第三章矩阵的初等变换与线性方程组 使学生掌握矩阵的初等变换的概念、行阶梯形和行最简形的概念、矩阵的标准形的概 目的 学生热利用矩阵行的钉等换求逆矩阵的方法。分块矩阵及对角矩胖的迎 方法 求矩阵的秩的依据和方法，矩阵的初等变换 矩阵行的初等变换求逆矩阵的方法，分块矩阵及对角矩阵的求逆方法 初等变换不改变矩阵的秩的结论的证明 利用初等行变换求逆矩阵的方法的应用 教学过程 (一)回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 (二)引入新课。 第一节：矩阵的初等变换 引例：求解 + 21 +4=4 4 (1)给出线性方程组的三种同解变换，得出方程 6+2 3x1+6x2-9x3+7x4=9 组的同解变换实际上只是方程组的系数和常数项进行运算的事实，即相当于对方程组(1)的 增广矩阵B进行变换，将方程组的变换移植到矩阵上，有： 矩阵的初等变换 定义（矩阵的初等行变换和表示法） 见书本45页 同样可以定义初等列变换，给出其表示法。 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。 说明：三种初等变换都可逆，且其逆是同一类型的初等变换。 介绍标准形、行阶梯形及行最简形。 第二节： 初等矩阵 定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵。 与初等变换相对应，初等矩阵也有三种，并且它们的逆仍是同类型的初等矩阵。 由矩阵的乘法运算法则可知：用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等 行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。 可逆矩阵的性质 定理 有限个初等矩阵的乘积必定是可逆的 定理可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然可逆。 定理可逆矩阵一定可以经过有限次初等行变换化成单位阵。 定理方阵A为可逆矩阵的充要条件是A可以表示成有限个初等矩阵之积。 用初等变换求逆矩阵
8 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 教 学 目 的 使学生掌握矩阵的初等变换的概念、行阶梯形和行最简形的概念、矩阵的标准形的概 念。 使学生熟练掌握利用矩阵行的初等变换求逆矩阵的方法，分块矩阵及对角矩阵的求逆 方法 教 学 重 点 求矩阵的秩的依据和方法，矩阵的初等变换 矩阵行的初等变换求逆矩阵的方法，分块矩阵及对角矩阵的求逆方法 教 学 难 点 初等变换不改变矩阵的秩的结论的证明 利用初等行变换求逆矩阵的方法的应用 教 学 过 程 （一） 回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 （二） 引入新课。 第一节：矩阵的初等变换 引例：求解 + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 2 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x （1） 给出线性方程组的三种同解变换，得出方程 组的同解变换实际上只是方程组的系数和常数项进行运算的事实，即相当于对方程组（1）的 增广矩阵B进行变换，将方程组的变换移植到矩阵上，有： 矩阵的初等变换 定义（矩阵的初等行变换和表示法） 见书本 45 页 同样可以定义初等列变换，给出其表示法。 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。 说明：三种初等变换都可逆，且其逆是同一类型的初等变换。 介绍标准形、行阶梯形及行最简形。 第二节：初等矩阵 定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵。 与初等变换相对应，初等矩阵也有三种，并且它们的逆仍是同类型的初等矩阵。 由矩阵的乘法运算法则可知：用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等 行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。 可逆矩阵的性质 定理 有限个初等矩阵的乘积必定是可逆的。 定理 可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然可逆。 定理 可逆矩阵一定可以经过有限次初等行变换化成单位阵。 定理 方阵 A 为可逆矩阵的充要条件是 A 可以表示成有限个初等矩阵之积。 用初等变换求逆矩阵
由A可逆，则A可以经过初等行变换化成单位阵，即 f.5A=E台F5hrl=Er台5.5E=A 即 FFm-.FF(A|E)=(E引厂)· 写成dD行换E1r内· 同样，对可逆矩阵A只进行初等列变换将A化成单位阵，即 4CCG=E台r4CC2.G=rE台ECC2.G=rl, (41ECC2C=(EI厂， 写成（含）袋一{)月 例题选讲 1221 例1设A=21-2的逆矩阵。 2-21 例2设4-6引试将4来示成初等矩阵之积。 (12-31-30 例3求解矩阵方程4=32-4B=027 试求解矩阵方程AX=B。 (2-10J1078 提示：可以先求A的逆矩阵，也可直接用矩阵的初等变换求B 总结本次课所讲主要内容 布置作业 第三节：矩阵的秩 回顾初等矩阵的概念及可逆矩阵的性质 新课 介绍定理5，等价的矩阵它们的秩相等。 介绍秩的性质见书本第55页。 第四节：线性方程组解的判别法。 介绍齐次与非齐次线性方程组的定义。 定理6：方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同。见书本57页。 定理7：有解的条件下，秩等于未知量的个数时有惟一解，秩小于未知量的个数时有无穷多 组解。见书本57页。 分块矩阵的逆矩阵 (4 设A= ，如果4=25)可逆，则A可逆
9 由 A 可逆，则 A 可以经过初等行变换化成单位阵，即 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 − − − − FmFm− F F A = E FmFm− F F AA = EA FmFm F F E = A 即 ( | ) ( | ) 1 1 2 1 − FmFm− F F A E = E A 。 写成 ( | ) ( | ) ⎯⎯ ⎯→ −1 A E E A 行变换 。 同样，对可逆矩阵 A 只进行初等列变换将 A 化成单位阵，即 1 1 2 1 1 2 1 1 2 − − − AC C Cl = E A AC C Cl = A E EC C Cl = A ， 即 ( | ) ( | ) 1 1 2 − A E C C Cl = E A ， 写成 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −1 A E E A 列的初等变换 。 例题选讲 例 1 设 − = − 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A 的逆矩阵。 例 2 设 = 2 4 1 3 A ，试将 1 , − A A 表示成初等矩阵之积。 例 3 求解矩阵方程 − = − − − = 10 7 8 10 2 7 1 3 0 , 2 1 0 3 2 4 1 2 3 A B ，试求解矩阵方程 AX = B。 提示：可以先求 A 的逆矩阵，也可直接用矩阵的初等变换求 A B −1 。 总结本次课所讲主要内容 布置作业 第三节：矩阵的秩 回顾初等矩阵的概念及可逆矩阵的性质 新课。 定义 3：k 阶子式的介绍见书本第 52 页 定义 4：矩阵的秩的介绍见书本第 52 页 介绍定理 5，等价的矩阵它们的秩相等。 介绍秩的性质见书本第 55 页。 第四节：线性方程组解的判别法。 介绍齐次与非齐次线性方程组的定义。 定理 6：方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同。见书本 57 页。 定理 7：有解的条件下，秩等于未知量的个数时有惟一解，秩小于未知量的个数时有无穷多 组解。见书本 57 页。 分块矩阵的逆矩阵 设 = Ass A A A 22 11 ，如果 A (i 1,2, ,s) ii = 可逆，则A可逆
r 并且A A 500 例1求4=031的逆矩阵 (021) 例2利用逆矩阵求解矩阵方程AX=B,其中A可逆 解：因为A可逆，所以X=B 而 FFm-.5A=E台Fmfm-1.EAΓl=E4台Fm-f5E=Γl, 台F5n155B=rg，即F.5A利)=(E八A 写成（d利)行换E1r周。 同样，对可逆矩阵A只进行初等列变换将A化成单位阵，即 4CC2G=E台4CC32G=rEeBCCG=Br1, 即 4BCC2.G=(E1B4, 写成（目( 用这种方法解矩阵方程4=B→X=B。 本章习题课 1 总结内容 1)矩阵运算 (2)逆矩阵的性质 (3)分块矩阵的运算 (4)矩阵的初等变换 2.习题选讲 u) 例1设4= 42 ,且4可逆，则A= A22 040.00 00m.00 例2A= 的逆矩阵 23000 36000 例3解矩阵方程A=B,其中
10 并且 = − − − − A ss A A A 1 22 1 11 1 1 。 例 1 求 = 0 2 1 0 3 1 5 0 0 A 的逆矩阵。 例 2 利用逆矩阵求解矩阵方程 AX = B ，其中A可逆。 解：因为A可逆，所以 X A B −1 = 而 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 − − − − FmFm− F F A = E FmFm− F F AA = EA FmFm F F E = A ， FmFm F F B A B 1 1 2 1 − − = ，即 ( | ) ( | ) 1 FmFm 1 F2F1 A B E A B − − = 写成 ( | ) ( | ) 1 A B E A B ⎯ 行变换 ⎯ ⎯→ − 。 同样，对可逆矩阵 A 只进行初等列变换将 A 化成单位阵，即 1 1 2 1 1 2 1 1 2 − − − AC C Cl = E A AC C Cl = A E BC C Cl = BA ， 即 ( | ) ( | ) 1 1 2 − A B C C Cl = E BA ， 写成 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −1 BA E B A 列的初等变换 。 用这种方法解矩阵方程 −1 XA = B X = BA 。 本章习题课 1．总结内容 （1） 矩阵运算 （2） 逆矩阵的性质 （3） 分块矩阵的运算 （4） 矩阵的初等变换 2．习题选讲 例 1 设 = Ass A A A 22 11 ，且 Aii 可逆，则 = − − − A ss A A A 1 22 1 11 1 。 例 2 = − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 n n a a a a A 的逆矩阵。 例 3 解矩阵方程 AX = B ，其中 = 0 0 0 7 5 0 0 0 3 2 0 0 4 0 0 3 6 0 0 0 2 3 0 0 0 A ， = 0 0 1 2 1 B