第四章向量组的线性相关性 使学生掌握向量的概念、运算、向量和矩阵的关系以及向量组的线性相关性的有关概 忽、 用矩阵的秩判断向量组线性相关性的方法、线性相关性的性质定理 苏 线性相关与线性无关的概念、判断向量组线性相关性的方法、线性相关性的性质 线性相关与线性无关的概念、线性相关性的性质定理的证明 点 教学过程 (一)回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 (二)引入新课。 第一节向量组及其线性组合 1.维向量的定义（定义1），实向量，复向量，列向量和行向量的记号和对它们的理解 列向量的表示：五.，行向量的表示：a,.。 2.介绍n维向量的线性运算 类似于矩阵的加法和数乘运算给出向量的加法和数乘运算 定义n维向量ā=a,=4心4y的各对应分量分别相加的运算称为两个向量 的加法运算，运算的结果称为a,户的和：即a+B=(a+,+h,a,+b,)了。 定义：n维向量a=(4,a,了的各个分量都乘以数k所组成的向量，即为ka，即 ka=(ka,ka,.ka)。 第二节向量组的线性相关性 1.基本概念 (1)线性组合：设4，a,a,是s个n维向量，如果存在s个常数，2k,使得n维向量 B与4，四g之间的关系B=+6++k4,则称B是向量组a.“a,的线性组合，或者 说B可由向量组，a,g,的线性表示。 (2)n维单位向量组 (3)线性相关和线性无关的概念 设给定r个n维向量，a,如果存在r个不全为零的常数，.k,使得
11 第四章 向量组的线性相关性 教 学 目 的 使学生掌握向量的概念、运算、向量和矩阵的关系以及向量组的线性相关性的有关概 念、用矩阵的秩判断向量组线性相关性的方法、线性相关性的性质定理 教 学 重 点 线性相关与线性无关的概念、判断向量组线性相关性的方法、线性相关性的性质 教 学 难 点 线性相关与线性无关的概念、线性相关性的性质定理的证明 教 学 过 程 （一） 回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 （二） 引入新课。 第一节 向量组及其线性组合 1．n 维向量的定义（定义 1），实向量，复向量，列向量和行向量的记号和对它们的理解， 列向量的表示： , , ，行向量的表示： , , T T 。 2．介绍 n 维向量的线性运算 类似于矩阵的加法和数乘运算给出向量的加法和数乘运算 定义 n 维向量 T n T (a ,a , ,an ) , (b ,b , ,b ) 1 2 1 2 = = 的各对应分量分别相加的运算称为两个向量 的加法运算，运算的结果称为 , 的和：即 T a b a b an bn ( , , , ) + = 1 + 1 2 + 2 + 。 定义：n 维向量 T a a an ( , , , ) 1 2 = 的各个分量都乘以数 k 所组成的向量，即为 k ，即 T n k (ka ,ka , ,ka ) 1 2 = 。 第二节 向量组的线性相关性 1．基本概念 （1）线性组合：设 s , , , 1 2 是 s 个 n 维向量，如果存在 s 个常数 s k ,k , ,k 1 2 ，使得 n 维向量 与 s , , , 1 2 之间的关系 s s = k11 + k22 ++ k ，则称 是向量组 s , , , 1 2 的线性组合，或者 说 可由向量组 s , , , 1 2 的线性表示。 （2）n 维单位向量组 （3）线性相关和线性无关的概念 设给定 r 个 n 维向量 r , , , 1 2 ，如果存在 r 个不全为零的常数 r k ,k , ,k 1 2 ，使得
%+k2++k,=0 (*) 成立，则称向量组4,2,4，是线性相关的：否则，只有当k=:=.=本，=0时，(*)式才成立 称向量组线性无关。 注意：线性无关的等价说法：对任r个不全为零的数(，就有a,≠0。含有零向量的向 量组一定线性相关」 (4)线性相关的性质与判定 定理向量组4，4，≥2)线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余 r-1个向量的线性组合。 推论：向量组a,4,22)线性无关的充分必要条件为：其中任意一个向量都不能由 其余的，-1个向量的线性表示。 例1讨论向量组白=L0,0=010.=0.0的线性相关性。 例2判断下列向量组是否线性相关？如果线性相关，试找出其中的一个向量是其余向 量的线性组合，并写出它的表达式。 (1)a=1,0.0a=2L0.4=(4,50 (2)m=Lad2,a四=Lbb2,ba=Lc2,c2,a=Ld.d2,d其中a,bcd各不相同。 例3如果m,m,线性无关，证明向量组房=m+22,历=2m+3如，房=3好+4a3也线性无关。 定理如果向量组4,2，a,中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论1若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论2若向量组4,2，么，线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 m维向量组的线性相关性的定理 定理如果向量组4,2,4，中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论1若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论2若向量组4，4，线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 定理设a=a1,2a,月=a1,a2,ar,r）,f=1,2,m。若r维向量组函，2，an线性无关， 则r+1维向量组民，乃，B也线性无关。 推论r维向量组的每个向量添加上n-r分量，成为n维向量组。若r维向量组线性无关 则维向量组也一定线性无关：反之，若维向量组线性相关，则r维向量组也线性相关。 定理3.4设有n个n维向量组a=a,a24),则4，a,线性无关的充分必要条件为
12 k11 + k22 ++ krr = 0 （*） 成立，则称向量组 r , , , 1 2 是线性相关的；否则，只有当 k1 = k2 == kr = 0 时，（*）式才成立， 称向量组线性无关。 注意：线性无关的等价说法：对任 r 个不全为零的数 i k ，就有 = r i i i k 1 0 。含有零向量的向 量组一定线性相关。 （4）线性相关的性质与判定 定理 向量组 r , , , 1 2 (r 2) 线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余 r −1 个向量的线性组合。 推论：向量组 r , , , 1 2 (r 2) 线性无关的充分必要条件为：其中任意一个向量都不能由 其余的 r −1 个向量的线性表示。 例 1 讨论向量组 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) e1 = e2 = en = 的线性相关性。 例 2 判断下列向量组是否线性相关？如果线性相关，试找出其中的一个向量是其余向 量的线性组合，并写出它的表达式。 （1） (1,0,0), (2,1,0), (4,5,0) 1 = 2 = 3 = （2） (1, , , ), (1, , , ), (1, , , ), (1, , , ) 2 3 4 2 3 3 2 3 2 2 3 1 = a a a = b b b = c c c = d d d 其中 a,b,c,d 各不相同。 例 3 如果 1 2 3 , , 线性无关，证明向量组 1 1 2 2 2 3 3 3 1 4 3 = + 2 , = 2 +3 , = + 也线性无关。 定理 如果向量组 s , , , 1 2 中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论 1 若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论 2 若向量组 s , , , 1 2 线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 n 维向量组的线性相关性的定理 定理 如果向量组 s , , , 1 2 中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论 1 若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论 2 若向量组 s , , , 1 2 线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 定理 设 ( , , , ), ( , , , , ) i = ai1 ai2 air i = ai1 ai2 air air+1 ，i = 1,2, ,m 。若 r 维向量组 1 ,2 , ,m 线性无关， 则 r+1 维向量组 1 ,2 , ,m 也线性无关。 推论 r 维向量组的每个向量添加上 n-r 分量，成为 n 维向量组。若 r 维向量组线性无关， 则 n 维向量组也一定线性无关；反之，若 n 维向量组线性相关，则 r 维向量组也线性相关。 定理 3.4 设有 n 个 n 维向量组 ( , , , ) i = ai1 ai2 ain ，则 n , , , 1 2 线性无关的充分必要条件为
定理 如果向量组4,2,4，B线性相关，而4，4线性无关，则向量组B可由向量组 4,2,4,线性表示，且表示法唯一。 提示：该定理的证明法典型，体现了一种证明题的思路 证明：先证向量B可由向量组，2，G,线性表示：再证表示法唯一。 即设有两种表示法，按定理假设推出两种表示法的系数相等即可。 第三节向量组的秩 向量组之间的线性关系 定义（等价）对于给定的两个向量组(I）a4,4,（Ⅱ)民，B 如果向量组(I)中的每个向量都可由向量组（Ⅱ）中的向量线性表示，则称向量组(I) 可由向量组（Ⅱ）线性表 如果向量组(【)与向量组（Ⅱ）可以相互线性表示，则称向 量组(I 与向量组（Ⅱ）等价。 向量组的等价关系具有如下三个性质 (1)自反性：任意一个向量组都与自身等价： (2)对称性：如果(【)与（Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）与(1)等价。 (3)传递性：如果(1)~（Ⅱ），（Ⅱ）~（Ⅲ），则(1)~()。 定理如果向量组,2,4，线性无关，并且可以由向量组A,及线性表示，则必有rss。 推论1如果向量组，a,可以由向量组历，及线性表示，而且>s,那么a,4,必 定线性无关。 推论2两个线性无关的等价向量组所含有的向量个数必定相等。 推论3任意含有n+1个n维向量的向量组必定线性相关。 例1向量组4=2,32=32,4=(5，)一定线性相关，但其中任意两个向量都线性无关。 例2判断向量组=(1,00，a2=,010,a=Q,014=0,10,的线性相关性，如线性相关，写出线 性表达形式。 解：设存在四个实数，2，k3k4,使k+西+k马+k=0, +=0 即+购 解得=1=山=L=-1 k+k=0 所以线性表达式为a=一+a
13 0 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a D 。 定理 如果向量组 1 ,2 , ,r , 线性相关，而 r , , , 1 2 线性无关，则向量组 可由向量组 r , , , 1 2 线性表示，且表示法唯一。 提示：该定理的证明法典型，体现了一种证明题的思路。 证明：先证向量 可由向量组 r , , , 1 2 线性表示；再证表示法唯一。 即设有两种表示法，按定理假设推出两种表示法的系数相等即可。 第三节 向量组的秩 向量组之间的线性关系 定义（等价）对于给定的两个向量组（Ⅰ） r , , , 1 2 ，（Ⅱ） s , , , 1 2 如果向量组（Ⅰ）中的每个向量都可由向量组（Ⅱ）中的向量线性表示，则称向量组（Ⅰ） 可由向量组（Ⅱ）线性表示，如果向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）可以相互线性表示，则称向 量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价。 向量组的等价关系具有如下三个性质 （1）自反性：任意一个向量组都与自身等价； （2）对称性：如果（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）与（Ⅰ）等价。 （3）传递性：如果（Ⅰ）~（Ⅱ），（Ⅱ）~（Ⅲ），则（Ⅰ）~（Ⅲ）。 定理 如果向量组 r , , , 1 2 线性无关，并且可以由向量组 s , , , 1 2 线性表示，则必有 r s 。 推论 1 如果向量组 r , , , 1 2 可以由向量组 s , , , 1 2 线性表示，而且 r s ，那么 r , , , 1 2 必 定线性无关。 推论 2 两个线性无关的等价向量组所含有的向量个数必定相等。 推论 3 任意含有 n+1 个 n 维向量的向量组必定线性相关。 例 1 向量组 (2,3), (3,2), ( 5,7) 1 = 2 = 3 = − 一定线性相关，但其中任意两个向量都线性无关。 例 2 判断向量组 (1,1,0,0), (1,0,1,0), (0,0,1,1), (0,1,0,1) 1 = 2 = 3 = 4 = 的线性相关性，如线性相关，写出线 性表达形式。 解：设存在四个实数 1 2 3 4 k ,k ,k ,k ，使 k11 + k22 + k33 + k44 = 0， 即 + = + = + = + = 0 0 0 0 3 4 2 3 1 4 1 2 k k k k k k k k ，解得 k1 =1,k2 = −1,k3 =1,k4 = −1。 所以线性表达式为 4 =1 −2 +3
(三)总结所将讲主要内容 布置作业 (四 回顾矩阵的秩及向量组的线性相关性的概念及判断，引入新课。 (五) 新课。 第三节向量组的秩 向品组的科 定义：如果一个向量组的部分组满足 (1)这个部分组是线性无关的： (2)从该向量组剩余的向量中任取一个向量添加到这个部分组中，新的部分组一定线性相 关。 训称这个部公细是该向量组的一个极大线性无关细 利用定理可以知道， 上述定义中的(2) 可以改写成 (2*)该向量组中的任意 个都可以用这个部分组中的向量线性表示： (2*)该向量组中的其余向量都可以用这个部分组中的向量线性表示。 例14=0.0，.4=@10.a=(010,4=-10 可见，4,2线性无关，且四=4+2,4=4-2，所以，西2向量组的极大线性无关组。又，a 也是线性无关的，且m=-%,a=2%-a4,所以m,4也是向量组的一个极大线性无关组。 由此可见，一个向量组的极大无关组不唯一。 定理 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 设A是一个m×n矩阵： (2.an A的每一列元都构成一个m维向量，共有n个，记B,=(a,2,a了，称之为A的列向 量组。A的每一行元都构成一个n维向量，共有m个，记为a=(a1,a2,4),称之为A的行 向量组 定义 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩：矩阵的列向量组的秩，称为A的列秩， 定理 矩阵A的行秩等于矩阵A的列秩。 推论：矩阵A的列秩与矩阵A的行秩相等，且都等于矩阵A的秩。 定理如果矩阵A经过有限次初等行变换化成矩阵B,则A与B中任何对应的列向量组都 有相同的线性相关性，且A中任何列向量组之间的线性表达式与B中对应的列向量组之间的 线性表达式完全相同。 例2求向量组=1-25-3.2=(5,4-1915.=（←10-16-15.a4=(4-1-23)的一个极大线性无关组 并把它用向量组中的其余线性表示
14 （三） 总结所将讲主要内容 布置作业 （四） 回顾矩阵的秩及向量组的线性相关性的概念及判断，引入新课。 （五） 新课。 第三节 向量组的秩 向量组的秩 定义：如果一个向量组的部分组满足 （1） 这个部分组是线性无关的； （2） 从该向量组剩余的向量中任取一个向量添加到这个部分组中，新的部分组一定线性相 关。 则称这个部分组是该向量组的一个极大线性无关组。 利用定理 可以知道，上述定义中的（2）可以改写成 （2*）该向量组中的任意一个都可以用这个部分组中的向量线性表示； （2**）该向量组中的其余向量都可以用这个部分组中的向量线性表示。 例 1 (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1, 1,0) 1 = 2 = 3 = 4 = − 可见， 1 2 , 线性无关，且 3 1 2 4 1 2 = + , = − ，所以 1 2 , 向量组的极大线性无关组。又 1 4 , 也是线性无关的，且 2 1 4 3 2 1 4 = − , = − ，所以 1 4 , 也是向量组的一个极大线性无关组。 由此可见，一个向量组的极大无关组不唯一。 定理 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。 定义 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。 矩阵的行秩与列秩 设 A 是一个 m n 矩阵： = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 A 的每一列元都构成一个 m 维向量，共有 n 个，记 T j a j a j amj ( , , , ) = 1 2 ，称之为 A 的列向 量组。A 的每一行元都构成一个 n 维向量，共有 m 个，记为 ( , , , ) i = ai1 ai2 ain ，称之为 A 的行 向量组。 定义 矩阵 A 的行向量组的秩，称为 A 的行秩；矩阵的列向量组的秩，称为 A 的列秩。 定理 矩阵 A 的行秩等于矩阵 A 的列秩。 推论：矩阵 A 的列秩与矩阵 A 的行秩相等，且都等于矩阵 A 的秩。 定理 如果矩阵 A 经过有限次初等行变换化成矩阵 B，则 A 与 B 中任何对应的列向量组都 有相同的线性相关性，且 A 中任何列向量组之间的线性表达式与 B 中对应的列向量组之间的 线性表达式完全相同。 例 2 求向量组 (1, 2,5, 3), (5,4, 19,15), ( 10, 1,16, 15), (4, 1, 2,3) 1 = − − 2 = − 3 = − − − 4 = − − 的一个极大线性无关组， 并把它用向量组中的其余线性表示
解：把所给向量组转置为列向量，构成一个4阶矩阵A,并进行初等行变换： 4=5-1916-2 0000 =B=(4,及A) (-315-153 0000 容易看出，A,B是向量组A,A,及，A的一个极大线性无关组，并且有 6=-明+2A,月=2A-38 由于向量组4,2，a,与向量组A,及，A,A有相同的线性相关性，所以，a4就是向量组 4,2,4.m的一个极大线性无关组，且有 2=-3a+2a4,=2%-3a4 第四节：向量空间 介绍向量空间的定义见书本第74页。 介绍向量空间的基及维数。 介绍坐标向量。 第五节：线性方程组解的结构 回顾解非齐次线性方程组的克拉默法则 线性方程组Arx=hm (1) 和线性方程组Ao=0md (2) 1.基本概念 定义：m个方程个未知量的线性方程组(2)称为齐次线性方程组：当5≠0时，(1)称为 非齐次线性方程组。 定义：若x==⑤，5满足(1)或(2)，则称其为(1)的解向量或(2)的解。 2.解的判断 定理含有m个未知量的齐次线性方程组依=0有非零解一刷)<n:只有零解的一r=n。 推论1如果：=0的系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件是|A=0。 推论2如果方程的个数小于未知数的个数，则方程组：=ō必有非零解。 3.解的结构 (六)定理设5点是方程组匠=0的解，则它们的任意的线性组合5+5++k5 也是方程组的解。 定义（基础解系）：设，6是方程组：=0的一组解向量，如果满足如下条件 (1),5线性无关： (2)方程组的任意一个解向量都可以用，点，5线性表示
15 解： 把所给向量组转置为列向量，构成一个 4 阶矩阵 A，并进行初等行变换： − − ⎯→ − − − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 1 1 3 2 0 3 15 15 3 5 19 16 2 2 4 1 1 1 5 10 4 A ( ) 1 2 3 4 = B = , , , ， 容易看出， 1 4 , 是向量组 1 2 3 4 , , , 的一个极大线性无关组，并且有 2 1 4 3 2 1 3 4 = −3 + 2 , = − 由于向量组 1 2 3 4 , , , 与向量组 1 2 3 4 , , , 有相同的线性相关性，所以 1 4 , 就是向量组 1 2 3 4 , , , 的一个极大线性无关组，且有 2 1 4 3 2 1 3 4 = −3 + 2 , = − 。 第四节：向量空间 介绍向量空间的定义见书本第 74 页。 介绍向量空间的基及维数。 介绍坐标向量。 第五节：线性方程组解的结构 回顾解非齐次线性方程组的克拉默法则 线性方程组 mn = bm1 A x （1） 和线性方程组 mn = 0m1 A x （2） 1．基本概念 定义： m 个方程 n 个未知量的线性方程组 （2）称为齐次线性方程组；当 b 0 时，（1）称为 非齐次线性方程组。 定义：若 T n x ( , , , ) 1 11 21 1 = = 满足（1）或（2），则称其为（1）的解向量或（2）的解。 2．解的判断 定理 含有 n 个未知量的齐次线性方程组 0 Ax = 有非零解 R(A) n ；只有零解的 r = n 。 推论 1 如果 0 Ax = 的系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件是|A|=0。 推论 2 如果方程的个数小于未知数的个数，则方程组 0 Ax = 必有非零解。 3．解的结构 （六） 定理 设 s , , , 1 2 是方程组 0 Ax = 的解，则它们的任意的线性组合 s s k11 + k22 ++ k 也是方程组的解。 定义（基础解系）：设 s , , , 1 2 是方程组 0 Ax = 的一组解向量，如果满足如下条件： （1） s , , , 1 2 线性无关； （2）方程组的任意一个解向量都可以用 s , , , 1 2 线性表示
则称，点5是齐次线性方程组的一个基础解系。 下面给出齐次线性方程组(2)的解的解构定理 定理 n元齐次线性方程组Ax=0,当其系数矩阵的秩)-r<n时，则方程组的基础解 系存在，且基础解系中含有m-,个解向量。 若，.，n,是方程组4nm=0的基础解系，则4i=0的通解为 S=行=ki++kEk,kn∈}。 例1求解方程组 3-2-2x4=0 25+2x-51-E4=0 提示：由定理4.3的证明过程得知，求解齐次方程组的基础解系，只需对系数矩阵进行 行的初等变换，对齐次线性方程组中的自由未知量只需取单位向量，比如，自由未知量的个 数为s个，则基础解系中解的个数就有s个。 例2问2取何值时，齐次线性方程组 。0有非零解 -4+8,+2+2=0 提示：由推论1知，系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件为系数行列式 等于零 例3设A是n阶方阵，证明r4=4。 提示：欲证明(4)=(4)，只需证明x=0与4x=0同解。 总结本次课所讲主要内容 判断向量组的线性相关性，可以把向量组表示成矩阵形式，当矩阵A的秩为r时，A的不为 零的r阶子式所在的行构成矩阵A的行向量组的一个几个极大线性无关组，所在的列构成A 的列向量组的 个极大线性无关组。任何+1阶子式都为零，所在的行向量一定线性相关 所在的列向量组一定线性相关
16 则称 s , , , 1 2 是齐次线性方程组的一个基础解系。 下面给出齐次线性方程组（2）的解的解构定理 定理 n 元齐次线性方程组 0 Amn x = ，当其系数矩阵的秩 R(A) = r n 时，则方程组的基础解 系存在，且基础解系中含有 n − r 个解向量。 若 n−r , , , 1 2 是方程组 0 Amn x = 的 基 础 解 系 ， 则 0 Amn x = 的通解为 { , , } S = x = k1 1 + + k n−r k1 kn−r R 。 例 1 求解方程组 + − − = − − = − + − = − + − = 2 2 5 0 3 2 2 0 5 4 4 4 0 2 3 0 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 提示：由定理 4.3 的证明过程得知，求解齐次方程组的基础解系，只需对系数矩阵进行 行的初等变换，对齐次线性方程组中的自由未知量只需取单位向量，比如，自由未知量的个 数为 s 个，则基础解系中解的个数就有 s 个。 例 2 问 取何值时，齐次线性方程组 − + + + = + + = − − = 4 8 ( 2) 0 4 ( 1) 0 ( 3) 0 1 2 3 1 2 1 2 x x x x x x x 有非零解。 提示：由推论 1 知，系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件为系数行列式 等于零。 例 3 设 A 是 n 阶方阵，证明 ( ) ( ) +1 = n n r A r A 。 提示：欲证明 ( ) ( ) +1 = n n r A r A ，只需证明 A x = 0 n 与 0 1 = + A x n 同解。 总结本次课所讲主要内容 判断向量组的线性相关性，可以把向量组表示成矩阵形式，当矩阵 A 的秩为 r 时，A 的不为 零的 r 阶子式所在的行构成矩阵 A 的行向量组的一个几个极大线性无关组，所在的列构成 A 的列向量组的一个极大线性无关组。任何 r+1 阶子式都为零，所在的行向量一定线性相关， 所在的列向量组一定线性相关