第一章概率论的基本概念 §1.1随机试验 9§1.2样本空间、随机事件 9§1.3频率与概率 §1.4等可能概型（古典概型) 9§1.5条件概率 9§1.6独立性 2/21
第一章 概率论的基本概念 §1.1 随机试验 §1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率 §1.4 等可能概型（古典概型） §1.5 条件概率 §1.6 独立性 2/21
§1.5条件概率 ⊙（二）乘法定理（条件概率的推论） 乘法定理：设PA)>0,则有PAB)=PA)P(B4) P推广到三个事件的情况：设有A,B,C三个事件，且P(AB)>0,于是： P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) ●注意：如果P(AB)>0,则必有P(A)>0及P(B)>0 。推广到更多个的情况 0 设A,A2,.,An为n个事件，n22,且P4A2A.-i)P0,则有 P(A42.A)=P(AA2.AP(A42.A).P(A2AP(A1) ⊙乘法定理解决积事件的概率问题，可借助排列组合中的乘法定理来理 解概率中的乘法定理 。乘法定理主要解决那些一项任务分多个步骤的情况，把每个步骤的概 率相乘就得到完成该事件的概率 3/21
§1.5 条件概率 (二) 乘法定理 （条件概率的推论） 乘法定理：设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B|A) 推广到三个事件的情况：设有A,B,C三个事件，且P(AB)>0，于是： P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 注意：如果P(AB)>0，则必有P(A)>0及P(B)>0 推广到更多个的情况 设A1 , A2 , . , An为n个事件，n2，且P(A1A2.An－1 )>0，则有 P(A1A2.An )＝P(An |A1A2.An-1 )P(An-1 |A1A2.An-2 ).P(A2 |A1 )P(A1 ) 乘法定理解决积事件的概率问题，可借助排列组合中的乘法定理来理 解概率中的乘法定理 乘法定理主要解决那些一项任务分多个步骤的情况，把每个步骤的概 率相乘就得到完成该事件的概率 3/21
§1.5条件概率 例3：袋中装有只红球、只白球，每次从袋中任取一只观察颜色后放 回，再放入只与所取球同色的球。若连续取球四次，求第一、二次 取到红球且第三、四次取到白球的概率 °解：设A1,A2,A3)A4分别为每次取到红球的事件 。取球时：有次序，放回抽样，有添加 则要求的概率是一个积事件的概率P(AA2AA4) 。而依据取球的顺序及有添加的情况，按乘法公式从A开始展开 ●P(AA2AA4)=PA1)PA2A)P(AIA,A,P(A4|AA2A） 。=”xr+ax t t+a r+t r+t+a r+t+2a r+t+3a 。显然，按以上展开顺序，每一个条件概率均可容易求出 4/21
§1.5 条件概率 例3：袋中装有r只红球、t只白球，每次从袋中任取一只观察颜色后放 回，再放入a只与所取球同色的球。若连续取球四次，求第一、二次 取到红球且第三、四次取到白球的概率 解：设A1 , A2 , A3 , A4分别为每次取到红球的事件 取球时：有次序，放回抽样，有添加 则要求的概率是一个积事件的概率P( ) 而依据取球的顺序及有添加的情况，按乘法公式从A1开始展开 P( )＝P(A1 )P(A2 |A1 )P( )P( ) ＝ 显然，按以上展开顺序，每一个条件概率均可容易求出 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 3 1 2 A | A A 4 1 2 3 A | A A A r t a t a r t a t r t a r a r t r 2 3 4/21
§1.5条件概率 例4：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为12，若 第一次落下未打破而第二次落下打破的概率为710，若前两次落下未打 破而第三次落下打破的概率为/10，试求透镜三次落下而未打破的概率 。解：首先分析一下所求的问题 。设事件A:第一次落下打破； 事件B：第二次落下打破； 事件C:第三次落下打破。 。则所求的概率为P(ABC) ●题设条件为P(A)=1/2,P(B|A)=7/10,P(C|AB)=9/10 用乘法定理P(ABC)=P(A)P(B|A)P(CIAB) ● =(1-P(A)1-P(B|A1-P(C|AB) ● =3/200 也可以先求D=AUABUABC由于这三次打破是两两互不相容的 事件，因此根据有限可加性P(D)=P(A)+P(AB)+P(ABC)进而 由乘法定理展开可得结果 5/21
例4：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若 第一次落下未打破而第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打 破而第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜三次落下而未打破的概率 解：首先分析一下所求的问题 设 事件A：第一次落下打破； 事件B：第二次落下打破； 事件C：第三次落下打破。 则所求的概率为P( ) 题设条件为P(A)＝1/2，P( )＝7/10，P( )＝9/10 用乘法定理 =3/200 也可以先求 由于这三次打破是两两互不相容的 事件，因此根据有限可加性 进而 由乘法定理展开可得结果 §1.5 条件概率 ABC B | A C | AB P(ABC) P(A)P(B | A)P(C | AB) (1 P(A)(1 P(B| A)(1 P(C | AB)) D A AB ABC P(D) P(A) P(AB) P(ABC) 5/21
§1.5条件概率 (三)全概率公式和贝叶斯公式 ()全概率公式： 对应排列组合中的加法，完成一项任务有多种可能的并行情况，这些情况的数目的 和就是完成该任务的所有可能情况 。对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题 首先看一下关于划分的概念 P定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,.,B为E的一组事件。若 (0BBΦ，为i,i,j=1,2, (ii)BUB2 U.UB=S 则称B1,B2,.,B为S的一个划分。 ※每次试脸，事件B1,B2,B.中有且仅有一个发生 S 例：S={1,2,3,4,5,6}则划分正确的是 BI 。B1={1,2,3}B2={4,5}B3={6} ●B1={1,2,3}B2=3,4}B3={5,6} B2
§1.5 条件概率 (三) 全概率公式和贝叶斯公式 (1) 全概率公式： 对应排列组合中的加法，完成一项任务有多种可能的并行情况，这些情况的数目的 和就是完成该任务的所有可能情况 对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题 首先看一下关于划分的概念 定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，.，Bn为E的一组事件。若 (i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，.，n； (ii) B1∪B2∪.∪Bn=S 则称B1，B2，.，Bn为S的一个划分。 ※每次试验，事件B1，B2，.，Bn中有且仅有一个发生 例：S={1，2，3，4，5，6}则划分正确的是 B1＝{1，2，3} B2＝{4，5} B3＝{6} √ B1＝{1，2，3} B2＝{3，4} B3＝{5，6} B1 B2 Bn S . 6/21
§1.5条件概率 全概率公式：设E的样本空间为S,A为E的事件，B1,B2,B。 为S的一个划分，且P(B)>0(i=1,2,n),则 ·P4④=PAB1)P(B1)++PABn)P(Bn)=∑P(AB,)P(B) 证：PA)=PAS)=P(A(B1UB2U.UB) 。由分配率 =P(AB UAB2 U.UAB) oi 而对任意的，i,j=1,2,n,有(ABAB,FABB=Φ 。由有限可加性=PAB1)+PAB2)H.+PAB) 。又P(B)>0,由乘法定理上式展开得 ● =P(A B)P(B)+P(A B2)P(B2)+.+P(A B)P(B) S ·在全概率公式中要注意一下几点： B 。1)条件P(B)>0,划分不能是空集 ·2)B1,B2,.,B正好覆盖S中的所有元素 。3)在应用上，那些不便直接求某一事件的概 B 率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算 7/21
§1.5 条件概率 全概率公式：设E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，.，Bn 为S的一个划分，且P(Bi )>0（i＝1，2，.，n），则 P(A)＝P(A|B1 )P(B1 )+.+ P(A|Bn )P(Bn )= 证：P(A)＝P(AS)= P(A(B1∪B2∪.∪Bn )) 由分配率 ＝P(AB1∪AB2∪.∪ABn ) 而对任意的i≠j，i，j＝1，2，.，n，有(ABi )(ABj )= ABiBj=Φ 由有限可加性 ＝P(AB1 )+P(AB2 )+ .+ P(ABn ) 又P(Bi )>0，由乘法定理上式展开得 ＝P(A|B1 ) P(B1 )+P(A|B2 ) P(B2 )+ .+ P(A|Bn ) P(Bn ) 在全概率公式中要注意一下几点： 1）条件P(Bi )>0，划分不能是空集 2） B1，B2，.，Bn正好覆盖S中的所有元素 3）在应用上，那些不便直接求某一事件的概 率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算 ( | ) ( ) i 1 P A Bi P B n i B2 S A B1 Bn 7/21
§1.5条件概率 p2.贝叶斯(Bayes)公式（计算后验概率问题） ● 事件A的发生，if构成S划分的事件B1,B2,B中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道B的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，B发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式 贝叶斯(Bayes)公式 ● 设E的样本空间为S,A为E的事件，B1,B2,B为S的一个划分，且 P4)>0,P(B,)>0(i=1,2,n),则 P(BA)= PAB)PB),=1,2,n >P(A B)P(B) i=l 证：由条件概率公式P(B4)=P(BA)/P(A),再用乘法定理和全概率公 式对分子分母展开即得所求。 P(B)是以往的数据分析得到的，称为先验概率 ⊙P(B4)是得到信息之后再重新加以修正的概率，叫做后验概率 8/21
§1.5 条件概率 2．贝叶斯(Bayes)公式 (计算后验概率问题) 事件A的发生，iff构成S划分的事件B1，B2，.，Bn中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道Bi的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，Bi发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式 贝叶斯(Bayes)公式 设E的样本空间为S，A为E的事件， B1，B2，.，Bn为S的一个划分，且 P(A)>0，P(Bi )>0（i＝1，2，.，n），则 P(Bi |A)= ，i＝1，2，.，n 证：由条件概率公式P(Bi |A)＝P(BiA)/P(A)，再用乘法定理和全概率公 式对分子分母展开即得所求。 P(Bi )是以往的数据分析得到的，称为先验概率 P(Bi |A)是得到信息之后再重新加以修正的概率，叫做后验概率 n i i i i i P A B P B P A B P B 1 ( | ) ( ) ( | ) ( ) 8/21
§1.5条件概率 9例6：对以往数据分析结果表明： ·当机器调整良好时，产品合格率为98% 。当机器发生某一故障时，产品合格率为55% ·每天早上机器开动时，调整良好的概率为95% 试求：已知某日早上第一件产品是合格产品时，机器调整得良好的概率？ p解：设事件A:产品合格 事件B:机器调整良好；B:机器出现故障 由题意：P(B)=95%,P(B=5% ● P(AB)=98%,PAB)=55% P(B)P(A B) P(BA)=P(B)P(AI B)+P(B)P(AIE) 0.97 注意：P(B)=95%是以往的数据分析得到的，称为先验概率 P(B4)=0.97是得到信息（第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的 概率，叫做后验概率。通过后验概率可以进一步了解机器的情况 9/21
§1.5 条件概率 例6：对以往数据分析结果表明： 当机器调整良好时， 产品合格率为98％ 当机器发生某一故障时，产品合格率为55％ 每天早上机器开动时，调整良好的概率为95％ 试求：已知某日早上第一件产品是合格产品时，机器调整得良好的概率？ 解：设事件A：产品合格 事件B：机器调整良好； ：机器出现故障 由题意：P(B)＝95％，P( )＝5％ P(A|B)=98％，P(A| )=55％ P(B|A)= =0.97 注意：P(B)＝95％是以往的数据分析得到的，称为先验概率 P(B|A)=0.97是得到信息（第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的 概率，叫做后验概率。通过后验概率可以进一步了解机器的情况 B B B ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P B P A B P B P A B P B P A B 9/21
§1.5条件概率 例：习题38 ●袋中装有m只正品硬币，只次品硬币，次品硬币系指两面均印有 国徽。 。在袋中任取一只，将它投掷次，已知每次都得到国徽，问这只硬 币是正品的概率是多少？ 。解：由题述这是典型的采用贝叶斯公式的题目 。设：事件A:取到的是正品；事件A：取到的是次品 B为次投掷得到国徽；求P(AB) P(A)P(BA) .P(AIB)-P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 。P(A0=m,PA=R,PB团=L,PBA0=2y m+n m+n 。带入得PAB)= m+n2' 10/21
§1.5 条件概率 例：习题38 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，次品硬币系指两面均印有 国徽。 在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这只硬 币是正品的概率是多少？ 解：由题述这是典型的采用贝叶斯公式的题目 设：事件A：取到的是正品；事件 ：取到的是次品 B为r次投掷得到国徽；求P(A|B) P(A|B)= ，P(B| )＝1，P(B|A)＝(1/2)r 带入得P(A|B)＝ ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A A m n n P A m n m P A ( ) , ( ) A r m n m 2 10/21
§1.6独立性 在条件概率P(B4)中，一般情况下，事件A的发生对事件B的发生是有 影响的，即在很多情况下P(B4)≠P(B),在有些情况下，这种影响是不 存在的 ●即P(BA)=P(B) ●这时P(AB)=P(BA)P(A)=P(B)P(A) ·这样的情况用独立性这一概念来描述 9定义设A,B是两事件，如果具有等式 事实上，由对称性知， 两次抛币是互不干涉的， P(AB)=P(B)P(A) 因此甲是否正面和乙是 ● 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立 否正面互不影响 例1：设试验E为“抛甲乙两枚硬币，观察正反面出现的情况” ● 设事件A:甲币出现正面；事件B:乙币出现正面。看一下独立性。 9分析： S=HH,HT,TH,TT);A=HH,HT B=HH,TH ●'.P(A)=1/2P(B)=1/2P(AB)=1/4P(B4=1/2 ● .P(B)=P(BA)P(AB)=P(B)P(A) 11/21
§1.6 独立性 在条件概率P(B|A)中，一般情况下，事件A的发生对事件B的发生是有 影响的，即在很多情况下P(B|A)≠P(B)，在有些情况下，这种影响是不 存在的 即 P(B|A)＝P(B) 这时P(AB)= P(B|A)P(A)＝P(B)P(A) 这样的情况用独立性这一概念来描述 定义 设A，B是两事件，如果具有等式 P(AB)=P(B)P(A) 则称事件A，B相互独立，简称A，B独立 例1： 设试验E为“抛甲乙两枚硬币，观察正反面出现的情况” 设事件A：甲币出现正面； 事件B：乙币出现正面。看一下独立性。 分析： S={HH，HT，TH，TT}； A={HH，HT } B={ HH，TH } ∴P(A)＝1/2 P(B)=1/2 P(AB)=1/4 P(B|A)=1/2 ∴P(B)=P(B|A) P(AB)=P(B)P(A) 事实上，由对称性知， 两次抛币是互不干涉的， 因此甲是否正面和乙是 否正面互不影响 11/21