第二章随机变量及其分布 9§2.1随机变量 9§2.2离散型随机变量及其概室分布 9§2.3随机变量的分布函数 。§2.4连续型随机变量及其概率密度 。§2.5随机变量的函数的分布 2/42
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其概率密度 §2.5 随机变量的函数的分布 2/42
第二章随机变量及其分布 6§2.1随机变量 ⊙§2.2离散型随机变量及其概率分布 9§2.3随机变量的分布函数 §2.4连续型随机变量及其概率密度 9§2.5随机变量的函数的分布 3/42
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其概率密度 §2.5 随机变量的函数的分布 3/42
§2.1随机变量 对于错综复杂的随机现象，如信道噪声、随机信号、测量 误差等实际问题难以简单处理。为了更好的用数学方法来 分析随机现象地统计规律性，人们将随机试验的结果与实 数对应起来（结果数量化），从而引入随机变量的概念 例1：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考 虑每次试验当中正面出现的次数，样本空间是 ● S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT) ● 以X记三次投掷得到正面H的总数，那么对于样本空间S中的每一个 样本点e,X都有一个数与之对应 X是定义在样本空间上的单值实值函数，定义域是样本空间，值域 为{0,1,2,3}.使用函数的符号可将X写成 3,e=HHH. 2,e=HHT,HTH,THH, X=X(e)= 1,e=HTT,THT,TTH, 4/21 0,e=TTT
§2.1 随机变量 对于错综复杂的随机现象，如信道噪声、随机信号、测量 误差等实际问题难以简单处理。为了更好的用数学方法来 分析随机现象地统计规律性，人们将随机试验的结果与实 数对应起来(结果数量化)，从而引入随机变量的概念 例1：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考 虑每次试验当中正面出现的次数，样本空间是 ⚫ S＝{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT} ⚫ 以X记三次投掷得到正面H的总数，那么对于样本空间S中的每一个 样本点e，X都有一个数与之对应 ⚫ X是定义在样本空间上的单值实值函数，定义域是样本空间，值域 为{0,1,2,3}.使用函数的符号可将X写成 = = = = = = e TTT e HTT THT TTH e HHT HTH THH e HHH X X e 0, 1, , , , 2, , , , 3, , ( ) 4/21
§2.1随机变量 例2：随机试验：袋中装有编号分别为1,2,3的3 只球，在袋中任取一只，放回，然后再取一只球， 记录他们的编号 。样本点：是一个编号的数对：(i,),i,j户1,2,3 。样本空间：S={}={i,)i,-1,2,3} ●现在关心的是两个球的号码之和，记做X,则对于每一 个样本点e,X都有一个值与之对应 。即从样本空间到实数集合上的一个映射X：S→R ·X是一个定义在样本空间S上的单值实值函数， 。其定义域是样本空间；值域是实数集合{2,3,4,5,6 ·因此x可写成X=X()=X()=tj,i,j=1,2,3. 5/42
§2.1 随机变量 例2：随机试验：袋中装有编号分别为1，2，3的3 只球，在袋中任取一只，放回，然后再取一只球， 记录他们的编号 ⚫ 样本点：是一个编号的数对：(i，j)，i，j=1,2,3 ⚫ 样本空间：S={e}={(i，j)|i，j=1,2,3} ⚫ 现在关心的是两个球的号码之和，记做X，则对于每一 个样本点e，X都有一个值与之对应 ⚫ 即从样本空间到实数集合上的一个映射 X：S→R ⚫ X是一个定义在样本空间S上的单值实值函数， ⚫ 其定义域是样本空间；值域是实数集合{2,3,4,5,6} ⚫ 因此X可写成 X=X(e)＝X((i,j))＝i+j，i，j＝1，2，3. 5/42
§2.1随机变量 定义： 。设随机试验的样本空间为S={e}。X=X{e}是定 义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X{} 为随机变量 e3 6/42
§2.1 随机变量 定义： ⚫ 设随机试验的样本空间为S＝{e}。X=X{e}是定 义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X{e} 为随机变量 S e1 e3 e2 6/42
§2.1随机变量 ·关于随机变量需要注意的几个方面 ●(1)如果随机试验结果本身是一个数，则直接令X= X(e)=e,X是一个随机变量 ·如灯泡的寿命T,某学校学生的体重W,掷骰子的点数等等 ·随机变量的取值可以是有限的，可列的，或不可列的 。(2)X是一个单值实值函数，定义域是样本空间S,值域 是X的所有可能取值Rx。注意随机变量的值域不同于样 本空间 ●(3)随机变量的取值随试验结果而定，是样本点的函数 (不同于普通函数)，在试验之前不能预知其具体取值， 因此随机变量X()的取值是随机出现的，有一定的概室 7142
§2.1 随机变量 关于随机变量需要注意的几个方面 ⚫ (1) 如果随机试验结果本身是一个数，则直接令X＝ X(e)=e，X是一个随机变量 ⚫ 如灯泡的寿命T，某学校学生的体重W，掷骰子的点数等等 ⚫ 随机变量的取值可以是有限的，可列的，或不可列的 ⚫ (2) X是一个单值实值函数，定义域是样本空间S，值域 是X的所有可能取值RX。注意随机变量的值域不同于样 本空间 ⚫ (3) 随机变量的取值随试验结果而定，是样本点的函数 (不同于普通函数)，在试验之前不能预知其具体取值， 因此随机变量X(e)的取值是随机出现的，有一定的概率 7/42
§2.1随机变量 。随机事件的描述 ●根据随机变量X的前述映射关系，可用X的取值集合来描述随机事件 例如 。例1中X的取值为2，记做X=2},对应的样本点集合为 A={HHT,HTH,TH田这是一个随机事件 ·当且仅当A发生时有X=2},我们称概率P(A)为{X=2的概率，即 PX=2}=P(A)=3/8 9当然关心的X取值也可能有多个，用关于X的表达式来表示 ●如{X≤1}表示随机事件B={TTT,TTH,THT,HTT) ·P{X≤1}=P(B)=4/8 。一般的，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成X∈L, 则X∈L}表示事件B={X(e)eL},此时有P{X∈L}=P(B)842
§2.1 随机变量 随机事件的描述 ⚫ 根据随机变量X的前述映射关系，可用X的取值集合来描述随机事件 例如 ⚫ 例1中X的取值为2，记做{X=2}，对应的样本点集合为 A={HHT,HTH,THH}这是一个随机事件 ⚫ 当且仅当A发生时有{X=2}，我们称概率P(A)为{X=2}的概率，即 P{X=2}=P(A)＝3/8 当然关心的X取值也可能有多个，用关于X的表达式来表示 ⚫ 如{X1}表示随机事件B＝{TTT,TTH,THT,HTT} ⚫ P{ X1}=P(B)＝4/8 一般的，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成{XL}， 则{XL}表示事件B={e| X(e)L },此时有P{ XL }=P(B)8/42
第二章随机变量及其分布 9§2.1随机变量 9§2.2离散型随机变量及其概率分布 9§2.3随机变量的分布函数 §2.4连续型随机变量及其概率密度 9§2.5随机变量的函数的分布 9142
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其概率密度 §2.5 随机变量的函数的分布 9/42
§2.2离散型随机变量及其概率分布 。离散型随机变量 例子： ·将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数： 。随机变量的全部可能取值仅有4个：0,1,2,3 。某电话交换台一分钟内收到的呼叫次数： 。可列无限多个（理想状态下） ·某城市120急救电话台一昼夜收到的呼叫次数 。可列无限多个（理想状态下） 离散型随机变量X：它全部可能取到的不相同的值 是有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量 10/42
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 离散型随机变量 例子： ⚫ 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数： ⚫ 随机变量的全部可能取值仅有4个：0，1，2，3 ⚫ 某电话交换台一分钟内收到的呼叫次数： ⚫ 可列无限多个（理想状态下） ⚫ 某城市120急救电话台一昼夜收到的呼叫次数 ⚫ 可列无限多个（理想状态下） ⚫ 而灯泡的寿命T所有可能取值充满一个区间，无法按一 定次序一一列出，非离散型随机变量 离散型随机变量X ： 它全部可能取到的不相同的值 是有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量 10/42
§2.2离散型随机变量及其概率分布 )要掌握离散随机变量X的统计规律，需且只需知道X的两个 问题 。()X的所有可能的取值，我们可以通过随机试验的样本空间S来得到 。(2)每一个可能取值的概率，它们构成分布律的概念 ·在后面我们会进一步学习X的数字特征等概念 9分布律： 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk仁1,2，)，X取各个可能值 的概率，即事件X=x}的概率为 P{X=x}=pk3k=1,2, 由概率的定义，P满足如下两个条件： (1)非负性：P之0； (2)规范性：∑P=1 则称P公=x}=Pk,k=1,2,.为离散型随机变量X的分布律 11/42
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 要掌握离散随机变量X的统计规律，需且只需知道X的两个 问题 ⚫ (1) X的所有可能的取值，我们可以通过随机试验的样本空间S来得到 ⚫ (2) 每一个可能取值的概率，它们构成分布律的概念 ⚫ 在后面我们会进一步学习X的数字特征等概念 分布律： ⚫ 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k=1,2,.)，X取各个可能值 的概率，即事件{X=xk }的概率为 ⚫ P{X=xk }=pk，k=1, 2, . ⚫ 由概率的定义，pk满足如下两个条件： ⚫ (1) 非负性：pk0; (2) 规范性： ＝1 ⚫ 则称P{X=xk }=pk，k=1,2,.为离散型随机变量X的分布律 k=1 pk 11/42