海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第八章 不定积分 8.1 不定积分概念与基本积分公式

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 第八章不定积分 微分学中所研究问题的做法是从已知函数()出发求其导数∫()，即所谓的微分运 算。微分运算的重要意义己经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问 题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从己知的某一函数的导数∫（冈出发求其本身 (),这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面 定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。 最后研究几类初等函数的积分法。 §1不定积分概念与基本积分公式 教学目标：掌握原函数的概念和基本积分公式 教学内容：原函数的概念：基本积分公式：不定积分的几何意义. 基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式 教学建议： (1)不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表 (2)适当扩充基本积分公式表. 教学过程： 一、原函数与不定积分 (一）原函数 定义1设函数fx)与F(x)在区间I上有定义。若 F(x)=f(x),xEI, 则称F(x)为f(x)在区间1上的一个原函数。 如：是x在R上的一个原函数：-c0s2x,0s2x+1,sm2x,-c0s2x等都有是sm2x 在R上的原函数一一若函数∫(x)存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题1(x)在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有 多少个？ 问题2若函数fx)的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 1 第八章 不定积分 微分学中所研究问题的做法是从已知函数 f x( ) 出发求其导数 f x ( ) ，即所谓的微分运 算。微分运算的重要意义已经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问 题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从已知的某一函数的导数 f x ( ) 出发求其本身 f x( ) ，这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面 定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。 最后研究几类初等函数的积分法。 §1 不定积分概念与基本积分公式 教学目标：掌握原函数的概念和基本积分公式 教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义． 基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式． 教学建议： (1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表． (2) 适当扩充基本积分公式表． 教学过程： 一、原函数与不定积分 (一) 原函数 定义 1 设函数 f (x) 与 F(x) 在区间 I 上有定义。若 F(x) = f (x)， xI ， 则称 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数。 如： 3 3 1 x 是 2 x 在 R 上的一个原函数； cos 2x 2 1 − ， cos 2 1 2 1 x + ， x 2 sin ， x 2 − cos 等都有是 sin 2x 在 R 上的原函数——若函数 f (x) 存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题 1 f (x) 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有 多少个？ 问题 2 若函数 f (x) 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 定理1若fx)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数F(x)。 (证明在第九章中进行。) 说明：(1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函 数（但其原函数不一定仍是初等函数）。(2)连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2设F(x)是fx)在在区间1上的一个原函数，则(1)设F(x)+C是fx)在在区间 I上的原函数，其中C为任意常量（若fx)存在原函数，则其个数必为无穷多个）。(2)∫x)在 /上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证：(1)由(F()+Cy=F()=fx),即对任何常数C,F)+C都是f)的原函数， 再证它们是全部原函数。 (2)设G()为f()另一原函数，G(x)=fx),那么 [F(x)-G(x)=f(x)-fx)=0,我们得到G)=F(x)+C。 这说明/()的任一原函数均可表示为F()+C的形式。也就是说F(+C是()的原函数的 般表达式 (二)不定积分 定义2函数∫(x)在区间1上的原函数的全体称为f(x)在I上的不定积分，记作： ∫f(x)d 其中∫-积分号：fx)-被积函数：x)-被积表达式：x-积分变量。 注1：∫f(x)是一个整体记号： 注2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的 不定积分是一个函数族F(x)+C},其中C是任意常数，于是，记为：∫fx)k=F(x)+C。 此时称C为积分常数，它可取任意实数。故有 fx)灯-fx)一一先积后导正好还原： 或 dfx)h=f(x)。 ∫f'(x)d=fx)+C一一先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 2 定理 1 若 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在 I 上存在原函数 F(x)。 （证明在第九章中进行。） 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函 数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理 2 设 F(x) 是 f (x) 在在区间 I 上的一个原函数，则（1）设 F(x) + C 是 f (x) 在在区间 I 上的原函数，其中 C 为任意常量（若 f (x) 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2） f (x) 在 I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证： （1）由 (F(x) + C) = F(x) = f (x) ，即对任何常数 C ， F(x) + C 都是 f (x) 的原函数， 再证它们是全部原函数。 （2）设 G(x) 为 f (x) 另一原函数， G(x) = f (x) ，那么  ( ) ( ) = ( ) − ( ) = 0  F x − G x f x f x ，我们得到 G(x) = F(x) + C 。 这说明 f x( ) 的任一原函数均可表示为 F x C ( ) + 的形式．也就是说 F x C ( ) + 是 f x( ) 的原函数的 一般表达式． （二） 不定积分 定义 2 函数 f (x) 在区间 I 上的原函数的全体称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作：  f (x)dx 其中  − − 积分号； f (x) − − 被积函数； f (x)dx − − 被积表达式； x −−积分变量。 注 1：  f (x)dx 是一个整体记号； 注 2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的 不定积分是一个函数族 F(x) +C ，其中 C 是任意常数，于是，记为：  f (x)dx = F(x) + C 。 此时称 C 为积分常数，它可取任意实数。故有  [ f (x)dx] = f (x)——先积后导正好还原； 或  d f (x)dx = f (x)dx 。  f (x)dx = f (x) + C——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）

《数学分析》教案 第八章不定积分 海布大学数学系 或 J(x)=fx)+C。 知：j=号+，小m2=-ms2x+c 不定积分的风何意义：若F(x)是∫(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图象为fx)的 一条积分曲线。于是，(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平 移所得一载积分曲线组成的曲线族，曲线F()+C和F()+C在点x有相同切线斜率x)。如 下图。 F(x)+Cz F(x)+C 注：在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件 F(x)=片。（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点 (x%)的那条积分曲线。 二、基本积分表 由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数 难得多，因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探。首先，我们把基本导数公式改写成 基本积分公式： l.∫0dk=C: 2.「1dk=「dk=x+C a=c,a-t0: 4=n时+C,(x≠0： 5.[e'dx=e'+C:

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 3 或  df (x) = f (x) + C 。 如： C x x dx = +  3 3 2 ， xdx = − x + C  cos 2 2 1 sin 2 。 不定积分的风何意义： 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则称 y = F(x) 的图象为 f (x) 的 一条积分曲线。于是，f (x) 的不定积分在几何上表示 f (x) 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平 移所得一载积分曲线组成的曲线族，曲线 1 F(x) +C 和 2 F(x) +C 在点 x 有相同切线斜率 f (x) 。如 下图。 y F(x)+C2 F(x)+C1 x 注：在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件 0 0 F(x ) = y （称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点 ( , ) 0 0 x y 的那条积分曲线。 二、基本积分表 由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数 难得多，因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探。首先，我们把基本导数公式改写成 基本积分公式： 1.  0dx = C ； 2.   1dx = dx = x + C ； 3. C x x dx + + =  + 1 1    ，(  −1, x  0) ； 4. dx x C x = +  ln 1 ，(x  0) ； 5.  e dx = e + C x x ；

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 C.(a>0a 7.fcosaxd=snm+C,a≠0： a &jm本=-言osam+C,a学0： 9.「sec2xdk=tanx+C; 10.[csc2xdx=-cotx+C: 11.[secx.tanxdx=secx+C: 12.[cscx-cotxdx=-cscx+C: 注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结 为这些基本不定积分。另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分 定理3若函数fx)与g(x)在区间1上都存在原函数，k,k为两个任意常数，则 kfx)+k,g(x)也存在原函数，且 「k,f(x)+kg(x)=k「fx)k+k「g(x)(积分 的线性性质)。 证明：可由微分法直接验证，因为 [∫)本+()了-[∫)本+了+[()本]_k+k因) 即 [kf(x)+k5(x)]五=k∫(x+k∫5(x达 如果在式(5)中取长=k6=0,f()=f)则有如下结论。 论： ∫材(x=kf(x 上式说明被积函数的常数因子可以提到积分号的前面。 由定义即得

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 4 6. C a a a dx x x = +  ln ， (a  0,a  1) ； 7. ax C a axdx = +  sin 1 cos ，(a  0) ； 8. ax C a axdx = − +  cos 1 sin ，(a  0) ； 9.  sec xdx = tan x + C 2 ； 10.  csc xdx = −cot x + C 2 ； 11.  sec x  tan xdx = sec x + C ； 12.  csc x  cot xdx = −csc x + C ； 13. 1 2 arcsin arccos 1 x C x C x dx + = − + −  ； 14. 2 1 arctan cot 1 x C arc x C x dx = + = − + +  。 注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结 为这些基本不定积分。另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分。 定理 3 若函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上都存在原函数， 1 2 k ,k 为两个任意常数，则 ( ) ( ) 1 2 k f x + k g x 也存在原函数，且    [k f (x) + k g(x)]dx = k f (x)dx + k g(x)dx 1 2 1 2 （积分 的线性性质）。 证明：可由微分法直接验证，因为 k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )          + = + +           = k f x k f x 1 1 2 2 ( ) + ( ) 即   k f x k f x dx k f x dx k f x dx 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) + = + ( ) ( ) ( )      如果在式（5）中取 k k k f x f x 1 2 1 = = = , 0, , ( ) ( ) 则有如下结论。 推 论： kf x dx k f x dx ( ) = ( )   上式说明被积函数的常数因子可以提到积分号的前面。 由定义即得

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 注：线性法则的一般形式为： ∫空x=∫f. 例1、px)=ax”+ax++anx+a, 则h=+是r++受+ar+C 例3、 ,-小+恤 d cos2 xsin2x =-cotx+anx+C。 例4、fcos33x,sn=引m4-sm2xh=os4r+ms2)+C (c0s4-602x)+C. 例5、∫002-10)2=∫102+10-2-2=102)+(102)-21 2h10002-10-)-2+c. 「-0+h 例6、计算x 解：由于 《-0+.+-刘=- f-+h=小-r=r-小k= 所以 合-+c dx 例7、计算JF+ 解：由于1=(+)-，所以

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 5 注：线性法则的一般形式为：    = = = n i n i ki f i x dx ki f i x dx 1 1 ( ) ( ) 。 例 1、 n n n n p x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( )  , 则 x a x C a x n a x n a p x dx n n n n + + + + + + = + −  0 1 1 1 2 1 2 ( )  。 例 2、 x x C x dx x dx x x x = − + + + = − + + +   2arctan 3 ) 1 2 ( 1 1 1 3 2 2 2 4 。 例 3、    = + + = dx x x dx x x x x x x dx (csc sec ) cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 = −cot x + tan x +C 。 例 4、 x  xdx = x − x dx = − x + x + C   cos 2 ) 2 1 cos 4 4 1 ( 2 1 (sin 4 sin 2 ) 2 1 cos3 sin = − (cos 4x − cos 2x) + C 8 1 。 例 5、    − = + − = + − − − − dx dx dx x x x x x x (10 10 ) (10 10 2) [(10 ) (10 ) 2] 2 2 2 2 2 C x x = − − + − (10 10 ) 22 2ln 10 1 2 2 。 例 6、 计算 1 1 2 2 1 3 ( )(1 ) x x x dx x − +  解：由于 1 1 1 7 1 3 1 2 2 3 6 6 2 2 1 3 ( )(1 ) ( ) x x x x x x x x x x x − − + = + − − = − 所以 1 1 7 1 7 1 2 2 6 6 6 6 1 3 ( )(1 ) ( ) x x x dx x x dx x dx x dx x − + = − = − =     13 7 6 6 6 7 13 6 x x C − + 例 7、 计算 2 2 ( 1) dx x x +  解：由于 2 2 1 ( 1) = + − x x ，所以

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 例8、计算J00'+cor'达 jo+oh-o+小om6+6+小 品-小e-ja-品0c 习题：P1822,3,4,5(1)~(12)

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 6 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) dx x x dx x x x x + − = = + +   2 2 1 arctan 1 dx dx x C x x x − = − − + +   例 8、 计算 2 (10 cot ) x + x dx  2 2 2 2 10 cos (10 cot ) 10 cot ln10 sin x x x x x dx dx xdx dx x + = + = +     = 2 2 10 1 sin ln10 sin x x dx x − +  = 10 2 csc ln10 x − − = xdx dx   10 cot ln10 x + − + x x C 习题：P182 2，3，4 ，5（1）～（12）