《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第十章 双线性函数

第十章双线性函数 §1线性函数 教学目标掌握线性函数的概念与性质， 教学重点：线性函数的概念与性质。 教学方法：讲授法 教学过程 定义1设V是数域P上的线性空间，∫是V到P的映射，若∫满足 1)fa+B)=fa)+f(B)2)f(ka)=(a) 其中a,B是V中任意元素，k是P中任意数，则称∫为V上的线性函数 性质：设∫是V上线性函数则 1f0)=0.f-a)=-f(a) 2p=2a.则fUB)=立kfa) 例1设a,a,aneP(,x,x)eP则函数 f(x)=f(.,x)=ax+ax++ax (1) 就是P上的一个线性函数是零函.a==an=0时.f(x)=0是零函数.仍用0表示 实际上，P”上任一线性函数∫都可表成(1)的形式.令6，5，为P的标准正交基 (G=0.,0,i0,.,0i=l,2mx=(x,x)ePm,因为X=立x,令fe)=a,则 W0=馆6)-26-2以 例2设A=(a)eP"则A的迹

第十章双线性函数 §1 线性函数 教学目标: 掌握线性函数的概念与性质。 教学重点: 线性函数的概念与性质。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 1 设 V 是数域 P 上的线性空间， f 是 V 到 P 的映射，若 f 满足 1） f f f f k kf ( ) ( ) ( ); 2) ( ) ( )       + = + = 其中  , 是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的线性函数. 性质：设 f 是 V 上线性函数.则 1. (0) 0. ( ) ( ) f f f = − = −   1 1 2. , ( ) ( ). s s i i i i i i     k f k f = = = =   则 例1 设 1 2 1 2 , , , . ( , , , ) . n n n a a a P x x x P   则函数 1 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n n f x f x x a x a x a x = = + + + （1） 就是 P 上的一个线性函数是零函. 1 0 n a a = = = 时. f x( ) 0 = 是零函数.仍用 0 表示. 实际上， n P 上任一线性函数 f 都可表成（1）的形式. 令 1 , , n   为 n P 的标准正交基 ( (0, ,0,1,0, ,0) 1,2, , ). i i  = =i n 1 ( , , ) n n  =  x x x P ，因为 1 n i i i X x  = =  ，令 ( )i i f a  = ，则 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n i i i i i i i i i f X f x f x a x   = = = = = =    例2 设 ( ) . n n A a P ij  =  则 A 的迹

T,(40=a1+a2+.+am 就是P"上的线性函数， 例3设V=Px.1是P中取定的数，则 Lt(p(x))=p(t).Vp(x)EP[x] 是PLx)上的线性函数. 设V是P上n维线性空间，6n为V的一组取定的基.对V上任意线性函数∫，及 aeV,a=立x6都有 f(a)=f()=x() (2) 可见f(a)的值由f6),.,f(sn)唯一确定，反之，任给a,.,a。∈P.令 f(∑x6,)=∑a,x 则f为V上线性函数且f(e)=a,i=l,2,n由此即得 定理1设V是数域P上的n维线性空间.6，.，6n是V的一组基a,a2,.,a,是P中任意n个 数，则存在唯一的V上线性函数∫使 f(e)=a,i=l,2,.,n $2.对偶空间 教学目标掌握对偶空间、对偶基的概念与性质，两组基的对偶基之间的关系 教学重点：对偶空间、对偶基的概念与性质。 教学方法：讲授法

11 22 ( ) T A a a a r nn = + + + 就是 n n P  上的线性函数. 例3 设 V P x t = [ ]. 是 P 中取定的数，则 Lt p x p t p x P x ( ( )) ( ), ( ) [ ] =   是 P x[ ] 上的线性函数. 设 V 是 P 上 n 维线性空间， 1 , , n   为 V 的一组取定的基. 对 V 上任意线性函数 f ，及 1 , n i i i    V x =   =  ，都有 1 1 ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i f f x x f    = = = =   （2） 可见 f a( ) 的值由 1 ( ), , ( ) n f f   唯一确定，反之，任给 1 , , . n a a P  令 1 1 ( ) n n i i i i i i f x a x  = =  = 则 f 为 V 上线性函数.且 ( ) , 1,2, , . i i f a i n  = = 由此即得 定理 1 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间. 1 , , n   是 V 的一组基 1 2 , , , n a a a ，是 P 中任意 n 个 数，则存在唯一的 V 上线性函数 f .使 ( ) , 1,2, , . i i f a i n  = = 作业: P416，习题 2。 预习: 下一节的基本概念. §2.对偶空间 教学目标: 掌握对偶空间、对偶基的概念与性质，两组基的对偶基之间的关系。 教学重点: 对偶空间、对偶基的概念与性质。 教学方法: 讲授法

教学过程 设V是数域P上n维线性空间.用L(W,P)表示V上全体线性函数组成的集合.对 f,gL(W,P),keP.定义f+g,f,如下： (f+g)(a)=f(a)+f(a).(hf)(a)=k(S(a)).VaEV. 则容易验证，∫+g,付∈L(W,P)称∫+g为∫与g的和，付为k与∫的数量乘积不难证明 如上定义的加法和数量乘法满足线性空间定义中条件1)一8)故L(心，P)构成P上的线性空间。 取定V的一组基6，.，6n令. c-6 i,j=1,2.,n (1) 则feL,P)且唯一对Va=∑xG,显然有 (a)=x, 引理对a∈V,有 a=∑fa)8 对eW,P),有 f=∑fe,f 证明 (2)→(3)成立1)与3)→(4)成立 由引理立得 定理2dim(L(W,P》=n,而且，.，fn是L(W,P)的一组基 定义2LW,P)称为V的对偶空间，由(1)决定的基称为6，6n的对偶基 今后用V表示V的对偶空间. 例V=Rxl对n个不同的a,a2,an∈R由拉格朗日插值公式，得到n多项式

教学过程: 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间 . 用 L V P ( , ) 表 示 V 上全体线性函数组成的集合 . 对     f g L V P k P , ( , ), . 定义 f g kf + , ，如下： ( )( ) ( ) ( ), ( )( ) ( ( )), . f g f f kf k f V + = + =         则容易验证， f g kf L V P +  , ( , ) 称 f g + 为 f 与 g 的和， kf 为 k 与 f 的数量乘积.不难证明. 如上定义的加法和数量乘法满足线性空间定义中条件 1）—8）.故 L V P ( , ) 构成 P 上的线性空间. 取定 V 的一组基 1 , , n   令. 1, , ( ) , 1,2, , . 0 . i j i j f i j n i j   = = =    （1） 则 ( , ) i f L V P  且唯一.对 1 n i i i   x =  =  ，显然有 ( ) i i f x  = 引理 对   V ，有 1 ( ) n i i i    f = =  （3） 对  f L V P ( , ) ，有 1 ( ) n i i i f f f  = =  （4） 证明 （2）  （3）成立.1）与 3）  （4）成立 由引理立得 定理 2 dim( ( , )) , L V P n = 而且 1 2 , , , n f f f 是 L V P ( , ) 的一组基. 定义 2 L V P ( , ) 称为 V 的对偶空间，由（1）决定的基.称为 1 , , n   的对偶基. 今后用 V  表示 V 的对偶空间. 例 [ ] V R x = n 对 n 个不同的 1 2 , , , . n a a a R  由拉格朗日插值公式，得到 n 多项式

B==a-a-a=a1=l2.n (a-a）.(a-a-a,-a）.(a-an) 它n是Re)-卡仁周g以R是数无关台因秀人宫交a闭-0特 k=1 C=0,i=1,2,.n又因为dimV=m,所以p,(x),.,p(x)是V的一组基令L∈Vi=l,2,.,m) 满足 L,(px》=pa,px)∈'，i=l2,.,n. 则有 5-pa-6 因此L,L2,.,Ln是2(x),P,(x.,P(x)的对偶基 设6，.，5。与乃，.，是V的两组基，它们的对偶基分别为f,与g,gn再设 (,.,nn)=(8,en)A(g.,gn）=(f.fn)B. 其中A=(a,)m,B=(亿，)m由假设 7,=a5+a5+.+an5n,i=l2,.,n 8,=6f+65+.+bwf,i=l,2,n 因此 a-含a5*5加A+8a-6/ 由矩阵乘法定义，即得BA=E,也就是B=厂或B=(厂y,故有 定理3设6，.，6n及几，.，几n是V的两组基它们的对偶基分别为人，.，厂。与g,.,8a,若由 6,.,6n到。.，的过渡矩阵为A,则由厂，.厂到g,.,gn的过渡矩阵为('了 设是V的对偶空间，取定x=V,定义x“如下： x“f)=f(x).feV' 易知x“∈(W)=

1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1,2, , ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x a x a x a x a P x i n a a a a a a a a − + − + − − − − = = − − − − 它们满足 1, , ( ) 0 . i j i j p i j   = =    .因而 1 ( ), , ( ) n p x p x 是线性无关的.因为将 i a 代入 1 ( ) 0 n k k k c p x =  = 即得 0, 1,2, . i c i n = = 又因为 dim , V n = 所以 1 ( ), , ( ) n p x p x 是 V 的一组基.令 ( 1,2, , ) L V i n i   = 满足 ( ( )) ( ), ( ) , 1,2, , . L p x p a p x V i n i i =  = 则有 1, , ( ( ) ( ) 0 . i j j i i j L p x p a i j  = = =    因此 1 2 , , , L L L n 是 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x 的对偶基. 设 1 , , n   与 1 , ,  n 是 V 的两组基，它们的对偶基分别为 1 , , n f f 与 1 , , n g g .再设 1 1 ( , , ) ( , , ) ,     n n = A 1 1 ( , , ) ( , , ) . n n g g f f B = 其中 ( ) , ( ) . A a B b = = ij nn ij nn 由假设 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1,2, , . , 1,2, , i i i ni n j j j nj n a a a i n g b f b f b f i n     = + + + = = + + + = 因此 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1, , ( ) ( ) 0 . n j i kj k i i ni n j i j i nj ni k i j g b f a a a b a b a b a i j     =  = = + + + = + + + =     由矩阵乘法定义，即得 B A E  = ，也就是 1 1 B A − − = 或 1 B A( ) , − =  故有 定理 3 设 1 , , n   及 1 , ,  n 是 V 的两组基.它们的对偶基分别为 1 , , n f f 与 1 , , n g g ，若由 1 , , n   到 1 , ,  n 的过渡矩阵为 A ，则由 1 , , n f f 到 1 , , n g g 的过渡矩阵为 1 ( ) A −  . 设 V  是 V 的对偶空间，取定 x V= , 定义 x  如下： x f f x f V ( ) ( ). .   =   易知 x V V ( ) .      =

定理4设V“是V的对偶空间，则V到V“的映射：x→x“是一个同构映射 证明对x,x2e'fe有 (3+x)")=f(x+x2)=f(x)+f(32)=x"()+x)=(x”+x”() ()"f)=f)=f(x)=a"(f)=("f) 故有(3+x)”=x”+”,()”=”,因而这个映射保持加法和数量乘法若(x)=(),即 ”=”,则∈V有f(x)=f(x),由(3)式得x=x因此o为单射.又因为V与V"的维数相 同，所以σ为同构映射 作业：P417,习题6。 预习：下一节的基本概念 $3双线性函数 教学目标掌握双线性函数、度量矩阵的概念与性质，非退化双线性函数的概念 教学重点：双线性函数、度量矩阵的概念与性质， 教学方法：讲授法 教学过程 定义3设f(a,B)是数域P上线性空间V上的二元函数若它满足 1)f(akB+kB)=kfa,月)+kf(a,B方 2)f(ka+ka.B)=kf(a.B)+kf(az.B) 其中a,a,a2,B,B,是V中任意向量，k,k是P中任意数，则称∫为V上的一个双线性函数 例1欧氏空间V的内积f(a,B)=(a,B)是一个双线性函数. 例2设(a,f5(a)均为V上线性函数，则 fa,)=f(a)5(B)a,B∈V

定理 4 设 V  是 V  的对偶空间，则 V 到 V  的映射  : x x →  是一个同构映射. 证明 对 1 2 x x V f V , ,     有 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x x f x f x x f x f x x f      + = + = + = + = + 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) kx f f kx kf x kx f kx f    = = = = 故有 1 2 1 2 1 1 ( ) ,( ) , x x x x kx kx      + = + = 因而这个映射保持加法和数量乘法.若 1 2   ( ) ( ) x x = ，即 1 2 x x ,   = 则 f V   有 1 2 f x f x ( ) ( ), = 由（3）式得 1 2 x x = .因此  为单射.又因为 V 与 V  的维数相 同，所以  为同构映射. 作业: P417，习题 6。 预习: 下一节的基本概念. §3 双线性函数 教学目标: 掌握双线性函数、度量矩阵的概念与性质，非退化双线性函数的概念。 教学重点: 双线性函数、度量矩阵的概念与性质。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 3 设 f ( , )   是数域 P 上线性空间 V 上的二元函数.若它满足： 1） 1 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( ) ( , ) ( , );        + = + 2） 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( , ) ( , ) ( , ),        + = + 其中 1 2 1 2       , , , , ,  是 V 中任意向量， 1 2 k k, 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个双线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积 f ( , ) ( , )     = 是一个双线性函数. 例2 设 1 2 f f ( ), ( )   均为 V 上线性函数，则 1 2 f f f V ( , ) ( ) ( ) ,       = 

是V上的一个双线性函数 例3设A∈P,X,Y∈P",则 f(X,Y)=XAY 是P"上的一个双线性函数 设X=(x,x,Y=5,.,y,A=(a)m,则(1)即 r.n- 若设6，.，6n为V的基f(a,B)为V上任一双线性函数，令 a=(6,.,6n)X,B=(6,6n)Y 则 fa)=fxys,)=∑f6s,y (3) 令a,=fe,)i,j=1,2,nA=(a,)m,则(3)就成为(1)或(2).因此，(1)或(2)就 是n维线性空间'上双线性函数的一般形式. 定义4设f(@,B)是V上的一个双线性函数.，.，6n是V的基则矩阵 A=(f(G,E,)》=(ag) 4) 称为f(a,B)在6，6，下的度量矩阵 显然，取定V的基，.，6。后每个双线性函数对应一个由(4)式给出的n级矩阵，且厂≠方时 对应的A≠A.反之，任给A∈P,由例3说明知有一个V上双线性函数以A为度量矩阵因此在给 定V的基后.'上全体双线性函数与P上全体n阶方阵之间有一个双射 设G,.,6n与，.，是V的两组基，(，.，n)=(6,6,)C,a,B∈V, a=(6,.,6)X=(,.,n)X,B=(6,.,8n)Y=(,nn)X 则显然有X=CX,Y=CY若f(a,B)在无，.6与，.，下的度量矩阵分别为A,B,则有 f(a,B)=XAY =(CX)'A(CY)=X(C'AC)Y.f(a,B)=X'BY. 由此可得B=CAC.即同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的

是 V 上的一个双线性函数. 例3 设 , , n n n A P X Y P    ，则 f X Y X AY ( , ) =  （1） 是 n P 上的一个双线性函数. 设 1 1 ( , , ) , ( , , ) , ( ) , X x x Y y y A a n n ij n n = = =   则（1）即 1 1 ( , ) n n ij i j i j f X Y a x y = = = （2） 若设 1 , , n   为 V 的基. f ( , )   为 V 上任一双线性函数，令 1 1 ( , , ) , ( , , ) ,       = = n n X Y 则 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n i i j j i j i j i j i j f f x y f x y       = = = = = =    （3） 令 ( , ) , 1,2, , ( ) ij i j ij n n a f i j n A a   = = =  ，则（3）就成为（1）或（2）.因此，（1）或（2）就 是 n 维线性空间 V 上双线性函数的一般形式. 定义 4 设 f ( , )   是 V 上的一个双线性函数. 1 , , n   是 V 的基.则矩阵 ( ( , )) ( ) A f a i j ij = =   （4） 称为 f ( , )   在 1 , , n   下的度量矩阵. 显然，取定 V 的基 1 , , n   后.每个双线性函数对应一个由（4）式给出的 n 级矩阵，且 1 2 f f  时 对应的 A A 1 2  .反之，任给 . n n A P   由例 3 说明知有一个 V 上双线性函数以 A 为度量矩阵.因此在给 定 V 的基后.V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 阶方阵之间有一个双射. 设 1 , , n   与 1 , ,  n 是 V 的两组基， 1 1 ( , , ) ( , , ) , , ,       n n =   C V 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) , ( , , ) ( , , )           = = = = n n n n X X Y Y 则显然有 1 1 X CX Y CY = = , .若 f ( , )   在 1 , , n   与 1 , ,  n 下的度量矩阵分别为 A B, ，则有 1 1 1 1 1 1 f X AY CX A CY X C AC Y f X BY ( , ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) ,     = = = =      由此可得 B C AC =  . 即同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的

定义5设f(a,B)是V上一个双线性函数，如果从 f(a,B)=0,VB∈V 可推出=0，则称∫为非退化的. 可以用度量矩阵来判定一个双线性函数是不是非退化的设双线性函数f(,B)在基6，6。下 的度量矩阵为A,a=(G,.,5n)X,B=(6,.6)Y，则f(a,B)=XAY.若对BeP有 f(a,B)=0,则对VY有XAY=0,因此XA=0由此式可推出a=0,即X=0的充要条件是A可 逆，故f(α，B)非退化的充要条件是其度量矩阵A为可逆矩阵（又称非退化矩阵） 作业：P418,习题11。 预习：下一节的基本概念 §4对称双线性函数 教学目标掌握对称双线性函数的概念与性质，双线性函数对应的二次齐次函数的概念，了解反 对称双线性函数的概念与性质。 教学重点：对称双线性函数的概念与性质，双线性函数对应的二次齐次函数的概念。 教学方法：讲授法 教学过程 定义6设f(a,B)为'上双线性函数若对a,B∈V都有f(a,B)=f(B,a),则称f(a,B) 为对称双线性函数若对a,B∈V有 f(a,β)=-f(B,a), 则称f(a,B)为反对称双线性函数 由定义4、定义6易知，双线性函数f(,B)是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是 对称的：f(α，B)是反对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称的

定义 5 设 f ( , )   是 V 上一个双线性函数，如果从 f V ( , ) 0,    =   可推出  = 0 ，则称 f 为非退化的. 可以用度量矩阵来判定一个双线性函数是不是非退化的.设双线性函数 f ( , )   在基 1 , , n   下 的度量矩阵为 1 1 , ( , , ) , ( , , ) A X Y       = = n n ， 则 f X AY ( , )   =  . 若 对   V 有 f ( , ) 0   = ，则对 Y 有 X AY = 0 ，因此 XA = 0 由此式可推出  = 0, 即 X = 0 的充要条件是 A 可 逆，故 f ( , )   非退化的充要条件是其度量矩阵 A 为可逆矩阵（又称非退化矩阵） 作业: P418，习题 11。 预习: 下一节的基本概念. §4 对称双线性函数 教学目标: 掌握对称双线性函数的概念与性质，双线性函数对应的二次齐次函数的概念，了解反 对称双线性函数的概念与性质。 教学重点: 对称双线性函数的概念与性质，双线性函数对应的二次齐次函数的概念。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 6 设 f ( , )   为 V 上双线性函数.若对    , V 都有 f f ( , ) ( , ),     = 则称 f ( , )   为对称双线性函数.若对    , V 有 f f ( , ) ( , ),     = − 则称 f ( , )   为反对称双线性函数. 由定义 4、定义 6 易知，双线性函数 f ( , )   是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是 对称的； f ( , )   是反对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称的

根据对称矩阵在全同变换下的标准形理论，我们有 定理5设∫（α，B)是n维线性空间V上对称双线性函数，同则存在V的一组基6，.，6，使 f(4,B)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 推论1设f(a,B)是复n维线性空间V上的对称双线性函数.则存在V的基，5，对 a=∑x5,B=∑y5,有fa,B)=xy++xy,0≤r≤m. 推论2设f(α，B)是实n维线性空间V上对称双线性函数，则存在V的基6，en,对 a=B=g,有fa,)=++,。-m-,0≤psr≤n 定义7设f(a,B)为V上双线性函数，则f(a,a)称为与f(aB)对应的二次齐次函数 给定V的一级基，.，6n设f(a,B)的度量矩阵为A=(a,)mn对a=∑x6,eV有 f(a.a)->>axyr (1) 上式中xx,的系数为a,+an故若f(a,B)与g(a,B)的度量矩阵A=(a,)m与B=(,)n满足 ay+an=by+bu i.j=1.2.n 则f(a,a)=g(a,B).但若fa,B)为对称双线性函数，则它对应的二次齐次函数f(a,a)只能有- 个此时f(a,a)就是我们已学习过的二次型，此二次型的矩阵就是f(α，B)的度量矩阵 现在我们来讨论反对称双线性函数. 定理6设∫（αB)为n维线性空间V上的反对称双线性函数，则存在V的一组基 51.6,5,1,7,使 [f8,6)=1i=1,2,.,r f(6,6,)=0i+j≠0 2) f(a,n)=0aeV,K=l.,S. 证明若f(a,B)=0,则V的任一组基都可取为，.，八，而满足要求，若不然，则必有6，B使 f(6,B)≠0，因为f(6,B)=元f(6,),故可取适当的2，令61=邓，使f(6,6)=1.将6,6

根据对称矩阵在全同变换下的标准形理论，我们有 定理 5 设 f ( , )   是 n 维线性空间 V 上对称双线性函数，同则存在 V 的一组基 1 , , n   ，使 f ( , )   在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 推论 1 设 f ( , )   是复 n 维线性空间 V 上的对称双线性函数.则存在 V 的基 1 , , n   ，对 1 1 , , n n i i i i i i     x y = =  = =   有 1 1 ( , ) , 0 . r r f x y x y r n   = + +   推论 2 设 f ( , )   是实 n 维线性空间 V 上对称双线性函数，则存在 V 的基 1 , , n   ，对 1 1 , , n n i i i i i i     x y = =  = =   有 1 1 1 1 ( , ) , 0 . p p p p r r f x y x y x y x y p r n   = + + − − −    + + 定义 7 设 f ( , )   为 V 上双线性函数，则 f ( , )   称为与 f ( , )   对应的二次齐次函数. 给定 V 的一级基 1 , , n   设 f ( , )   的度量矩阵为 ( ) A a = ij n n 对 1 n i i i   x V = =   有 1 1 ( , ) . n n ij i j i j f a x y   = = = （1） 上式中 i j xx 的系数为 ij ji a a + .故若 f ( , )   与 g( , )   的度量矩阵 ( ) A a = ij n n 与 ( ) B b = ij n n 满足 , 1,2, , , ij ji ij ji a a b b i j n + = + = 则 f g ( , ) ( , ).     = 但若 f ( , )   为对称双线性函数，则它对应的二次齐次函数 f ( , )   只能有一 个.此时 f ( , )   就是我们已学习过的二次型，此二次型的矩阵就是 f ( , )   的度量矩阵. 现在我们来讨论反对称双线性函数. 定理 6 设 f ( , )   为 n 维线性 空间 V 上的反 对称 双线 性函 数，则 存在 V 的一 组基 1 1 1 , , , , , , , r r s       − − 使 ( , ) 1 1,2, , ; ( , ) 0 0; ( , ) 0 , 1, , . i i i j k f i r f i j f V K S        −  = =   = +    =  = （2） 证明 若 f ( , ) 0,    则 V 的任一组基都可取为 1 , ,  s 而满足要求，若不然，则必有 1  , 使 1 f ( , ) 0,    因为 1 1 f f ( , ) ( , )      = ，故可取适当的  ，令 1  , − = 使 1 1 f ( , ) 1.   − = 将 1 1  , −

扩充成V的一组基6,61，B,.,阝%，再令B=B,-f(B,61)E+f(B,6)E1,i=3,4,.,n则 f(f,6)=f(p,61)=0i=3,4,.,n 显然6,61，B,B4,.,Bn仍是V的基.于是V=L(G,E1)田L(B,.,Bn),并且f(,)看作 L(B,.,B)上的双线性函数仍是反对称的，因此应用归纳法有L(B,.,B)的基 82,62,.,6,6,几1，.，7，满足(2).由于f(6,月)=f(81,阝)=0i=3,4,.,n,因此，对 C∈L(B,.,Pn)都有f(G,)=f(81,)=0.故6,61，.，6，8r,几，.，几，也满足(2) 从定理5可知，V上的对称双线性函数f(α，B)如果是非退化的，则有的一组基6，·，n满足 f(6,)≠0i=1,2,.,m; f(8,6)=0j=i 此基称为V的对于f(a,B)使的正交基 从定理6可知，V上的反对称双线性函数f(α，B)如果是非退化的，则有V的一组基 61,E1,.,6,8,使 f(e,6)=1.i=1,2,.,r f(e,6j)=0,i+j≠0. (由非退化的条件，定理6中的门，.，门，不会出现，故此时V的维数为偶数). 定义8设V是数域上的线性空间，在V上定义了一个非退化的双线性函数，则称V为一个双线 性度量空间.特别地，当V为n维线性空间，f(,B)为V上非退化对称双线性函数时，V称为一个 伪欧氏空间 作业：P419,习题15。 预习：本章的基本概念与主要定理

扩充成 V 的一组基 1 1 3 , , , , , n     −   再令 1 1 1 1 ( , ) ( , ) , 3,4, , , i i i i         f f i n − −  = − + =   则 1 ( , ) ( , ) 0 3,4, , . i i i f f i n     = = = − 显 然 1 1 3 4 , , , , , n      − 仍 是 V 的 基 . 于 是 1 1 3 ( , ) ( , , ), V L L n =      − 并 且 f ( , )   看 作 3 ( , , ) L  n 上 的 双 线 性 函 数 仍 是 反 对 称 的 ， 因 此 应 用 归 纳 法 有 3 ( , , ) L  n 的 基 2 2 1 , , , , , , , r r s       − − 满足（ 2 ） . 由 于 1 1 ( , ) ( , ) 0 3,4, , , i i f f i n     = = = − 因此，对 3 ( , , )     L n 都有 1 1 f f ( , ) ( , ) 0     = = − .故 1 1 1 , , , , , , , r r s       − − 也满足（2） 从定理 5 可知， V 上的对称双线性函数 f ( , )   如果是非退化的，则有的一组基 1 , , n   满足 ( , ) 0 1,2, , ; ( , ) 0 . i i i j f i n f j i       =   = =  此基称为 V 的对于 f ( , )   使的正交基. 从定理 6 可知， V 上的反对称双线性函数 f ( , )   如果是非退化的，则有 V 的一组基 1 1 , , , , r r     − − 使 ( , ) 1. 1, 2, , ; ( , ) 0, 0. i i i j f i r f i j      − = =   = +   （由非退化的条件，定理 6 中的 1 , ,  s 不会出现，故此时 V 的维数为偶数）. 定义 8 设 V 是数域上的线性空间，在 V 上定义了一个非退化的双线性函数，则称 V 为一个双线 性度量空间.特别地，当 V 为 n 维线性空间， f ( , )   为 V 上非退化对称双线性函数时， V 称为一个 伪欧氏空间. 作业: P419，习题 15。 预习: 本章的基本概念与主要定理