《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 §4旋转曲面的面积 教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式。 教学内容：旋转曲面的面积计算公式。 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的 旋转曲面的面积：掌握平面曲线的曲率的计算公式。 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲 面的面积。 教学过程： 一、微元法 对任意小区间K,x+△)C[a,),若能把函数Φ的微小增△Φ近似地表示为 Ax的线性形式：AD:fx)Ar,其中∫为某一连续函数，且当△r→0时， △D-fxAx=(A),即种=达，则得 (b)=∫fx)dk.(b(a)=0) 此法称为微元法。 注：采用微元法需注意： 1、所求量中关于分布区间是代数可加的： 2、关键是给出A④≈f(x)Ar,但一般要检验AD-f()Ar=o(Ar) 二、旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C:y=f,x∈a,),不妨设f)≥0。下面求这段曲线绕 x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。 在点x,x+△r分别作垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。 当△x很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 1 §4 旋转曲面的面积 教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式． 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的 旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲 面的面积． 教学过程： 一、微元法 对任意小区间 [x, x + x] [a,b] ，若能把函数 的微小增 近似地表示为 x 的线性形式： f (x)x ，其中 f 为某一连续函数，且当 x →0 时， − f (x)x = (x)，即 d = f (x)dx ，则得 ( ) = ( ) .(( ) = 0) b f x dx a b a 此法称为微元法。 注：采用微元法需注意： 1、所求量 关于分布区间是代数可加的； 2、关键是给出 f (x)x ，但一般要检验 − f (x)x = (x). 二、旋转曲面的面积 设平面光滑曲线 C : y = f (x), x [a,b] ，不妨设 f (x) 0 。下面求这段曲线绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。 在点 x, x + x 分别作垂直于 x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。 当 x 很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即
《数学分析》教案】 第十章定积分的应用 海南大学数学系 AS≈fx)+fx+AxrN△r2+△y2 =2+4+0Fa 其中Ay=fx+△)-fx).由于 思49=0思+袋=+2a. 因此由∫()的连续性有 e+A+0a-2wn+产国a=a 所以得到 ds=(x)+2 (x)dx. S=2πfx)N1+2(x)d 若光滑曲线C:x=),y=),1∈a,刷，且)≥0，则曲线绕x轴旋转所得 旋转曲面的面积为 S=2πy0Nx2(0)+y2(0)d 例1、计算圆2+)2=R2在[，]c-R风上的弧段x轴旋转所得球带的 面积。 解：对曲线y=VR2-产在区间，上应用公式得 s=2mjVR2-7,+2 1 R2-xk =2πR∫dk=2R(x2-x) 特别当=-R2=R时，则得球的表面积S=4R 例2、计算由内摆线x=acos',y=asn31绕x轴旋转所得旋转曲面的面积。 解：由曲线关于y轴的对称性及公式得 2
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 2 2 S [ f (x) + f (x + x)] x + y [2 ( ) ] 1 ( ) , 2 x x y f x y = + + 其中 y = f (x + x) − f (x). 由于 lim 0, lim 1 ( ) 1 ' ( ), 2 2 0 0 f x x y y x x = + = + → → 因此由 f '(x) 的连续性有 [2 ( ) ] 1 ( ) 2 ( ) 1 ' ( ) ( ). 2 2 x f x f x x x x y f x y − + = + + 所以得到 2 ( ) 1 ' ( ) , 2 dS = f x + f x dx 2 ( ) 1 ' ( ) . 2 S f x f x dx b a = + 若光滑曲线 C : x = x(t), y = y(t),t [,] ，且 y(t) 0 ，则曲线绕 x 轴旋转所得 旋转曲面的面积为 2 ( ) ' ( ) ' ( ) . 2 2 S y t x t y t dt = + 例 1、计算圆 2 2 2 x + y = R 在[ , ] [ , ] x1 x2 −R R 上的弧段 x 轴旋转所得球带的 面积。 解： 对曲线 2 2 y = R − x 在区间 , ] 1 2 x x 上应用公式得 dx R x x S R x x x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 − = − + 2 2 ( ). 2 1 2 1 R dx R x x x x = = − 特别当 x1 = −R, x2 = R 时，则得球的表面积 S = 4R. 例 2、计算由内摆线 x a t y a t 3 3 = cos , = sin 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积。 解： 由曲线关于 y 轴的对称性及公式得
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 S=4xa2 asin(-3acos2 tsin 1)2+(3asin)2dt 122mes-号2 作业：P255:1:2:3. 3
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 3 S a a t a t t a t t dt 2 2 2 2 2 0 2 3 = 4 sin (−3 cos sin ) + (3 sin cos ) = . 5 12 12 sin cos 2 2 0 2 4 a t tdt = a 作业：P255: 1;2;3