第四章随机变量的数字特征 9§4.1数学期望 9§4.2方差 §4.3协方差及相关系数 §4.4矩、协方差矩阵 2134
第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵 2/34
§4.1数学期望 ⊙概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征,但有 时对于我们关心的问题而言却不直观。如: ·研究水稻品种时,常关注的是稻穗的平均稻谷粒数,这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的,而且在实际生产中可能只关心该 平均值,甚至不关心分布函数。 。一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量,常关心平均身高 ●1 研究信道上的随机噪声时,出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑,对噪声的均值很关心,而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 9本章重点讨论数学期望,方差,相关系数,矩等 3/34
§4.1 数学期望 概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征,但有 时对于我们关心的问题而言却不直观。如: 研究水稻品种时,常关注的是稻穗的平均稻谷粒数,这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的,而且在实际生产中可能只关心该 平均值,甚至不关心分布函数。 一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量,常关心平均身高 研究信道上的随机噪声时,出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑,对噪声的均值很关心,而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 本章重点讨论数学期望,方差,相关系数,矩等 3/34
§4.1数学期望 实例:一射手进行打靶练习,规定 ●打中区域e得0分 eo S ei 。打中区域e得1分 。打中区域e,得2分 以X记每次射击得分数,则X的分布律如下: X012 Pk Po P1 P2 4/34
§4.1 数学期望 实例:一射手进行打靶练习,规定 打中区域e0得0分 打中区域e1得1分 打中区域e2得2分 以X记每次射击得分数,则X的分布律如下: X 0 1 2 pk p0 p1 p2 e2 e1 e0 4/34
§4.1数学期望 考察每次射击的平均得分数? ●射击N次,其中得0分有a次,得1分有a1次,得2分有2次 即N=,+1+2 ●射击N次得分总和为aX0+a1×1+2×2 。每次射击平均分数为a,×0+4×1+4×2小-立4只, 这是有限次实验的算术平均值,其中、是事件P区=的 频率。 9 当Nn时,无限的接近一个稳定的常数k,即事件PX=码 发生的概率 。也就是说,当N∞时,算术平均值k→立仰一个稳定的 常数值,就把该值称为随机变量X的薮学期望或均值 Expectation 5/34
§4.1 数学期望 考察每次射击的平均得分数? 射击N次,其中得0分有a0次,得1分有a1次,得2分有a2次 即N=a0+a1+a2 射击N次得分总和为a0×0+a1×1+a2×2 ∴每次射击平均分数为(a0×0+a1×1+a2×2)/N= , 这是有限次实验的算术平均值,其中 是事件P{X=k}的 频率。 当N→∞时, 无限的接近一个稳定的常数pk,即事件P{X=k} 发生的概率 也就是说,当N→∞时,算术平均值 → 一个稳定的 常数值,就把该值称为随机变量X的数学期望或均值 Expectation 2 k 0 k N a k N ak N ak 2 k 0 k N a k 2 k 0 kpk 5/34
§4.1数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 P{X=x=Pk,k=1,2,. 若级数∑P绝对收敛,则称级数∑xP:的和为随机变 量X的数学期望,记为E(X), 即EX)=∑xP 。设连续型随机变量X的概率密度为f),若积分xf(x)s 绝对收敛,则称积分f(x)的值为随机变量X的数学 期望,记为E(X), 即EX)=广xf(x)d 6/34
§4.1 数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk }=pk,k=1,2,. 若级数 绝对收敛,则称级数 的和为随机变 量X的数学期望,记为E(X), 即E(X)= 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分 绝对收敛,则称积分 的值为随机变量X的数学 期望,记为E(X), 即E(X)= k1 xk pk k1 xk pk k1 k pk x xf (x)dx xf (x)dx xf (x)dx 6/34
§4.1数学期望 9数学期望简称期望,又称为均值 物理意义 。质心的概念:可以把物体的质量看作是集中在一点处, 如果一条直线的质量线密度为x),x为直线上任一质点 的坐标,那么直线的质心的位置x=? xf(x)deff(x)d 现在如果)是概率密度,则 xxf(x)dxff(x)dxf(x)dv1 即x。=EX),数学期望相当于质心的坐标 7134
§4.1 数学期望 数学期望简称期望,又称为均值 物理意义 质心的概念:可以把物体的质量看作是集中在一点处, 如果一条直线的质量线密度为f(x),x为直线上任一质点 的坐标,那么直线的质心的位置xc=? xc = / 现在如果f(x)是概率密度,则 xc = / = /1 即xc =E(X),数学期望相当于质心的坐标 xf (x)dx f (x)dx xf (x)dx f (x)dx xf (x)dx 7/34
§4.1数学期望 9EX)是实数而非变量,它是一种加权平均,与一般变量的 算术平均值不同。 ?大量试验的算术平均值趋近于期望 9只有级数的和或广义积分的值存在,数学期望才有意义, 而有时是不存在的 ·注意绝对收敛与条件收敛的区别,某些交错级数是条件收敛的, 其和可能不为一,因此期望不存在。如果一个数项级数{um}的各项 取绝对值后满足收敛,则称数项级数{山}绝对收敛,相应的如果绝 对值的积分收敛,则绝对收敛 °数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定 。若X服从某一分布,也称EX)为这一分布的数学期望, 比如二项分布,均匀分布等的数学期望 8134
§4.1 数学期望 E(X)是实数而非变量,它是一种加权平均,与一般变量的 算术平均值不同。 大量试验的算术平均值趋近于期望 只有级数的和或广义积分的值存在,数学期望才有意义, 而有时是不存在的 注意绝对收敛与条件收敛的区别,某些交错级数是条件收敛的, 其和可能不为一,因此期望不存在。如果一个数项级数{un }的各项 取绝对值后满足收敛,则称数项级数{un }绝对收敛,相应的如果绝 对值的积分收敛,则绝对收敛 数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定 若X服从某一分布,也称E(X)为这一分布的数学期望, 比如二项分布,均匀分布等的数学期望 8/34
§4.1数学期望 例设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为 f(x)= π1+x2) (-0<X<+0) 求EX). dx 解:由于积分x| π(1+x2) 因此柯西分布的数学期望不存在, 9/34
例 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为 求E(X). 解: 由于积分 因此柯西分布的数学期望不存在. ( ) (1 ) 1 ( ) 2 x x f x (1 ) | | 2 x dx x §4.1 数学期望 9/34
§4.1数学期望 例:甲乙两人打靶,所得分数X和Y分布律为 X012 1 2 Pk 00.20.8 0.60.30.1 试评定它们成绩的好坏 解主要看多次射击的得分均值,即数学期望, 离散型:EX)=∑xp: EX)=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8分 EY)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩 10/34
§4.1 数学期望 例:甲乙两人打靶,所得分数X和Y分布律为 X 0 1 2 Y 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定它们成绩的好坏 解 主要看多次射击的得分均值,即数学期望, 离散型:E(X)= E(X)=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8分 E(Y)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩 k1 k pk x 10/34
§4.1数学期望 例2有两个相互独立工作的电子装置,寿命X和X2服从同一 指数分布 1 e-x/0,x>O f)=1 0>0. 0, 其它 若将二者串联成整机,求整机寿命N的数学期望E(W) 9解N=min(X1,X),要求期望,先求概率密度,本题要先 求N的分布函数 ∴.Fmin(c)=1一[1一F]2X,X,独立同分布 又nwr英9 其它 [1-e2x,x>0 ∴.Fmin()=1-[1-Fx= 0, 其它 m=后。“,限从参数为2的指数分布 (0,其它 ∴E)=nfmn(x)=/2,指数分布的均值即参数R34
§4.1 数学期望 例2 有两个相互独立工作的电子装置,寿命X1和X2服从同一 指数分布 f(x)= ,θ>0. 若将二者串联成整机,求整机寿命N的数学期望E(N) 解 N=min(X1 ,X2 ),要求期望,先求概率密度,本题要先 求N的分布函数 ∴Fmin(x)=1-[1-F(x)]2 //X1 ,X2独立同分布 又F(x)= , ∴Fmin(x)=1-[1-F(x)]2= ∴fmin(x)= ,服从参数为θ/2的指数分布 ∴E(N)= =θ/2,指数分布的均值即参数θ/2 0, 其它 , 0 1 / e x x 0, 其它 1 , 0 / e x x 0, 其它 1 , 0 2 / e x x 0, 其它 , 0 2 2 / e x x xfmin(x)dx 11/34