第一章概率论的基本概念 §1.1随机试验 9§1.2样本空间、随机事件 9§1.3频率与概率 9§1.4等可能概型（古典概型) 9§1.5条件概率 9§1.6独立性 2/16
第一章 概率论的基本概念 §1.1 随机试验 §1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率 §1.4 等可能概型（古典概型） §1.5 条件概率 §1.6 独立性 2/16
§1.4等可能概型（古典概型) 9先看两个试验： 。抛一枚硬币，观察其H,T出现的情况；S={H,T} ·抛一枚骰子，观察其出现的点数；S={1,2,3,4,5,6} 9这些试验有两个明显特点： (1)S中的元素只有有限个； (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同。 9这样的试验大量存在，称为等可能概型 。由于它是概率论发展初期的研究对象，又叫古典概型。 3/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 先看两个试验： 抛一枚硬币，观察其H，T出现的情况；S={H，T} 抛一枚骰子，观察其出现的点数；S＝{1，2，3，4，5，6} 这些试验有两个明显特点： （1）S中的元素只有有限个； （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这样的试验大量存在，称为等可能概型 由于它是概率论发展初期的研究对象，又叫古典概型。 3/16
§1.4等可能概型（古典概型) 古典概型试验中事件发生的概率计算公式： 设试验E的样本空间为S={e1,e2,e},由于每个基本事件 发生的可能性相同，即有 oP({e1})=P({e2)=.=P{en) 。又由于基本事件是两两不相容的 ●所以1=PS)=P({e}U{e2}U.U{e)=nP({e),i=1,2,n 。即P({e)=1/n,i=1,2,n 若事件A包含k个基本事件，即A={}UeU.U{e,i1, 2,是1到n中某k个不同的数，则有 P利一空P,训=香=神春的鞋本华件等 i=1 ,S中包含的基本事件数 4/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 古典概型试验中事件发生的概率计算公式： 设试验E的样本空间为S＝{e1 ,e2 ,.,en }，由于每个基本事件 发生的可能性相同，即有 P({e1 })＝P({e2 })＝.＝P({en }) 又由于基本事件是两两不相容的 所以1＝P(S)＝P({e1 }∪{e2 }∪.∪{en })=nP({ei })，i＝1,2,.,n 即P({ei })=1/n , i＝1,2,.,n 若事件A包含k个基本事件，即A={ }∪{ }∪.∪{ }，i1， i2，.，ik是1到n中某k个不同的数，则有 P(A)＝ ＝ ＝ 1 i e 2 i e k i e k j i j P e 1 ({ }) n k 中包含的基本事件数 中包含的基本事件数 S A 4/16
§1.4等可能概型（古典概型) 。例1.古典概型的一般问题 。一枚硬币抛三次 (①)设事件A1:恰有一次出现正面，求P(A) (设事件A2:至少有一次出现正面，求P(A2) 9解：首先正确给出样本空间 1.等可能概 S=(HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} 型的判断可 (①事件A1={HTT,THT,TTH} 根据对称性 来考虑一般 。分析：S中只有有限个元素，由对称性可知 的排列组合 ·每个基本事件发生的可能性相同一一等可能概型 问题都是古 ●∴.P(A)=3/8 典概型 2.对于“至 ()先看A2的逆事件A,={TTT} 少”通常 。P(42)=1-P(A)=1-1/8=7/8 先考察其逆 事件 5/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例1．古典概型的一般问题 一枚硬币抛三次 (i) 设事件A1：恰有一次出现正面，求P(A1 ) (ii)设事件A2：至少有一次出现正面，求P(A2 ) 解：首先正确给出样本空间 S={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT} (i) 事件A1={HTT，THT，TTH } 分析：S中只有有限个元素，由对称性可知 每个基本事件发生的可能性相同――等可能概型 ∴P(A1 )＝3/8 (ii)先看A2的逆事件 ={TTT} P(A2 )＝1－P( )＝1－1/8＝7/8 A2 A2 1.等可能概 型的判断可 根据对称性 来考虑一般 的排列组合 问题都是古 典概型 2.对于“至 少.”通常 先考察其逆 事件 5/16
§1.4等可能概型（古典概型) 例2：放回抽样与不放回抽样 分析：依次从袋中取两球，每一取 一只口袋有6只球：4只白的，2只红的。从袋中取 法为一个基本事件。又样本空间中 球两次，每次随机取一只，考虑两种取球方式： 的元素有限，由对称性每个基本事 件发生的可能性相同：等可能概型 ·放回抽样：第一次取一只球，观察颜色后放回袋 中，搅匀后再取一只 ①计算S中元素的个数：第一次6球， 第二次6球，由组合乘法原理， 不放回抽样：第一次取一只球不放回袋中，第二 次从剩余球中再取一只 。共有6×6=36种 。分别就以上两种方式求： ②A：两次都有4只白球可取，共有 。(取到的两只球都是白球的概率； 4×4=16种 。(取到的两只球颜色相同的概率； ③B:两次都有2只红球可取，共有 2×2=4种 ●（取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 9.由古典概型公式： 分数不可随 解：(a)放回抽样的情况 意化成小数， 。P(A)=1636=4/9 。启示：恰当的利用事件间的关系可以简化求解 除非有保留 。PB)=4/36=1/9 精度 ●设事件A:取到的两只都是白球；事件B:取到的 两只都是红球；事件C:至少一白 ·PAUB)=PA)+PB)=4/9+1/9=5/9 。则()相当于求P(A);()P(AUB)=P(A)+PB); ●PC)=PB)=1-PB)=1-1/9=8/9 (iii)P(C)=P(B)=1-P(B) (b)不放回抽样的情况 。所以只要求出事件A和事件B的概率就行了 。S:6×5=30,A:4×3=12,B: 2×1=2具体步骤（略）6/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例2：放回抽样与不放回抽样 一只口袋有6只球：4只白的，2只红的。从袋中取 球两次，每次随机取一只，考虑两种取球方式： 放回抽样：第一次取一只球，观察颜色后放回袋 中，搅匀后再取一只 不放回抽样：第一次取一只球不放回袋中，第二 次从剩余球中再取一只 分别就以上两种方式求： (i)取到的两只球都是白球的概率； (ii)取到的两只球颜色相同的概率； (iii)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 解：(a)放回抽样的情况 启示：恰当的利用事件间的关系可以简化求解 设事件A：取到的两只都是白球; 事件B：取到的 两只都是红球; 事件C：至少一白 则 (i) 相当于求P(A)；(ii) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (iii) P(C)＝P( )=1－P(B) 所以只要求出事件A和事件B的概率就行了 分析：依次从袋中取两球，每一取 法为一个基本事件。又样本空间中 的元素有限，由对称性每个基本事 件发生的可能性相同：等可能概型 ①计算S中元素的个数：第一次6球， 第二次6球，由组合乘法原理， 共有6×6＝36种 ②A：两次都有4只白球可取，共有 4×4＝16种 ③B：两次都有2只红球可取，共有 2×2＝4种 ∴由古典概型公式： P(A)＝16/36=4/9 P(B)＝4/36=1/9 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)=4/9+1/9=5/9 P(C)＝P( )=1－P(B)=1－1/9=8/9 (b)不放回抽样的情况 S：6×5＝30，A: 4×3＝12，B： 2×1＝2 具体步骤（略） 分数不可随 意化成小数， 除非有保留 精度 B B 6/16
§1.4等可能概型（古典概型) 盒1 盒2 盒N 例3，生日悖论 。将n只球随机放入NN2m)个盒子中去. CN CN CN ●求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子容量不限） 。解：分析：只球放入N个盒子中的每一种方法为一个基本事件 。由对称性易知：古典概型 。S:共有N种不同的放法 。A:至多放一只，共有N×N-1)XN一2)×.×N-n+1) ·所以PA)=NXW-1)XW-2)X.XW-n+1)/m=A 。生日问题 ●设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的 。 任选n个人（≤365），生日各不相同的概率： 由公式，概率=365 A365 。则个人中至少有两人生日相同的概率=1一 365” 0 当n=38时，p=0.864 ● 当n=64时，p=0.997,几乎等于1,60个人的班级以近乎于1的概率有两16 个人生日相同
§1.4 等可能概型（古典概型） 例3，生日悖论 将n只球随机放入N(Nn)个盒子中去. 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子容量不限) 解：分析：n只球放入N个盒子中的每一种方法为一个基本事件 由对称性易知：古典概型 S：共有Nn种不同的放法 A：至多放一只，共有N×(N－1)×(N－2)×.×(N－n＋1) 所以P(A)= N×(N－1)×(N－2)×.×(N－n＋1)/Nn= 生日问题 设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的 任选n个人(n365)，生日各不相同的概率： 由公式，概率＝ 则n个人中至少有两人生日相同的概率p＝1－ 当n＝38时，p＝0.864 当n＝64时，p＝0.997，几乎等于1，60个人的班级以近乎于1的概率有两 个人生日相同 盒1 盒2 盒N . . 球 1 2 . . n CN 1 CN 1 CN 1 n n N N A n n A 365 365 n n A 365 365 7/16
§1.4等可能概型（古典概型) ·例4超儿何分布的概率公式 。设有N件产品，其中D件次品，今从中任取件 。问其中恰有k(≤D)件次品的概率是多少？ 9解：S:N件中任取件（不放回抽样，也不计次序） ●共有C种取法，每一取法为一基本事件 。注意：符号C为组合数，N,n均为整数， 当N为实数时记做】 。 ●A:恰有k件次品：相当于在D件次品中任选k件，并在N一D件正品 中任选n一k件 。共有C0×C,件 .P(A)= C×C2 CN 8/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例4 超几何分布的概率公式 设有N件产品，其中D件次品，今从中任取n件 问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少？ 解：S：N件中任取n件（不放回抽样，也不计次序） 共有 种取法，每一取法为一基本事件 注意：符号 为组合数，N，n均为整数， 当N为实数时记做 A：恰有k件次品：相当于在D件次品中任选k件，并在N－D件正品 中任选n－k件 共有 件 P(A)= n N n C N n C N n k CD CN D k n k N n k D N D C C C 8/16
§1.4等可能概型（古典概型) 例5抽签问题 袋中有只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，分别采用放回抽样和不放 回抽样的方式，求第个人取到白球的概率(k<+b,k),记为P(B) 解：(1)放回抽样时 。第个人取球不受前一1个人的影响，因此概率等于白球的个数比上球总数 ● 即PB)=a a+b ·(2)不放回抽样的情况 ·第个人取到白球的取法总数比上总取法数，其中总取法数如下： ·S:总的取法，k个人各取一只球，每种取法为一个基本事件 共有(a+b)(a+b-1).(a+b一k+1)FAb种取法 0 事件B发生时，第个人应取到白球，可以是只中的任意一只，共有种情况，对于 每一种情况来说，其余k一1个人是从其余+b一1个球中任取k一1只，由于是不放回 抽样，共有A种， 所以事件B发生时可能的取法总数为×A公 ● )ax4 A a+b 可见概率与羌关，即k个人每人取到白球的概率与取球的先后次序，取球的方式（是 否放回抽样)无关，它们机会均等 9/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例5 抽签问题 袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，分别采用放回抽样和不放 回抽样的方式，求第i个人取到白球的概率(k<a+b,ik),记为P(B) 解：(1)放回抽样时 第i个人取球不受前i－1个人的影响，因此概率等于白球的个数比上球总数 即P(B)＝ (2)不放回抽样的情况 第i个人取到白球的取法总数比上总取法数，其中总取法数如下： S：总的取法，k个人各取一只球，每种取法为一个基本事件 共有(a+b) (a+b－1) . (a+b－k+1)= 种取法 事件B发生时，第i个人应取到白球，可以是a只中的任意一只，共有a种情况，对于 每一种情况来说，其余k－1个人是从其余a+b－1个球中任取k－1只，由于是不放回 抽样，共有 种， 所以事件B发生时可能的取法总数为a× P(B)＝ 可见概率与i无关，即k个人每人取到白球的概率与取球的先后次序，取球的方式(是 否放回抽样)无关，它们机会均等 a b a k Aab 1 1 k Aa b 1 1 k Aa b a b a A A a k a b k a b 1 1 9/16
§1.4等可能概型 (古典概型) 例6一道课后习题 。从5双不同的鞋子中，任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概 率是多少？ 解：古典概型 。为方便分析，先求4只都不配成双的概率 。S:共有C10种不同的取法 。4只都不配成双的概率： 5双鞋中先任选4双，然后每双鞋中任选一只 ● CxC2×C2×C2×C2 24C 所以=C。 所以至少两只配成双的概率为1一p=1一2C 。或直接求： 。有1双配成双：C;×(C?×C×C)有两双配成双C 。所以P(B)=(C×(C×C2×C)+C)1C 10/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例 6 一道课后习题 从5双不同的鞋子中，任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概 率是多少？ 解：古典概型 为方便分析，先求4只都不配成双的概率p S：共有 种不同的取法 4只都不配成双的概率： 5双鞋中先任选4双，然后每双鞋中任选一只 所以p＝ 所以至少两只配成双的概率为1－p＝1－ 或直接求： 有1双配成双： 有两双配成双 所以P(B)=4 C10 1 2 1 2 1 2 1 2 4 C5 C C C C 4 10 4 5 4 2 C C 4 10 4 5 4 2 C C C5 1 （C4 2 C2 1 C2 1） 2 C5 4 1 0 2 5 1 2 1 2 2 4 1 5 （C （C C C ）C ）/C 10/16
§1.4等可能概型（古典概型) 例7小概率事件与实际推断原理 。某接待站在某一周曾接待过12次来访，均是在周二和周四进行 ·问：是否可以推断接待时间是有规定的？ 解：假设接待事件没有规定，而来访者在一周内任一天去接待站是等 可能的 ·那么12个来访者分布于一周7天共有：仲可能分布 。现在12个人均集中在周二和周四两天，共有：种可能情况 ● 因此在没有规定的情况下，12个来访者均集中在周二和周四两天的概率为 ● 212712=0.0000003,千万分之三，近乎于不可能事件 实际推断原理：根据实践经验，概率很小的事件在一次试验中实际上 几乎是不发生的 现在这种小概率事件竞然发生了，所以假设可能不正确，可以推断接待时 间是有规定的 (如果2天改为4天，4121712=0.0012，则很难说是小概率事件) 11/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例7 小概率事件与实际推断原理 某接待站在某一周曾接待过12次来访，均是在周二和周四进行 问：是否可以推断接待时间是有规定的？ 解：假设接待事件没有规定，而来访者在一周内任一天去接待站是等 可能的 那么12个来访者分布于一周7天共有7 12种可能分布 现在12个人均集中在周二和周四两天，共有2 12种可能情况 因此在没有规定的情况下，12个来访者均集中在周二和周四两天的概率为 2 12/712＝0.0000003,千万分之三，近乎于不可能事件 实际推断原理：根据实践经验，概率很小的事件在一次试验中实际上 几乎是不发生的 现在这种小概率事件竟然发生了，所以假设可能不正确，可以推断接待时 间是有规定的 （如果2天改为4天，4 12/712＝0.0012,则很难说是小概率事件） 11/16