ) k d d d    ( 1,2, , ) k r = 。定理 4  —矩阵的标准形是唯一的。证明设（1）是 A( )  的标准形。由于 A( )  与（1）等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此， A( )  的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 r ； A( )  的 k 阶行列式因子就是 ( ) Dk  = 1 2 ( ) ( ) ( ) k d d d    （2）于是 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , , ( ) ( ) ( ) r r r D D d D d d D D         − = = = 。（3）这说明 A( )  的标准形（1）的主对角线上非零元素是被 A( )  的行列式因子所唯一决定的，所以 A( ) 

的标准形是唯一的。证毕。定义 6 标准形的主对角线上非零元素 1 2 ( ), ( ), ( ) r d d d    称为  —矩阵 A( )  的不变因子。定理 5 两个  —矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子；或者，它们有相同的不变因子。证明等式（2）与（3）表明  —矩阵的行列式因子与不变因子是相互确定的。因此，两个矩阵有相同的各阶行列式因子，就有相同的各阶不变因子。必要性已由定理 3 证明。充分性是显然的。事实上，若  —矩阵 A( )  与 B( )  有相同的不变因子，则 A( )  与 B( )  和同一个标准形等价，因而 A( )  与 B( )  等价。证毕。由（3）可以看出，在  —矩阵的行列式因子之间，有关系 1 ( ) ( ) ( 1,2, , 1) D D k r k k   + = − 。（4）在计算  —矩阵的行列式因子时，常常先计算最高阶的行列式因子，由（4）便可大致确定低阶行列式因子的范围了。我们来看可逆矩阵的标准形。设 A( )  为 n n 可逆矩阵，由定理 1 知 A d ( ) 0  =  。于是 ( ) 1 D n  = ，从而由（4）可知 ( ) 1 ( 1,2, , ) D k n k  = = ，因此 ( ) 1 ( 1,2, , ) k d k n  = = 。由此可知，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E 。反之，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数。因此矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价。由于 A( )  与 B( )  等价的充要条件是有一系列初等矩阵 1 2 1 2 , , , , , , , P P P Q Q Q s t ，使 A( )  1 2 1 2 ( ) = PP P B Q Q Q s t  ，令 B E ( )  = ，就得到定理 6 矩阵 A( )  可逆的充要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。推论两个 s n 的  —矩阵 A( )  与 B( )  等价的充要条件是，有一个 s s  可逆矩阵 P( )  与一个 n n 可逆矩阵 Q( )  使 B P A Q ( ) ( ) ( ) ( )     = 。作业: P357,习题 4

0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 , , , , , , . Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ = = + = + = + = + k k k m m m m m − − − − − 即可.用同样的方法可求得 R( )  和 V0 . 定理 7 设 A ， B 为 P 上 n 阶方阵.则 A 与 B 相似  − E A 与 E B− 等价. 证明由定理 6 的推论知， E A− 与 E B− 等价即有可逆的 U ( )  和 V( )  使     E A U E B V − = − ( )( ) ( ) (4) 先证必要性.设 1 A T BT, − = 则 1 1    E A E T BT T E B T ( ) , − − − = − = − 从而 E A− 与 E B− 等价. 再证充分性.设有可逆的 U ( )  与 V( )  使(4)成立.由引理 2.存在 Q( )  ，R( )  以及数字矩阵 U0 和 V0 使(2)、(3)成立，把(4)改写成 1 U E A E B V ( ) ( ) ( ) ( ),     − − = − 式中的 V( )  用(3)代入，再移项得. 1 0 U E B R E A E B V ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      −   − − − = −   . 上式右端等于 0 或是一个一次矩阵多项式，因此 1 U E B R ( ) ( ) ( )    − − − 是一个数字矩阵，记作，即 1 0 T U E B R T E A E B V ( ) ( ) ( ), ( ) ( )      − = − − − = − (5) 现在来证明 T 可逆.由(5)的第一式有 1 E U T U E B R U T E A V R ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         − = + − = + −   1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      E B Q U T E A V R− = − + + − 1 0 U T E A Q T V R ( ) ( ) ( ) ( ) .     − = + − +     等式右边第二项必须为零，否则它的次数至少是 1 ，由于 E 和 UT0 都是数字矩阵，等式不可能成立. 因此 E U T = 0 .于是 T 可逆.由(5)的第二式得 1 0   E A T E B V ( ) , − − = − .再由引理 1 知 A 与 B 相似与相似. 矩阵 A 的特征矩阵 E A− 的不变因子以后就简称为 A 的不变因子.由定理即得推论 A 与 B 相似  相似它们有相同的不变因子. 最后指出， n 阶方阵 A 的特征矩阵E A− 的秩一定是 n .因此， A 的不变因子总是有 n 个，它们