第五章矩阵的特征值及特征向量 皮学鞋据持特为量的炭法 使学生学握相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 使学生掌握本章内容总结和典型例题选讲 致 学特征值与特征向量的求法 相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 教 学 特征值与特征向量的求法 难相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 点 教学过程 (一)回顾向量的数量积，引入新课 (二)新课。 第一节：向量的正交及正交矩阵 向量的内积 定义1对给定的列向量元，称G,列=于为，的内积。 性质①G,列-0，：®(，列-元列：©依+-优，)+0.： ⑨依，)≥0，且当元≠0时，有G,)>0。 定义2对向量=(，x2,.,x)了，规定x的长度同=反，到=++后。 性质①当≠0时，问>0：当=0时，问=0：②=： ⊙非+s+:回施瓦茨不等式G,列？≤任，G,列。 规定向量的夹角为：0m0,d5,6。 定义3若(，)=0，则称向量与正交。0与任何向量正交。 正交向量组 定理若n维向量ā，ā，是一组两两正交的非零向量组，则a,.,a,线性无关。 定理设向量组a,ā，线性无关，令 质=，店心含常4，房=西骨4份密及， (a B
16 第五章 矩阵的特征值及特征向量 教 学 目 的 使学生掌握特征值与特征向量的求法 使学生掌握相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 使学生掌握本章内容总结和典型例题选讲 教 学 重 点 特征值与特征向量的求法 相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 教 学 难 点 特征值与特征向量的求法 相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 教 学 过 程 （一） 回顾向量的数量积，引入新课 （二） 新课。 第一节：向量的正交及正交矩阵 向量的内积 定义 1 对给定的列向量 x y , ，称 x y x y T ( , ) = 为 x y , 的内积。 性质 (x, y) ( y, x) = ； ( x, y) (x, y) = ； (x y,z) (x,z) ( y,z) + = + ； (x, x) 0 ，且当 0 x 时，有 (x, x) 0 。 定义 2 对向量 T n x (x , x , , x ) 1 2 = ，规定 x 的长度 2 2 1 ( , ) n x = x x = x ++ x 。 性质 当 0 x 时， x 0 ；当 0 x = 时， x = 0 ； x x = ； x y x y + + ；施瓦茨不等式 ( , ) ( , )( , ) 2 x y x x y y 。 规定向量 x y , 的夹角为： , 0, 0 ( , ) arccos = x y x y x y 。 定义 3 若 (x, y) = 0 ，则称向量 x 与 y 正交。 0 与任何向量正交。 正交向量组 定理 若 n 维向量 a ar , , 1 是一组两两正交的非零向量组，则 a ar , , 1 线性无关。 定理 设向量组 a ar , , 1 线性无关，令 1 =1， 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , ) = − ， 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = − − ，- 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) − − − − = − − − r r r r r r r r r
则所得到的A.房？是正交向量组，且与ā一，4等价。如果继续令A“岛，则得到的向量组 n,h与4,24，等价的标准正交向量组 定理设，是n维向量组的标准正交向量组，如果，<m,则必存在n维向量1，使 ,，1也构成标准正交向量组。 推论设，是n维向量的标准正交向量组，如果，<n,则必存在n-r个n维向量，2 也构成标准正交向量组。 介绍正交矩阵与正交变换。 2.例题选讲 例1设向量组m,2,.a线性无关，房可由向量组，2gm线性表示，而伪不能由向量组 m,m,an线性表示，试证m+1个向量m,m,am,房+历线性无关。 例2设A是m×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m,且AB=E,证明B的列向量组线性无关。 证明：令B=(保，及B),要证A,及，线性无关，只需证明)=n。 因为RB)smim,m)=n,又AB=E,所以n=E)=RAB)Smm(R刷，RB)sRB,故R=n。 例3设4=1232=B-12,a=(230,问t取何值时，4,2.线性无关，取何值时，4,2.4线性 相关。 提示：由例2的结论知：当A的列向量组的秩等于向量的个数时，该列向量组线性无关，即 ,a2,0,a,43线性无关，当4,2，-0,4,243线性相关。 第二节：方阵的特征值与特征向量 1.特征值与特征向量的性质 定义（给出特征值与特征向量的性质）：=，≠0(1)。 :=示-(4-E)x=0(2),(2)有非零解-4-=0(3)一称为A的特征方程，f2)=4- 叫做A的特征多项式。由多项式的根与系数的关系可得： 回+方+.n=a1+a2++am②石.n=4。 2.方阵A的特征值与特征向量的求法 先解14-=2)=0，得出A的n个特征值元，1=12，n,再对每一，解(A-E)x=0,其 非零解均是与，相应的特征向量，元是实（复）数，特征向量相应为实（复）向量。 例5。求4一（仁）的特征位和特征向量
17 则所得到的 r , , , 1 2 是正交向量组，且与 a ar , , 1 等价。如果继续令 i i i = ，则得到的向量组 r , , , 1 2 与 r , , , 1 2 等价的标准正交向量组。 定理 设 r , , , 1 2 是 n 维向量组的标准正交向量组，如果 r n ，则必存在 n 维向量 r+1 ，使 r , , , 1 2 ，r+1 也构成标准正交向量组。 推论 设 r , , , 1 2 是 n 维向量的标准正交向量组，如果 r n ，则必存在 n-r 个 n 维向量 r r n , , , +1 +2 也构成标准正交向量组。 介绍正交矩阵与正交变换。 2．例题选讲 例 1 设向量组 1 ,2 , ,m 线性无关， 1 可由向量组 1 ,2 , ,m 线性表示，而 2 不能由向量组 1 ,2 , ,m 线性表示，试证 m +1 个向量 1 ,2 , ,m， 1 + 2 线性无关。 例 2 设 A 是 n m 矩阵，B 是 m n 矩阵，其中 n m ，且 AB=E，证明 B 的列向量组线性无关。 证明：令 ( , , , ) B = 1 2 n ，要证 n , , , 1 2 线性无关，只需证明 R(B) = n 。 因为 R(B) min(m,n) = n ，又 AB = E ，所以 n = R(E) = R(AB) min(R(A),R(B)) R(B) ，故 R(B) = n 。 例 3 设 (1,2,3), (3, 1,2), (2,3, ) 1 2 3 = = − = t ，问 t 取何值时， 1 2 3 , , 线性无关，取何值时， 1 2 3 , , 线性 相关。 提示：由例 2 的结论知：当 A 的列向量组的秩等于向量的个数时，该列向量组线性无关，即 1 ,2 ,3 0 ， 1 2 3 , , 线性无关，当 1 ,2 ,3 = 0 ， 1 2 3 , , 线性相关。 第二节：方阵的特征值与特征向量 1．特征值与特征向量的性质 定义 （给出特征值与特征向量的性质）： , 0 Ax = x x （1）。 ( ) 0 Ax = x A−E x = （2），（2）有非零解 A−E = 0 （3）—称为 A 的特征方程， f () = A−E 叫做 A 的特征多项式。 由多项式的根与系数的关系可得： ; 1 + 2 +n = a11 + a22 ++ ann 12 n = A 。 2．方阵 A 的特征值与特征向量的求法 先解 A−E = f () = 0 ，得出 A 的 n 个特征值 i ，i = 1,2, , n ，再对每一 i ，解 ( ) 0 A−E x = ，其 非零解均是与 i 相应的特征向量， i 是实（复）数，特征向量相应为实（复）向量。 例 5． 求 − − = 1 3 3 1 A 的特征值和特征向量
-1101 例6.求A=-430的特征值和特征向量。 (102 -211 例7.求A=020的特征值和特征向量。 (-413 补充定理 定理两两互异的特征值2，.，元对应的特征向量，卫线性无关。 提示：该定理可用数学归纳法证明。 第三节：相似矩阵 1.相似矩阵的概念和性质 定义设A,B是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得pP=B,则称矩阵B是矩阵A 的相似矩阵或称A相似于B,满秩矩阵P称为将A化成B的相似变换矩阵。 相似矩阵具有如下性质 (1) 自反性：方阵A相似于A: (2)对称性：如果A相似于B,则B相似于A: (3)如果A相似于B,B相似于C,则A相似于C。 定理如果A与B相似，则A与B具有相同的特征多项式，因而有相同的特征值 推论若n阶阵A与对角矩阵A=ag(元，.，元)相似，则元，n是A的特征值。 介绍利用相似矩阵计算方阵的幂的方法。见P117。 2.方阵A与对角阵相似的条件 3P-,PAP=A→AP=PA台4历，.，Pn)=(d,Pn)A=(ai,nP) 台，=，则2，是A的特征值，是A的与，相应的特征向量，且，P。 线性无关。如上推导表明： 定理4.7方阵A相似于对角阵A=diag(元，元n)的充分必要条件为：1，元n是A的n个特征 值，并且A有n个线性无关的特征向量。 补充结论 定理方阵A可以对角化口A有m个线性无关的特征向量。 推论若A的n个特征值互异，则A可对角化。 本章习题课 1.总结内容及方法 (1)矩阵的特征值与特征向量的求法 (2)相似矩阵的概念和性质 (3)阶矩阵的可对角化 2.例题分析
18 例 6． 求 − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 的特征值和特征向量。 例 7． 求 − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A 的特征值和特征向量。 补充定理 定理 两两互异的特征值 n , , 1 对应的特征向量 p pn , , 1 线性无关。 提示：该定理可用数学归纳法证明。 第三节：相似矩阵 1．相似矩阵的概念和性质 定义 设A，B是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得 P AP = B −1 ，则称矩阵B是矩阵A 的相似矩阵或称A相似于B，满秩矩阵P称为将A化成B的相似变换矩阵。 相似矩阵具有如下性质 （1） 自反性：方阵A相似于A； （2） 对称性：如果A相似于B，则B相似于A； （3） 如果A相似于B，B相似于C，则 A相似于C。 定理 如果A与B相似，则A与B具有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 推论 若 n 阶阵 A 与对角矩阵 ( , , ) = diag 1 n 相似，则 n , , 1 是 A 的特征值。 介绍利用相似矩阵计算方阵的幂的方法。见P117。 2．方阵 A 与对角阵相似的条件 , −1 P = = = − ( , , ) ( , , ) 1 1 1 P AP AP P A p pn p pn =( , , ) 1 p1 n pn Api i pi = ，则 i 是 A 的特征值， pi 是 A 的与 i 相应的特征向量，且 p pn , , 1 线性无关。如上推导表明： 定理 4.7 方阵 A 相似于对角阵 ( , , ) = diag 1 n 的充分必要条件为： n , , 1 是 A 的 n 个特征 值，并且 A 有 n 个线性无关的特征向量。 补充结论： 定理 方 阵 A 可以对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量。 推论 若 A 的 n 个特征值互异，则 A 可对角化。 本章习题课 1．总结内容及方法 （1） 矩阵的特征值与特征向量的求法 （2） 相似矩阵的概念和性质 （3） n阶矩阵的可对角化 2．例题分析
例1设A是m×m矩阵，B是mxs矩阵，且AB=O,试证R)+)≤n。 提示：利用齐次线性方程组的解空间的维数一定大于或等于任何部分解向量的极大无关组中向 量的个数 nR(A)=n 例2设A为n阶矩阵，且m≥2，证明4={LA)=n-L 0.R(A)<n-1 提示：利用AA=AA利E 例3设三阶矩阵A的特征值分别为1,2,3，试求 (1)矩阵B=2+24-E的特征值： 第四节：实对称矩阵的对角化 介绍空对称面陈 介绍定理6 ,8、9见书本99页。 祥细讲解第100页的例11
19 例 1 设A是 m n 矩阵，B是 n s 矩阵，且AB=0，试证 R(A) + R(B) n 。 提示：利用齐次线性方程组的解空间的维数一定大于或等于任何部分解向量的极大无关组中向 量的个数。 例 2 设A为n阶矩阵，且 n 2 ，证明 − = − = = 0, ( ) 1. 1, ( ) 1, , ( ) , ( *) R A n R A n n R A n R A 提示：利用 AA A A | A | E * * = = 例 3 设三阶矩阵A的特征值分别为 1，2，3，试求 （1） 矩阵 B = A + 2A− E 2 的特征值； 第四节：实对称矩阵的对角化 介绍实对称矩阵 介绍定理 6、7、8、9 见书本 99 页。 祥细讲解第 100 页的例 11