《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 §3方向导数与梯度 教学目的掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度. 教学要求掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算。 教学建议 (①)适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）. (2)对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系. 教学程序 一、方向导数： (一)、方向导数的定义： 定义设三元函数∫在点P(x,y。,o)的某邻域U(B)cR内有定义·1 为从点P。出发的射线·P(x,y,)为I上且含于U(D,)内的任一点，以p表示 P与P,两点间的距离·若极限 =-g p 存在，则称此极限为函数了在点R沿方向1的方向号数，记为引。政 f(P)、f(xoo,o). 对二元函数：=x,)在点P(x%),可仿此定义方向导数。 易见惑、哥和毫是三元通数了在点尺分别沿X轴正向、了验正肉和 Z轴正向的方向导数. 例1fx,y)=x+y2+:3.求f在点P(1,1,1)处沿1方向的方向导数， 其中(1)1为方向(2，-2,1)：(2)1为从点(1,1,1)到点(2，-2,1)的 方向. 解1)1为方向的射线为；==冬1心0.即 2-21 x=24+1,y=-21+1,2=1+1,(t20)·fB)=f(1,1,1)=3, f(P)=f(21+1,-21+1,1+1)=(21+1)+(-21+1)2+(1+1)3=13+712+1+3 1
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 1 §3 方向导数与梯度 教学目的 掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度． 教学要求 掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算． 教学建议 (1) 适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）． (2) 对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系． 教学程序 一、 方向导数： （一）、方向导数的定义： 定义 设三元函数 f 在点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 的某邻域 ( ) P0 3 R 内有定义 . l 为从点 P0 出发的射线 . P(x, y,z) 为 l 上且含于 ( ) P0 内的任一点 , 以 表示 P 与 P0 两点间的距离 . 若极限 f P f P f l = − → + → + 0 0 0 lim ( ) ( ) lim 存在 , 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的方向导数 , 记为 P0 l f 或 ( ) P0 f l 、 ( , , ) 0 0 0 f x y z l . 对二元函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y , 可仿此定义方向导数 . 易见 x f 、 y f 和 z f 是三元函数 f 在点 P0 分别沿 X 轴正向、 Y 轴正向和 Z 轴正向的方向导数 . 例1 f (x, y,z) = 2 3 x + y + z . 求 f 在点 P0 (1,1,1) 处沿 l 方向的方向导数, 其中 （1） l 为方向 ( 2 , − 2 ,1) ; （2） l 为从点 (1,1,1) 到点 ( 2 , − 2 ,1) 的 方向. 解 （1） l 为方向的射线为 令 === − = − − = − 1 1 2 1 2 x 1 y z t ( 0) . 即 x = 2t +1, y = −2t +1, z = t +1, ( t 0 ) . f (P0 ) = f (1,1,1) = 3 , ( ) ( 2 1 , 2 1, 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 1) 7 3 2 3 3 2 f P = f t + − t + t + = t + + − t + + t + = t + t + t +
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 p=x-02+0y-1)2+e-1)2=2)2+-20)2+2=3. 因此，=典00-4- 0 (2)从点(1,1,1)到点(2，-2,1)的方向1的方向数为(1，-3,0,1方 向的射线为x=1+1,y=-31+1,:=1,(120) fP)=f1+1,-31+1,1)=9r2-51+3,fD)=f1,1,1)=3: p=Vx-2+0y-)2+(-1)2=P+(-302=10 因此， -品品 0 (二)、方向导数的计算： 定理：若函数∫在点B(x,为)可微，则∫在点卫处沿任一方向1的方向 导数都存在，且 f(R)-f()cosa+∫，(R)cosB+f(R)cosy, 其中cosa、cosB和cosy为1的方向余弦. （证）对二元函数fx,y),f(B)=()cosa+∫，(R)cosB,其 中α和B是1的方向角. 注：由f(C)=(P)cosa+f,(R)cosB+f(D,)cosy =(f(P),f(P),f(P)(cosa,cosB,cosy), 可见，f(D)为向量(f(P),f,(),(P))在方向1上的投影. 例2（上述例1) 解》1的方肉余孩为aE下号mA=-号 2 os7=3fB)=l,)=2=2,(B)=3z到✉=3. 因此，哥)cosa+)cs月+f)cosy号2（号）+3写号 2
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 2 (x 1) ( y 1) (z 1) (2t) ( 2t) t 3t 2 2 2 2 2 2 = − + − + − = + − + = . 因此 , . 3 1 3 7 lim ( ) ( ) lim 3 2 0 0 0 0 = + + = − = → + → + t f P f P t t t l f t P （2） 从点 (1,1,1) 到点 ( 2 , − 2 ,1) 的方向 l 的方向数为 (1, − 3, 0 ), l 方 向的射线为 x = t +1, y = −3t +1, z = 1, ( t 0 ) . ( ) ( 1, 3 1,1) 9 5 3 2 f P = f t + − t + = t − t + , f (P0 ) = f (1,1,1) = 3 ; (x 1) ( y 1) (z 1) t ( 3t) 10t 2 2 2 2 2 = − + − + − = + − = . 因此 , . 10 5 10 9 5 lim ( ) ( ) lim 2 0 0 0 0 = − − = − = → + → + t f P f P t t l f t P （二）、 方向导数的计算: 定理: 若函数 f 在点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 可微 , 则 f 在点 P0 处沿任一方向 l 的方向 导数都存在 , 且 f l (P0 ) = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos + ( ) P0 f z cos , 其中 cos 、cos 和 cos 为 l 的方向余弦. ( 证 ) 对二元函数 f (x, y) , f l (P0 ) = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos , 其 中 和 是 l 的方向角. 注: 由 f l (P0 ) = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos + ( ) P0 f z cos =( ( ) P0 f x , ( ) P0 f y , ( ) P0 f z ( cos , cos , cos ), 可见 , ( ) P0 f l 为向量 ( ( ) P0 f x , ( ) P0 f y , ( ) P0 f z ) 在方向 l 上的投影. 例 2 ( 上述例 1 ) 解 （1） l 的方向余弦为 cos = 3 2 2 ( 2) 1 2 2 2 2 = + − + , cos = 3 2 − , cos = 3 1 . ( ) P0 f x =1 , ( ) P0 f y = 2y y=1 = 2 , ( ) P0 f z =3 1 3 2 z z= = . 因此 , l f = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos + ( ) P0 f z cos = 3 1 3 1 ) 3 3 2 2 ( 3 2 + − + =
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 (2)1的方向余弦为 2-1 1 3 a2-护+2-护+0-而sg- 0c0sy=0. 因此，影而2品品 5 可微是方向导数存在的充分条件，但不必要。 二、梯度（陡度)： (一)、梯度的定义：gad=(∫(D),f,()，f(C))· I grad =(B)+(P)+.(B)) 易见，对可微函数∫，方向导数是梯度在该方向上的投影. (二)、梯度的几何意义：对可微函数，梯度方向是函数变化最快的方向· 这是因为 f(P)=gradf.I=I gradf(P)cos0. 其中0是1与ga(B)夹角.可见B=0时f(P)取最大值，在1的反方向取最 小值. (三)、梯度的运算： 1 grad (u+c)=grad u. 2 grad (au+Bv)a grad u+B grad v. 3 grad (uv)=u grad v+y grad u. A grad ugrady-vgradu 5 gradf(u)=f'(u)gradu. 正：4周-，（目” 2 2 m-w,m,-) =km,出小
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 3 （2） l 的方向余弦为 cos = 10 1 (2 1) ( 2 1) (1 1) 2 1 2 2 2 = − + − − + − − , cos = 10 3 − , cos =0 . 因此 , l f = 10 5 10 3 2 10 1 1 − = − . 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 二、 梯度 ( 陡度 ): （一）、梯度的定义: gradf = ( ( ) P0 f x , ( ) P0 f y , ( ) P0 f z ) . | gradf | = ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 f (P ) f (P ) f (P ) x + y + z . 易见 , 对可微函数 f , 方向导数是梯度在该方向上的投影. （二）、 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 f l (P0 ) = gradf l = | ( ) | gradf P0 cos . 其中 是 l 与 ( ) gradf P0 夹角. 可见 = 0 时 ( ) P0 f l 取最大值 , 在 l 的反方向取最 小值 . （三）、梯度的运算: 1 grad (u + c) = grad u . 2 grad ( u + v ) = grad u + grad v . 3 grad ( u v ) = u grad v + v grad u . 4 grad 2 u ugradv vgradu u v − = . 5 grad f ( u ) = f (u)gradu . 证: 4 2 u uv u v u v x x x − = , 2 u uv u v u v y y y − = . grad = ( − , − ) = 1 2 uv u v uv u v u u v x x y y = ( , ) − ( , ) = 1 2 uv u v u v u v u x y x y
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 -b小-ag小to 总结：g山的方向表示数量场∫在1分三元沿此方向的方向导数达到最大： grad的根长就是这个最大的方向导数。 作业教材P1271-7
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 4 = ( , ) − ( , ) = 1 2 x y ux uy u v v v u 2 u ugradv − vgradu . 总结： gradf 的方向表示数量场 f 在 l 分三元沿此方向的方向导数达到最大； gradf 的根长就是这个最大的方向导数。 作业 教材 P127 1-7