《高等代数》教学大纲 课程名称：高等代数 课程编号：07074202 课程类别：专业基础课 适用专业：信息与计算科学 授课学时：176学时 学分：11学分 一、课程简介 于高等代数的基础理论有 了解，能够利用代数的方 诈蟹整知维秀阳解决方造列何中的一些方法相结合从而为进一步学习专业课打下良好的基代路养 二、课程内容和基本要求 1多项式理论 1.1数域 (一）数集 (二)数域 1.2一元多项式 (一）有关多项式的概念 (仁)多项式的代数性质 1.3整除的概念 (一）整除概念 (二) 整除性几个常用性质 (仁)不可约多项式 1.4最大公因式 (一〉 最大公因式的定义及唯一性 (仁)最大公因式的存在性及求法 (E) 互素的概念 (四)最大公因式、互素概念的推广 1.5因式分解定理 (一)不可约多项式及其性质 (仁)因式分解唯一性定理
《高等代数》教学大纲 课程名称：高等代数 课程编号：07074202 课程类别：专业基础课 适用专业：信息与计算科学 授课学时：176学时 学 分：11学分 一、课程简介 高等代数是数学系各专业开设的一门基础课。它不仅是应用学科的重要工具课，而且在近代数学理论中也是一 门很重要的理论基础课，特别是随着当今电脑科技的发展，更加显示出高等代数作用。通过这门课的学习，使学生 不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对于高等代数的基础理论有一个深刻了解，能够利用代数的方 法解决一些实际问题，把代数方法和几何中的一些方法相结合，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。培养学 生独立思维能力和解决实际问题能力。 二、课程内容和基本要求 1 多项式理论 1.1 数域 (一) 数集 (二) 数域 1.2一元多项式 (一) 有关多项式的概念 (二) 多项式的代数性质 1.3整除的概念 (一) 整除概念 (二) 整除性几个常用性质 (三) 不可约多项式 1.4最大公因式 (一) 最大公因式的定义及唯一性 (二) 最大公因式的存在性及求法 (三) 互素的概念 (四) 最大公因式、互素概念的推广 1.5因式分解定理 (一) 不可约多项式及其性质 (二) 因式分解唯一性定理
1.6重因式 (一) 一些概念：重因式、单因式、微商等 ()重因式的判别及求法 (三)去掉因式重数的方法 1.7多项式函数 (一)多项式的根 (二)多项式的根的个数 1.8复系数与实系数多项式的因式分解 (一)复数域上多项式的分解 (二)实数域上多项式的分解 1.9有理系数多项式 (一）有理系数多项式的根 1)本原多项式及Gauss引理 2)确定整系数多项式有理根的范围 3)求有理系数多项式根的方法 (二)Eisenstein判别法 1.10多元多项式 (一）基本概念 (二)多元多项式中单项式的排列次序 (三) 两个结论（关于乘积首项和次数） (四)多元多项式函数 1.11对称多项式 (一)基本概念、对称多项式环、初等对称多项式 (二)对称多项式的基本定理 () 一元多项式的判别式 基本要求 ◆掌握：整除性几个常用性质，最大公因式的存在性及求法，重因式的判别及求 法， 求有理系数多项式根的方法 ◆理解：不可约多项式及其性质， 因式分解唯一性定理， 确定整系数多项式有 理根的范围。 ◆了解：有关多项式的概念，复系数与实系数多项式的因式分解，多元多项式， 对称多项式
1.6重因式 (一) 一些概念：重因式、单因式、微商等 (二) 重因式的判别及求法 (三) 去掉因式重数的方法 1.7多项式函数 (一) 多项式的根 (二) 多项式的根的个数 1.8复系数与实系数多项式的因式分解 (一) 复数域上多项式的分解 (二) 实数域上多项式的分解 1.9有理系数多项式 (一) 有理系数多项式的根 1）本原多项式及Gauss引理 2）确定整系数多项式有理根的范围 3）求有理系数多项式根的方法 (二) Eisenstein判别法 1.10多元多项式 (一) 基本概念 (二) 多元多项式中单项式的排列次序 (三) 两个结论(关于乘积首项和次数) (四) 多元多项式函数 1.11对称多项式 (一) 基本概念、对称多项式环、初等对称多项式 (二) 对称多项式的基本定理 (三) 一元多项式的判别式 基本要求 ◆ 掌握：整除性几个常用性质, 最大公因式的存在性及求法, 重因式的判别及求 法, 求有理系数多项式根的方法. ◆ 理解：不可约多项式及其性质, 因式分解唯一性定理, 确定整系数多项式有 理根的范围. ◆了解：有关多项式的概念, 复系数与实系数多项式的因式分解, 多元多项式, 对称多项式
重点、难点 重点：整除理论，最大公因式，重因式，求有理系数多项式根的方法 难点：有理系数多项式，因式分解定理 2行列式 2.1引言 2.2排列 (一）基本概念：级排列，逆序数，偶（奇）排列，对换 (二)排列的奇偶性 2.3n级行列式 (一)一般行列式的定义 (二)行与列的地位是对称的 2.4n级行列式的性质 （一）行列式的性质 (仁)应用实例 2.5行列式的计算 (一)矩阵的初等变换 (仁)行列式计算 2.6行列式按一行（列）展开 (一）行列式按一行展开的性质 (二)展开性质的应用 2.7 Cramer法则 2.8 Laplace定理、行列式乘法法则 (一）Laplace定理 (二)行列式乘法规则 基本要求 ◆掌握：计算行列式的三种方法：利用定义、利用性质、降阶，并会运用Gramer法则求线性 方程组的解 ◆理解：n级行列式的性质，Laplace定理、行列式乘法法则。 ◆了解：一般行列式的定义。 重点、难点 重点：行列式计算
重点、难点 重点：整除理论, 最大公因式, 重因式, 求有理系数多项式根的方法. 难点：有理系数多项式, 因式分解定理 2 行列式 2.1 引言 2.2 排列 (一) 基本概念： n级排列，逆序数，偶(奇)排列，对换 (二) 排列的奇偶性 2.3 n级行列式 (一) 一般行列式的定义 (二) 行与列的地位是对称的 2.4 n级行列式的性质 (一) 行列式的性质 (二) 应用实例 2.5 行列式的计算 (一) 矩阵的初等变换 (二) 行列式计算 2.6 行列式按一行(列)展开 (一) 行列式按一行展开的性质 (二) 展开性质的应用 2.7 Cramer法则 2.8 Laplace 定理、行列式乘法法则 (一) Laplace定理 (二) 行列式乘法规则 基本要求 ◆ 掌握：计算行列式的三种方法：利用定义、利用性质、降阶，并会运用Gramer法则求线性 方程组的解。 ◆ 理解：n级行列式的性质，Laplace 定理、行列式乘法法则。 ◆ 了解：一般行列式的定义。 重点、难点 重点：行列式计算
难点：Laplace定理、行列式乘法法则。 3线性方程组 3.1消元法 (一）方程组的初等变换 (二)方程组的有解判别 3.2n维向量空间 （一）n维向量概念 (仁)n维向量的运算 3.3线性相关性 (一） 一些概念：线性组合、向量组等价、线性相关（无关） (二）线性相关性的判定 (三)极大线性无关组及向量组的秩 3.4矩阵的秩 (一）矩阵的秩 (二)矩阵秩的求法 3.5线性方程组有解判定定理 (一）有解判定定理 (二)线性方程组解的求法 3.6线性方程组的结构 (一）齐次线性方程组解的结构 (仁）一般线性方程组解的结构 (三)线性方程组解的几何意义 3.7二元高次方程组 (一）两个多项式的结式 (仁) 二元高次方程组的解法 基本要求 ◆掌握：维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。 ◆理解：线性相关性的判定，线性方程组的结构，线性方程组有解判定定理。 ◆了解：矩阵的秩，二元高次方程组，一些概念：线性组合、向量组等价、线性相关（无 关)，极大线性无关组及向量组的秩。 重点、难点
难点：Laplace 定理、行列式乘法法则。 3 线性方程组 3.1消元法 (一) 方程组的初等变换 (二) 方程组的有解判别 3.2 n维向量空间 (一) n维向量概念 (二) n维向量的运算 3.3线性相关性 (一) 一些概念：线性组合、向量组等价、线性相关(无关) (二) 线性相关性的判定 (三) 极大线性无关组及向量组的秩 3.4矩阵的秩 (一) 矩阵的秩 (二) 矩阵秩的求法 3.5线性方程组有解判定定理 (一) 有解判定定理 (二) 线性方程组解的求法 3.6线性方程组的结构 (一) 齐次线性方程组解的结构 (二) 一般线性方程组解的结构 (三) 线性方程组解的几何意义 3.7二元高次方程组 (一) 两个多项式的结式 (二) 二元高次方程组的解法 基本要求 ◆ 掌握：n维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。 ◆ 理解：线性相关性的判定，线性方程组的结构，线性方程组有解判定定理。 ◆ 了解：矩阵的秩，二元高次方程组，一些概念：线性组合、向量组等价、线性相关(无 关)，极大线性无关组及向量组的秩。 重点、难点
重点：线性相关性概念及线性方程组有解判定定理。 难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论。 4矩阵 4.1矩阵的概念 4.2矩阵的运算 4.3矩阵乘积的行列式与秩 4.4矩阵的逆 (一）可逆矩阵 (仁)可逆矩阵的性质 (三)可逆矩阵的两个应用 4.5矩阵的分块 (一)分块矩阵的乘积 (二)分块矩阵的应用 4.6初等矩阵 (一)初等矩阵与初等变换 (二)逆矩阵的求法 4.7分块乘法的初等变换及应用举例 (一）分块乘法的初等变换 (仁)应用举例 4.8广义逆矩阵 (一)广义逆的定义 (仁)广义逆与线性方程组解的关系 基本要求 ◆掌握：矩阵的基本运算和初等变换的应用。 ◆理解：逆矩阵的概念及存在的充要条件、矩阵的秩的概念、分块矩阵的运算。 ◆了解：单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、满秩矩阵的性质。 重点、难点 重点：矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。 难点：理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。 5二次型
重点：线性相关性概念及线性方程组有解判定定理。 难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论。 4 矩阵 4.1矩阵的概念 4.2矩阵的运算 4.3矩阵乘积的行列式与秩 4.4矩阵的逆 (一) 可逆矩阵 (二) 可逆矩阵的性质 (三) 可逆矩阵的两个应用 4.5矩阵的分块 (一) 分块矩阵的乘积 (二) 分块矩阵的应用 4.6初等矩阵 (一) 初等矩阵与初等变换 (二) 逆矩阵的求法 4.7分块乘法的初等变换及应用举例 (一) 分块乘法的初等变换 (二) 应用举例 4.8广义逆矩阵 (一) 广义逆的定义 (二) 广义逆与线性方程组解的关系 基本要求 ◆ 掌握：矩阵的基本运算和初等变换的应用。 ◆ 理解：逆矩阵的概念及存在的充要条件、矩阵的秩的概念、分块矩阵的运算。 ◆ 了解：单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、满秩矩阵的性质。 重点、难点 重点：矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。 难点：理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。 5 二次型
5.1二次型的矩阵表示 (一）二次型及二次型矩阵 (二)替换前后二次型矩阵的关系 5.2标准形 (一）二次型的标准形 (二) 求标准形的方法 1)、配方法 2)、初等变换法 5.3唯一性 (一）二次型的秩 (二)实二次型的规范形 (三)复二次型的规范形 5.4正定二次型 (一） 正定二次型及其性质 (仁)正定性的判别 (三)与正定二次型平行的几个类型 基本要求 ◆掌握：用非退化线性替换，化二次型为标准形及判断二次型的正定性。 ◆理解：惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。 ◆了解：二次型及其矩阵表示 重点、难点 重点：以配方法和初等变换法化标准形和正定性的判别为重点。 难点：化二次型为标准形和正定性的判别为难点。 6线性空间 6.1集合、映射 6.2线性空间的定义及简单性质 6.3维数、基与坐标 (一)线性相关性及几个结论 (仁)维数、基与坐标 6.4基变换与坐标变换 （一）基变换与坐标变换
5.1二次型的矩阵表示 (一) 二次型及二次型矩阵 (二) 替换前后二次型矩阵的关系 5.2标准形 (一) 二次型的标准形 (二) 求标准形的方法 1)、配方法 2)、初等变换法 5.3唯一性 (一) 二次型的秩 (二) 实二次型的规范形 (三) 复二次型的规范形 5.4正定二次型 (一) 正定二次型及其性质 (二) 正定性的判别 (三) 与正定二次型平行的几个类型 基本要求 ◆ 掌握：用非退化线性替换，化二次型为标准形及判断二次型的正定性。 ◆ 理解：惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。 ◆了解：二次型及其矩阵表示。 重点、难点 重点：以配方法和初等变换法化标准形和正定性的判别为重点。 难点：化二次型为标准形和正定性的判别为难点。 6 线性空间 6.1集合、映射 6.2线性空间的定义及简单性质 6.3维数、基与坐标 (一) 线性相关性及几个结论 (二) 维数、基与坐标 6.4基变换与坐标变换 (一) 基变换与坐标变换
(二) 关于过渡矩阵的求法 6.5线性子空间 (一）线性子空间及其判别 生成子空间 6.6子空间的交与和 (一)子空间的交与和定义 (二)维数公式 (三)子空间交与和的求法 6.7子空间的直和 6.8线性空间的同构 (一)同构的概念 (二)同构的性质 基本要求 ◆掌握：线性空间的基本结构，会进行一些基本运算。 ◆理解：基变换与坐标变换，线性子空间及运算。 ◆了解：线性空间的定义、性质、维数、基与坐标 重点、难点 重点：以线性空间维数和基的求解为重点。 难点：难点为对同构和直和的理解 7线性变换 7.1线性变换定义 7.2线性变换的运算 (一）运算及运算规律 (仁)线性变换多项式 7.3线性变换矩阵 (一)线性变换在一组基下的矩阵 1)线性变换与其在一组基下矩阵的关系 2)坐标变换公式 (二)线性变换在不同基下的矩阵 1)线性变换在不同基下的矩阵的关系 2)相似矩阵的性质
(二) 关于过渡矩阵的求法 6.5线性子空间 (一) 线性子空间及其判别 (二) 生成子空间 6.6子空间的交与和 (一) 子空间的交与和定义 (二) 维数公式 (三) 子空间交与和的求法 6.7子空间的直和 6.8线性空间的同构 (一)同构的概念 (二)同构的性质 基本要求 ◆ 掌握：线性空间的基本结构，会进行一些基本运算。 ◆ 理解：基变换与坐标变换，线性子空间及运算。 ◆了解：线性空间的定义、性质、维数、基与坐标 重点、难点 重点：以线性空间维数和基的求解为重点。 难点：难点为对同构和直和的理解。 7 线性变换 7.1线性变换定义 7.2线性变换的运算 (一) 运算及运算规律 (二) 线性变换多项式 7.3线性变换矩阵 (一) 线性变换在一组基下的矩阵 1) 线性变换与其在一组基下矩阵的关系 2) 坐标变换公式 (二)线性变换在不同基下的矩阵 1) 线性变换在不同基下的矩阵的关系 2) 相似矩阵的性质
7.4特征值、特征向量的定义 (一)特征值、特征向量的求法 (二)特征多项式的性质 7.5对角矩阵 (一)某组基下的矩阵为对角阵的线性变换 (二)相似对角阵及所对应基的求法 7.6线性变换的值域与核 (一）值域与核的定义及其性质 (仁)值域与核的求法 7.7不变子空间 (一)不变子空间举例 (仁)不变子空间与线性变换矩阵化简的关系 (三)V的分解 7.8 Jordant标准形介绍 7.9最小多项式 (一)最小多项式及其基本性质 (二)最小多项式的求法 (三)利用最小多项式判别一个矩阵是否可对角化 基本要求 ◆掌握：熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的求解、矩阵对角化的方法、线性变换的值域与 核的求法。 ◆理解：特征值、特征向量的求法、特征多项式的性质。 ◆了解：线性变换定义、运算，Jordan标准形、最小多项式。 重点、难点 重点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。 难点：线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分 解成不变子空间的直和。 8X一矩阵 8.1入一矩阵 8.2入一矩阵在初等变换下的标准形 8.3不变因子
7.4特征值、特征向量的定义 (一) 特征值、特征向量的求法 (二) 特征多项式的性质 7.5对角矩阵 (一) 某组基下的矩阵为对角阵的线性变换 (二) 相似对角阵及所对应基的求法 7.6线性变换的值域与核 (一) 值域与核的定义及其性质 (二) 值域与核的求法 7.7不变子空间 (一) 不变子空间举例 (二) 不变子空间与线性变换矩阵化简的关系 (三) V的分解 7.8 Jordan标准形介绍 7.9最小多项式 (一)最小多项式及其基本性质 (二)最小多项式的求法 (三)利用最小多项式判别一个矩阵是否可对角化 基本要求 ◆ 掌握：熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的求解、矩阵对角化的方法、线性变换的值域与 核的求法。 ◆ 理解：特征值、特征向量的求法、特征多项式的性质。 ◆了解：线性变换定义、运算，Jordan标准形、最小多项式。 重点、难点 重点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。 难点：线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分 解成不变子空间的直和。 8 λ－矩阵 8.1 λ一矩阵 8.2 λ一矩阵在初等变换下的标准形 8.3 不变因子
(一)行列式因子 (二）标准形的唯一性 (三) 不变因子 (四)λ一矩阵可逆、等价的充要条件 8.4矩阵相似的条件 8.5初等因子 (一）不变因子与初等因子的关系 (仁)初等因子的求法 8.6 Jordan标准形的推导 基本要求 ◆掌握：入一矩阵的标准形唯一性和矩阵相似的条件 ◆理解：不变因子、初等因子、标准形的唯一性。 ◆了解：入一矩阵、入一矩阵在初等变换下的标准形、Jordan标准形。 重点、难点 重点：化入一矩阵成标准形及求不变因子。 难点：Jordan标准形的理论推导为难点。 9欧几里得空间 9.1定义与基本性质 一些概念 (仁)度量矩阵 9.2标准正交基 (一）标准正交基的存在性及求法 (二)标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 9.3同构 9.4正交变换 9.5正交空间 (一)正交子空间的性质 (二)正交补 9.6对称矩阵的标准形 (一）实对称矩阵与对称变换 (二)用正交矩阵化实对称矩阵为对角形
(一) 行列式因子 (二) 标准形的唯一性 (三) 不变因子 (四) λ一矩阵可逆、等价的充要条件 8.4矩阵相似的条件 8.5初等因子 (一)不变因子与初等因子的关系 (二)初等因子的求法 8.6 Jordan标准形的推导 基本要求 ◆ 掌握：λ一矩阵的标准形唯一性和矩阵相似的条件。 ◆ 理解：不变因子、初等因子、标准形的唯一性。 ◆ 了解：λ一矩阵、λ一矩阵在初等变换下的标准形、Jordan标准形。 重点、难点 重点：化λ一矩阵成标准形及求不变因子。 难点：Jordan标准形的理论推导为难点。 9 欧几里得空间 9.1定义与基本性质 (一) 一些概念 (二) 度量矩阵 9.2标准正交基 (一) 标准正交基的存在性及求法 (二) 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 9.3同构 9.4正交变换 9.5正交空间 (一) 正交子空间的性质 (二) 正交补 9.6对称矩阵的标准形 (一) 实对称矩阵与对称变换 (二) 用正交矩阵化实对称矩阵为对角形
(三)二次型的化简及二次曲面分类 9.7向量到子空间的距离，最小二乘法 9.8酉空间介绍 基本要求 ◆掌握：欧氏空间的度量性质，正交变换和对称变换。 ◆理解：标准正交基、正交空间、同构。 ◆了解：欧几里得空间的概念和性质、向量到子空间的距离，最小二乘法 酉空间。 重点、难点 重点：以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形为重点。 难点：标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点。 10双线性函数 10.1线性函数 10.2对偶空间 (一)对偶空间，对偶基 (二) 两组基的对偶基之间关系 (三)线性空间与其对偶空间的关系 10.3双线性函数 双线性函数及度量矩阵 (仁)非退化双线性函数 10.4对称双线性函数 (一)对称双线性函数 (二)二次齐次函数 (∈) 反对称双线函数 基本要求 ◆掌握：双线性出函数及有关问题。 ◆理解：对偶空间、双线性函数。 ◆了解：线性函数、对称双线性函数。 重点、难点 重点：以对偶空间、双线性函数及度量矩阵为重点 难点：难点为对非退化及对偶空间的理解
(三) 二次型的化简及二次曲面分类 9.7向量到子空间的距离，最小二乘法 9.8酉空间介绍 基本要求 ◆ 掌握：欧氏空间的度量性质，正交变换和对称变换。 ◆ 理解：标准正交基、正交空间、同构。 ◆ 了解：欧几里得空间的概念和性质、向量到子空间的距离，最小二乘法 酉空间。 重点、难点 重点：以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形为重点。 难点：标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点。 10 双线性函数 10.1线性函数 10.2对偶空间 (一) 对偶空间，对偶基 (二) 两组基的对偶基之间关系 (三) 线性空间与其对偶空间的关系 10.3双线性函数 (一) 双线性函数及度量矩阵 (二) 非退化双线性函数 10.4对称双线性函数 (一) 对称双线性函数 (二) 二次齐次函数 (三) 反对称双线函数 基本要求 ◆ 掌握：双线性出函数及有关问题。 ◆ 理解：对偶空间 、双线性函数 。 ◆ 了解：线性函数、对称双线性函数。 重点、难点 重点：以对偶空间、双线性函数及度量矩阵为重点。 难点：难点为对非退化及对偶空间的理解