《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系】 §2由平行截面面积求体积 教学目标：掌握由平行截面面积求体积的计算公式 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式. 基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式. 教学建议： (①)要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练 掌握。 (②)进一步领会微元法的要领。 教学过程： 设2为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面x=a,x=b之间 (a0，当分制的细度门 足够小时，就有 1
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 1 §2 由平行截面面积求体积 教学目标：掌握由平行截面面积求体积的计算公式 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式． 基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式． 教学建议： (1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练 掌握． (2) 进一步领会微元法的要领． 教学过程： 设 为三维空间中的一立体，它夹在垂直于 x 轴的两平面 x = a, x = b 之间 (a b). 若在任意一点 x [a,b] 处作垂直于 x 轴的平面，则它截得 的截面面积显然是 x 的函数，记为 A(x)，x [a,b] ，并称之为 的截面面积函数。 下面将导出由截面面积函数求立体体积的计算公式和旋转体的计算公式。 一、立体体积 设截面面积函数 A(x) 是 [a,b] 上的一个连续函数。对 [a,b] 作分割 : . T a = x0 x1 xn = b 过这些分点作垂直于 x 轴的平面 x x ,i 1,2, ,n, = i = 它们把 分成 n 个薄片 Vi （ i = 1,2, , n ）。 Mi mi . 分别表示 A(x) 在 [ , ] i i 1 i x x = − 上的最大值和最小值，则 有 i i i i i m x V M x 于是， 的体积 V 满足： . 1 1 1 = = = = n i i n i i n i i i m x V V M x 由 A(x) 在 [a,b] 上连续知，它在 [a,b] 上可积。所以对任意 0, 当分割的细度 T 足够小时，就有
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 含oA-宫M-M<6 所以有 ”8快三464a 例1、求两个柱面2+少2=a2与2+：2=口2所围立体的体积。 解：由对称性知，只须计算第一卦限的体积再乘以8即可。 对任一6∈0，a小.平面×=与这部分立体的截面是一个边长为V口2-巧 的正方形，所以4)=a2-x子，xe0,d由公式得 v-sja-a. x2y2.2 例2、求由精球插云十。+专引所围立体的体积。 解：以平面×=oo≤截椭球面。得椭圆 22 -=1 ba-e- 所以截面面积函数为 于是椭球体积为 r-了w-h-兮 -a 注当069=时，装粉作积为和 二、旋转体的体积 设∫是[a,上的连续函数，Q是由平面图形
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 ( ) , 1 1 = − = = n i i i n i i i x M m x 所以有 lim lim ( ) ( ) . 1 0 1 0 = = = → = → = b a i n i i T i n i i T V m x A x A x dx 例 1、求两 个柱面 2 2 2 x + y = a 与 2 2 2 x + z = a 所围立体的体积。 解： 由对称性知，只须计算第一卦限的体积再乘以 8 即可。 对任一 [0, ], x0 a 平面 0 x = x 与这部分立体的截面是一个边长为 2 0 2 a − x 的正方形，所以 ( ) , [0, ]. 2 2 A x = a − x x a 由公式得 . 3 16 8 ( ) 2 3 0 2 V a x dx a a = − = 例 2、求由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 所围立体的体积。 解： 以平面 ( ) x = x0 x0 a 截椭球面。得椭圆 1. (1 ) (1 ) 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 = − + − a x c z a x b y 所以截面面积函数为 ( ) (1 ), [ , ]. 2 2 x a a a x A x = bc − − 于是椭球体积为 . 3 4 (1 ) 2 2 dx abc a x V bc a a = − = − 注：当 a = b = c = r 时，球的体积为 . 3 4 3 r 二、旋转体的体积 设 f 是 [a,b] 上的连续函数， 是由平面图形
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 0 slysf(x).a≤x≤b 绕x轴旋转一周所得的旋转体。则截面面积函数为 Ax)=f(x,x∈[a,b1 因此旋转体Ω的体积公式为 V=πfxd 例3、求圆锥体的体积公式。 解：设正圆锥的高为h,底圆半径为r这圆锥体可由平面图形 0ss分xxeD川绕x轴旋转一周而得。其体积为 例4、求由圆2+0-R2≤20<r<R)绕x轴旋转一周所得环状立体 的体积。 解：圆+0-R≤r的上、下半圆分别为 y=2(x)=R+2-x2 y=x)=R-P2-x2, 其中付≤？故圆环体的截面面积函数是 4(x)=(x)2-x(x)2=4xRVr2-x2.xE[-r,R] 圆环体的体积为 V=8πRVr2-x2k=2x2r2R 作业：P246:1:2:3
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 3 0 y f (x),a x b 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体。则截面面积函数为 ( ) [ ( )] , [ , ]. 2 A x = f x x a b 因此旋转体 的体积公式为 [ ( )] . 2 V f x dx b a = 例 3、求圆锥体的体积公式。 解： 设正圆锥的高为 h ，底圆半径为 r. 这圆锥体可由平面图形 0 x, x [0, h] h r y 绕 x 轴旋转一周而得。其体积为 . 3 1 ( ) 2 2 0 x dx r h h r V h = = 例 4、 求由圆 ( ) (0 ) 2 2 2 x + y − R r r R 绕 x 轴旋转一周所得环状立体 的体积。 解： 圆 2 2 2 x + (y − R) r 的上、下半圆分别为 ( ) , ( ) , 2 2 1 2 2 2 y f x R r x y f x R r x = = − − = = + − 其中 x r. 故圆环体的截面面积函数是 ( ) [ ( )] [ ( )] 4 , [ , ]. 2 2 2 1 2 A x = f2 x − f x = R r − x x −r R 圆环体的体积为 8 2 . 2 2 0 2 2 V R r x dx r R r = − = 作业：P246 : 1;2;3