《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 §4.2连续函数的性质 教学章节：第四章连续函数一一§4.2连续函数的性质 教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。 教学要求： (1)掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明： 熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函 数的这些重要性质： (2)掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中 加以运用： (3)理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这 一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别， 教学重点：闭区间上连续函数的性质： 教学难点：一致连续的概念 散学过程 引言 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中 来 一、 连续函数的局部性质 性质1（局部有界性）若f在x,连续.则f在某U(x)有界 证明据∫在连续的定义，%>0,36>0，当xeU(o:)时，满足 f(x)-f(xo)0，当xeU(o:)时，就有 |f(x)川-|fo)川sfx)-f(xo)川0(orr>0fx)<r<0)
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 1 §4.2 连续函数的性质 教学章节：第四章 连续函数——§4.2 连续函数的性质 教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用. 教学要求： （1）掌握连续的局部性质（有界性、保号性）,连续函数的有理运算性质,并能加以证明； 熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函 数的这些重要性质； （2）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ,理解其几何意义,并能在各种有关的具体问题中 加以运用； （3）理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这 一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别. 教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念. 教学过程： 引言 函数的连续性是通过极限来定义的,因而有关函数极限的诸多性质,都可以移到连续函数中 来. 一、 连续函数的局部性质 性质 1（局部有界性）若 f 在 0 x 连续.则 f 在某 0 U x( ) 有界. 证明 据 f 在 0 x 连续的定义, 0, 0, U( ; ) , 当 x x0 时 满足 ( ) − ( ) 0 f x f x ． 现取 =1,相应存在 0 0, 当 x U( x0 ; 0 ) 时,就有 f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) 1 , f (x) f (x0 ) + 1 = M ． 注 类似可证连续函数的其余局部性质,例如四则连续性质、局部保号性质等等． 性 质 2 （ 局 部 保 号 性 ） 若 f 在 0 x 连 续 , 且 0 f x or ( ) 0( 0) 则 对 任 何 正 数 0 r f x (0, ( )) 0 ( ( ( ),0)) r f x ,存在某 0 U x( ) 有 f x r f x r ( ) 0( ( ) 0)
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 注①在具体应用局部保号性时，r取一些特殊值，如当化)>0时，可取r=,则存在 U化)，使得当x∈U化)有)>：②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存 在”，改为“连续”，把U(x)改为U°()其余一致. 性质3（四则运算）若∫和8在x点连续则∫±88食(8)≠0)也都在点，连续 问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质4（复合函数的连续性）若函数fx)在点xo连续，g(0在点连续，且“，=f(x) 则复合函数f(x刃在点x0连续. 证明E>0,6>0,当lu-%K可时|g0）-gu,)k 对上述可>0,36>0，当x-K6时u-4Hf)-f,k8 →E>0,36>0,只要x-xKδ便有8(fx》-gf》K6 即gLf(x引在点xo连续. 注)据连续性定义，上述定理可表为：mgfx=g/】=gmfx.(即函数运 算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限.) 推论若8r)eC(a,),值域包含于a,),f0eCa,B),则几g(xeC(a,b) 例1求1 imsin(1-x2) 2)若复合函数g°∫的内函数∫当x→x,时极限为a,又外函数g在u=a连续，上面的等式 仍成立.（因此时若mf)=a=f化，）的话是显然的：若mf)=a≠f化)，或()在x=名 无定义，即x是∫的可去间断点时，只需对性质4的证明做修改：“1x-xk6”为“0x-xk6” 即可).故可用来求一些函数的极限. 的2来超服D四-要：@平 性质5（反函数的连续性）若函数∫在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f在其定义域 [Uf(a),f(b]或[f(b,f(a】上连续
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 2 注 ①在具体应用局部保号性时, r 取一些特殊值,如当 0 f x( ) 0 时,可取 0 ( ) 2 f x r = ,则存在 0 U x( ) ,使得当 0 x U x ( ) 有 0 ( ) ( ) 2 f x f x ；②与极限相应的性质做比较可见,这里只是把“极限存 在”,改为“连续”,把 0 U x( ) 改为 0 0 U x( ) 其余一致. 性质 3 （四则运算）若 f 和 g 在 0 x 点连续,则 0 , , ( ( ) 0) f f g f g g x g 也都在点 0 x 连续. 问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质４（复合函数的连续性） 若函数 f (x) 在点 0 x 连续, g(u) 在点 0 u 连续,且 ( ) 0 0 u = f x , 则复合函数 g[ f (x)] 在点 0 x 连续. 证明 0, 1 0 ,当 0 1 | u − u | 时 | ( ) − ( ) | g u g u0 , 对上述 1 0 , 0 ,当 | x − x0 | 时 0 0 1 | | | ( ) ( ) | u u f x f x − = − 0, 0 ,只要 | x − x0 | 便有 | ( ( )) − ( ( )) | 0 g f x g f x . 即 g[ f (x)] 在点 0 x 连续. 注 1) 据连续性定义,上述定理可表为： 0 0 0 lim [ ( )] [ ( )] [lim ( )] x x x x g f x g f x g f x → → = = .（即函数运 算与极限可以交换次序,条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限.） 推论 若 g(x) C (a,b) ,值域包含于 (, ) , f (t) C (, ) ,则 f [g(x)] C (a,b) 例 1 求 2 1 limsin(1 ) x x → − . 2) 若复合函数 g f 的内函数 f 当 0 x x → 时极限为 a,又外函数 g 在 u a = 连续,上面的等式 仍成立.（因此时若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → = = 的话是显然的；若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → = ,或 f x( ) 在 0 x x = 无定义,即 0 x 是 f 的可去间断点时,只需对性质４的证明做修改：“ 0 | | x x − ”为“ 0 0 | | − x x ” 即可）.故可用来求一些函数的极限. 例 2 求极限（1） 0 sin lim 2 x x → x − ;（2） sin lim 2 x x → x − . 性质 5（反函数的连续性） 若函数 f 在 [ , ] a b 上严格单调并连续,则反函数 1 f − 在其定义域 [ ( ), ( )] f a f b 或 [ ( ), ( )] f b f a 上连续
三、区滑上速铁路致的至本径质 第四章连续函数 海南大学数学系 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质.现将将基本的列举如下，从几何上看，这些性质 都是十分明显的.但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§2给出.先给出下面的关于 “最大大值”的定义： 定义1设∫为定义在数集D上的函数，若存在x,∈D,使得对一切x∈D都有fx)≥fx) (fx)≤fx)),则称∫在D上有最大（小）值，并称fx)为∫在D上的最大（小）值. 例如，y=sinx,0,zym=1、ym=0, 一般而言，∫在其定义域上不一定有最大（小）值，即使x)在D上有界。 例如：x)=x,x∈0,1)无最大（小）值： 「1 f(x)= x∈0，D在[0,1门上也无最大（小）值。 2,x=0,1 (一)性质 个y 性质1（最大、最小值定理）若f在闭区间[a,上连续，则f在 B [a,b]上有最大值与最小值. y=f(x) 性质2（有界性定理）若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界. 思考①考虑函数fx)=x,x∈(0，)，g(x)= 仁，xe0,)上述结 2,x=0,1 论成立否？说明理由： ②∫要存在最大（小）值或有界是否一定要∫连续？是否一定要闭区间呢？ 结论上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。 性质3（介值定理）设f在[a,b1上连续，且f(@≠f(b).若u是介于f(a)和fb)之间的任 何实数，则至少存在一点xe(a,b),使得f(x)=4. 注表明若f在[a,b1]上连续，又fa)<fb)的话，则f在a,b1上可以取得f(a)和fb)之间 的一切值. 性质4（根存在定理）若∫在[a,b1上连续，且f(a)和fb)异号(f(a)fb)<0),则至少 存在一点x∈[a,b],使得f(x)=0. 几何意义若点A(a,f(a)和B(b,fb)》分别在x轴两侧，则连接A、B的曲线y=fx)与x 轴至少有一个交点. (二)闭区间上连续函数性质应用举例
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 3 二、 区间上连续函数的基本性质 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质.现将将基本的列举如下.从几何上看,这些性质 都是十分明显的.但要严格证明它们,还需其它知识,将在第七章§2 给出.先给出下面的关于 “最大大值”的定义： 定义 1 设 f 为定义在数集Ｄ上的函数,若存在 0 x D ,使得对一切 x D 都有 0 f x f x ( ) ( ) （ 0 f x f x ( ) ( ) ）,则称 f 在Ｄ上有最大（小）值,并称 0 f x( ) 为 f 在Ｄ上的最大（小）值. 例如, y x = sin ,[0, ] . max y =1、 min y = 0. 一般而言, f 在其定义域上不一定有最大（小）值,即使 f x( ) 在Ｄ上有界. 例如： f x x x ( ) , (0,1) = 无最大（小）值； 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x f x x x = = 在［０,1］上也无最大（小）值. (一) 性质 性质 1（最大、最小值定理）若 f 在闭区间 [ , ] a b 上连续,则 f 在 [ , ] a b 上有最大值与最小值. 性质 2（有界性定理）若 f 在 [ , ] a b 上连续,则 f 在 [ , ] a b 上有界. 思考 ①考虑函数 f x x x ( ) , (0,1) = , 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x g x x x = = 上述结 论成立否？说明理由； ② f 要存在最大（小）值或有界是否一定要 f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的,而非必要的. 性质 3（介值定理）设 f 在 [ , ] a b 上连续,且 f a f b ( ) ( ) .若 是介于 f a( ) 和 f b( ) 之间的任 何实数,则至少存在一点 0 x a b ( , ),使得 0 f x( ) = . 注 表明若 f 在 [ , ] a b 上连续,又 f a f b ( ) ( ) 的话,则 f 在 [ , ] a b 上可以取得 f a( ) 和 f b( ) 之间 的一切值. 性质 4（根存在定理） 若 f 在 [ , ] a b 上连续,且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a f b ( ) ( ) 0 ）,则至少 存在一点 0 x a b [ , ],使得 0 f x( ) 0 = . 几何意义 若点 A a f a ( , ( )) 和 B b f b ( , ( )) 分别在 x 轴两侧,则连接Ａ、Ｂ的曲线 y f x = ( ) 与 x 轴至少有一个交点. (二) 闭区间上连续函数性质应用举例 y O x a b y=f(x)
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 关健构造适当的∫；构造适当的闭区间。 例9正明方程x-sK=0在0孕内至少有一实根 证明：令=-cosx,则)ec0经》 而 f0)=-10 由零点存在定理即可得证 例4证明方程x’+4x2-3x-1=0有三个实根 证明f)=x2+4x2-3x-1=0,则f0)=-lf0=1f-1)=5.mf=-∞ 故。0使)=P,这类问题一般用介值定理)， 则fx)eC(-0,+):f0)=00使b”>P则由介值定理结论成立 而血”=切，故b>0使6”>p. ②唯一性：X0”=名”=p(化>0x>0)→x0”-x”=(-xx++xm)=0 →X0-X=0即X0=x」 例6设f)eC0,且0≤f)≤L,证明至少存在一点ce0,使fe)=c(著名的 Brouwer不动点定理). 证明结论提示我们作F)=f)-x,求F)的零点 如fO)=0或f)=1则结论成立.现设f(0)>0,f)<1
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 4 关健 构造适当的 f ；构造适当的闭区间. 例 3 证明方程 x −cos x = 0 在 ) 2 (0, 内至少有一实根 证明：令 f (x) = x − cos x ,则 ]) 2 ( ) ([0, f x C ；而 f (0) = −1 0 , 0 2 ) 2 ( = f 由零点存在定理即可得证. 例 4 证明方程 4 3 1 0 3 2 x + x − x − = 有三个实根. 证明 f (x) = 4 3 1 0 3 2 x + x − x − = ,则 f (0) = −1, f (1) = 1, f (−1) = 5 , = − →− lim f (x) x , 故 x0 −1 使得 0 f x( ) 0 （也可算得 f (−5) = −11 0 ）由零点存在定理即得证. 例 5 证明若 p 是正数, n 是正整数,则存在唯一正数 0 x 使得 x p n 0 = . （通常地, 0 x 称为 p 的 n 次正根（算术根）,写作 n x0 = p ） 证明 ①存在性：令 n f (x) = x （结论是说存在 x0 0 使 f (x0 ) = p ,这类问题一般用介值定理）, 则 f (x) C(−,+) ； f (0) = 0 p ,如 b 0 使 b p n 则由介值定理结论成立. 而 = + →+ n x lim x ,故 b 0 使 b p n . ②唯一性： x x p n n 0 = 1 = ( 0, 0) x0 x1 ( )( ) 0 1 1 1 0 − 1 = 0 − 1 0 + + = n n n− n− x x x x x x x0 − x1 = 0 即 0 1 x = x . 例 6 设 f (x) C[0,1] ,且 0 f (x) 1 ,证明至少存在一点 c [0,1] 使 f (c) = c （著名的 Brouwer 不动点定理）. 证明 结论提示我们作 F(x) = f (x) − x ,求 F(x) 的零点 如 f (0) = 0 或 f (1) = 1 则结论成立.现设 f (0) 0, f (1) 1
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 则F0F0<0,F()eC0,→，∈0，D使Fx)=0即)=x. 象这类有关不动点问题及()=)的根的存在性问题常常是作辅助函数想法化为零点存 在问题研究.作辅助函数的方法是从结论中得到启示 例7证明：y=sinxEC(-∞，+oo) 证明x。∈（-+o)△y=sinp+△x)-sm飞=2c0s2一sn2之0△r0) 2 故sx在xo连续.由xo的任意性即可推出结论. sinx 其定义域内连续. 定理区间上严格单调函数，如果值域为一区间，则函数连续。 本定理可看成介质定理之逆：连续函数可以取到一切中间值，反之不对，看例子 「x0≤x<1, f(x)=3-x1≤x≤2 x2<x≤3 它可取一切中间值，却不连续。但如加上严格单调条件，就成立了. 定理的证明不妨设fx)在区间I=(a,b)严格上升，若fx)在。∈I不连续，则 ,-0)≤f)≤f,+0)中必有一严格不等号成立，比如，-0)<f),则值域包含在 Ua+0,fx,-0u[fxf6-0》中，就不是一个区间了. 下面定理给出反函数的连续性。 三、反函数的连续性： 定理设=eCa创，严格上开，记感)a,即)B,〔a,B可能为 0,+0)则 (1)在(a,)上存在反函数x=f'): (2)x=f')在a,)上严格上升：
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 5 则 F(0)F(1) 0 , F(x) C[0,1] (0,1) x0 使 F(x0 ) = 0 即 0 0 f (x ) = x . 象这类有关不动点问题及 f (x) = g(x) 的根的存在性问题常常是作辅助函数想法化为零点存 在问题研究.作辅助函数的方法是从结论中得到启示. 例 7 证明： y = sin x C(−,+) 证明 ( , ) x0 − + , 0 0 y = sin( x + x) − sin x 0 2 sin 2 2 2cos 0 → + = x x x （ x →0 ）, 故 sin x 在 0 x 连续.由 0 x 的任意性即可推出结论. 同理, y = cos x C(−,+) sin tan cos x x x = 、 cos cot sin x x x = 、 x x cos 1 sec = 、 x x sin 1 csc = 均在 其定义域内连续. 定理 区间上严格单调函数,如果值域为一区间,则函数连续. 本定理可看成介质定理之逆：连续函数可以取到一切中间值,反之不对,看例子 − = 2 3. 3 1 2, 0 1, ( ) x x x x x x f x 它可取一切中间值,却不连续. 但如加上严格单调条件,就成立了. 定理的证明 不 妨设 f (x) 在区间 I = (a,b) 严格上升 , 若 f (x) 在 x I 0 不连续 , 则 ( 0) ( ) ( 0) f x0 − f x0 f x0 + 中必有一严格不等号成立,比如 ( 0) ( ) 0 0 f x − f x ,则值域包含在 ( ( 0), ( 0)] [ ( ), ( 0)) f a + f x0 − f x0 f b − 中,就不是一个区间了. 下面定理给出反函数的连续性. 三、 反函数的连续性: 定理 设 y = f (x) C (a,b) ,严格上升,记 = = inf f (x) , sup f (x) a x b a x b ,（ , 可能为 − ,+ ）则 （1） 在 ( , ) 上存在反函数 ( ) 1 x f y − = ； （2） ( ) 1 x f y − = 在 ( , ) 上严格上升；
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 (3)(y)EC(a,B). 实际上y=∫()和x=∫(y)表示是同一条曲线，单调性和连续性都是这条曲线的固有性质， 这定理结果是再也自然不过的事实. 证明(1)因y=()严格上升，反函数一定存在，需要证∫)的定义域恰为(a,. ∈(a,B,由上、下确界定义，x,x”e(a,),使得)0,6>0,当ly-%k6时 If(y)-f()ks 记f)=x,%)=o,则)=y,x)=, ()式即为x-k5或
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 6 （3） ( ) ( , ) 1 f y C − . 实际上 y = f (x) 和 ( ) 1 x f y − = 表示是同一条曲线,单调性和连续性都是这条曲线的固有性质, 这定理结果是再也自然不过的事实. 证明 （1）因 y = f (x) 严格上升,反函数一定存在,需要证 ( ) 1 f y − 的定义域恰为 ( , ) . ( , ) y0 ,由上、下确界定义, x , x(a,b) , 使得 ( ) ( ) 0 f x y f x .在 [x , x] 或 [x , x] 上应用介质定理, ( , ) 0 x x x 或 (x , x) ,使得 0 0 f (x ) = y ,由 0 y 的任意性,得到 ( , ) 为 f 的值域,即 ( , ) 为 ( ) 1 x f y − = 的定义域. （2）设 ( , ) y1, y2 , 1 2 y y , 要证 2 2 1 1 1 1 x = f (y ) f (y ) = x − − ,若 1 2 x x ,由反函数定义 及 f (x) 的严格上升,得 1 1 2 2 y = f (x ) f (x ) = y , 矛盾,所以 ( ) 1 f y − 严格上升. （3） ( ) 1 f y − 在 ( , ) 严格上升,值域为 (a,b) ,由上段定理知 ( ) ( , ) 1 f y C − . 注 若 f (x) C[a,b] 严格上升,令 f (a) = , f (b) = , 则结论中 ( , ) 改为 [ , ] 仍成立, 对严格下降函数也有同样结论. 由此可得 y = arcsin x C[−1, 1], y = arccos x C[−1, 1], y = arctg x C (−, + ) . 定理 4.8 若函数 f 在 [a,b] 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数 −1 f 在相应的定义域 f (a), f (b) ( 或 f (b), f (a) ) 上连续. 证明 f (x) 严格递增,故 −1 f 存在且在其定义域上严格递增.由介质性定理知, f ([a,b]) = [ f (a), f (b)] .故 −1 f 的定义域为 [ f (a), f (b)] ,值域为 [a,b] 现证 ([ ( ), ( )]) 1 f C f a f b − . 设 [ ( ), ( )] y0 f a f b ,要证 −1 f 在 0 y 连续,即证： 0, 0 ,当 | y − y0 | 时 − − − | ( ) ( ) | 0 1 1 f y f y (1) 记 f y = x − ( ) 1 , 0 0 1 f ( y ) = x − ,则 f (x) = y , 0 0 f (x ) = y , (1)式即为| − | 0 x x 或
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 由~的严格递增性，要使上式成立，只要化-8)0,x∈U(x;)时，就有|f(x)-f(x)水k6. 连续定义中6对x。的依赖性： 一般说来，对同一个，当飞不同时，8一般是不同的.例如图左中y=}的曲线，考查函数 fx)=在区间(0,1]上的连续性， 对，∈(0，小.作限制多0,取6=mm(三c,号)这里6与，有关，有时特记为6G, 本例中不存在可在区间(0,1]上通用的6，即不存在最小的（正数）6.对接近于原点的 x,6就应取小一些.而当x离原点较远时，6取大一些.（对后者的6值就不一定可用于前者.） 但在以后的时论中，有时要求能取到一个时区间1内所有的点都适用的6，如考查函数/)- 在区间[c,+o)(c>0)上的连续性.本例中可取得最小的，也就是可通用的
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 7 由 −1 f 的严格递增性,要使上式成立,只要 ( ) ( ) ( ) 0 0 f x − f x f x + , 只要 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x − − f x f x − f x f x + − f x , 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 − f x − f x − f x − f x f x + − f x (2) 记 min{ ( ) ( ), ( ) ( )} 0 0 0 0 = f x − f x − f x + − f x ,则当 | y − y0 | 时必有⑵成立,从而⑴式成立. 对区间端点应用左右连续定义同样可证. 四、一致连续性 在连续函数的讨论和应用中,有一个极为重要的概念,叫做一致连续.我们先叙述何谓一致 连续. (一) 设 f x( ) 在某一区间Ｉ连续,按照定义,也就是 f x( ) 在区间Ｉ内每一点都连续.即对 0 0 x I x U x , 0, ( ; ) 时,就有 0 | ( ) ( ) | f x f x − . 连续定义中 对 0 x 的依赖性 ： 一般说来,对同一个 ,当 0 x 不同时, 一般是不同的.例如图左中 1 y x = 的曲线,考查函数 x f x 1 ( ) = 在区间 ( 0 ,1] 上的连续性. 对 ( 0 ,1], x0 作限制 1, 2 0 x x 就有 . 2 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x − = − − − = 对 0 , 取 }. 2 , 2 min{ 0 2 0 x x = 这里 与 0 x 有关, 有时特记为 ( , ) 0 x . 本例中不存在可在区间 ( 0 ,1] 上通用的 , 即不存在最小的( 正数 ) .对接近于原点的 0 x , 就应取小一些.而当 0 x 离原点较远时, 取大一些.（对后者的 值就不一定可用于前者.） 但在以后的讨论中,有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的 ,如考查函数 x f x 1 ( ) = 在区间 [ c , + ) (c 0) 上的连续性 . 本 例 中 可 取 得 最 小 的 , 也 就 是 可 通 用 的
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 6=m(?6,}.该6却与x,无关，可记为6(6).这就需要引进一个新概念一一致连续。 (二)一致连续的定义 定义（一致连续)设∫为定义在区间1上的函数.若对任给的ε>0，存在一个 6=6s)>0,使得对任何x,x∈1，只要1x-x”k6,就有1f(x)-f(x)水6，则称函数∫在区间 I上一致连续. (三)数在区间上连续与一致连续的比较 1、区别 函数f在I连 函数f在I上一致连 续，x,∈L,E>0,36>0, 续，E>0,36>0,当 定义 当xeU;d) x,xeI,x,x"∈U(x;) 时，lf(x)-f(x)ks 时，If(x)-f(x)ke 对于I上的不同的点x。 相应的δ是不同的，换言 6的取值只与ε有关，而与x,无关，或 之，6的取值除依赖于ε 者说，存在适合于I上所有点x,的公 对6的要求 外，还与x,有关，由此记为 共的6，记作6=(e),它对任意的x 6=6e,x)表示6与s和 都适用。 。有关。 与区间中每一点及其附近 的f(x)情形有关，即只要 要知∫在整个区间的情形，在整个区 在区间中每一点，连续就 性质 间内来找适合定义中的6，这种性质称 行，也即在每一点中可有 为整体性质。 适合定义中的6，这是局 部性质。 2、系 若∫在I上一致连续，则∫在I上连续：反之不成立（即若∫在I上连续，∫不一定在I上 致连续。 问题如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理： 定理(Cantor1845-1918)fx)eC[a),则f在a,b1上一致连续.（证明见第七章） 证明如果不然，f)在a,上不一致连续，>0,6>0，r,xe[a,r-xk6, 8
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 8 }. 2 , 2 min{ 2 c c = 该 却与 0 x 无关, 可记为 ( ) .这就需要引进一个新概念——一致连续. (二) 一致连续的定义 定义（一致连续） 设 f 为定义在区间Ｉ上的函数.若对任给的 0 ,存在一个 = ( ) 0 ,使得对任何 x x I , ,只要 | | x x − ,就有 | | f x f x ( ) − ( ) ,则称函数 f 在区间 Ｉ上一致连续. (三) 数在区间上连续与一致连续的比较 1、区别 定义 函数 f 在Ｉ连 续, 0 x I, 0, 0 , 当 0 x U x ( ; ) 时,| | f x f x ( ) − ( 0 ) 函数 f 在Ｉ上一致连 续, 0, 0 ,当 x x I , , 0 x x U x , ( ; ) 时,| | f x f x ( ) − ( ) 对 的要求 对于Ｉ上的不同的点 0 x , 相应的 是不同的,换言 之, 的取值除依赖于 外,还与 0 x 有关,由此记为 0 = ( ; ) x 表示 与 和 0 x 有关. 的取值只与 有关,而与 0 x 无关,或 者说,存在适合于Ｉ上所有点 0 x 的公 共的 ,记作 = ( ) ,它对任意的 0 x 都适用. 性质 与区间中每一点及其附近 的 f x( ) 情形有关,即只要 在区间中每一点,连续就 行.也即在每一点中可有 适合定义中的 ,这是局 部性质. 要知 f 在整个区间的情形,在整个区 间内来找适合定义中的 ,这种性质称 为整体性质. 2、系 若 f 在Ｉ上一致连续,则 f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若 f 在Ｉ上连续, f 不一定在Ｉ上 一致连续. 问题 如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理： 定理（Cantor 1845-1918） f (x) C[a,b] , 则 f (x) 在 [a,b] 上一致连续.（证明见第七章） 证明 如果不然, f (x) 在 [a,b] 上不一致连续, 0 0 , 0, x , x[a,b] , | x − x |
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 而fx)-f(x)p. 1 ,3式g∈a,g-k ,而/)-x)上，由波尔察诺定理，存在子序列 a,而由-Kn,也有。→，再由)在连续 1/x)-fx)B中令k→o,得 0=f(x)-f(xo)H lim If(x)-f(x")5 矛盾.所以f(x)在[a,b上一致连续。 f(x) 例设f)在【a,+o)a>0)上满足Lipschitz条件，/)-f0以≤体-，证明士在 [a,+o)上一致连续。 证分析 .fs-f+Vs- sB-x0，由于1f,)-f,)Hax-l,故取=6川a叫，不论，为R上怎样两 点，只要-xK6就有lf)-fx)水8， 即：)=+6a≠0)在(-0，+四)上一致连续. 例2f)=r在a,上一致连续，但在(-+四上不一致连续
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 9 而 0 | f (x) − f (x) | . 取 n 1 = , x , x [a,b] n n , n x x n n 1 | − | ,而 0 | ( ) − ( ) | n n f x f x ,由波尔察诺定理,存在子序列 [ , ] x x0 a b nk → , 而 由 k n n n x x k k 1 | − | , 也 有 0 x x n k → . 再 由 f (x) 在 0 x 连 续 , 在 0 | ( ) − ( ) | nk nk f x f x 中令 k →,得 0 0 0 0 =| ( ) − ( ) |= lim | ( ) − ( ) | → nk nk k f x f x f x f x , 矛盾.所以 f (x) 在 [a,b] 上一致连续. 例 设 f (x) 在 [a,+) (a 0) 上满足 Lipschitz 条件： f (x) − f (y) k x − y , 证明 x f (x) 在 [a,+) 上一致连续. 证 分析 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 − − + − − B x x x x x x f x x f x f x x f x x f x 因为 f (x) − f (a) k x − a , ( ) ( ) f x2 k x2 + k a + f a , B x f x 2 2 ( ) , 取 B = ,当 x1 − x2 时, − 2 2 1 1 ( ) ( ) x f x x f x . 3、一致连续的例子 例 1 证明 f (x) = ax + b(a 0) 在 (−,+) 上一致连续. 证明 0,由于 | ( ) ( )| | || | 1 2 1 2 f x − f x = a x − x ,故取 = / | a | ,不论 1 2 x , x 为 R 上怎样两 点,只要 | x1 − x2 | 就有 | ( ) − ( ) | 1 2 f x f x ， 即： f (x) = ax + b(a 0) 在 (−,+) 上一致连续. 例 2 2 f (x) = x 在 [a,b] 上一致连续,但在 (−,+) 上不一致连续
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 证明6>0，当本，∈a,时，要使x-xK8只要 1x+x2川x-x20x|+|x2Dlx-x2|≤2M|x-x2K6, 取8=2i(M=mx1abB),则当lx-xk6就有1fx)-f水e, (不-致连续：3>0,6>0，rx”∈/，虽x-x"K6但lfx)-fx)P6.) 取46>0取-片与=号，则然5-非号5相是 g-1+>16 例3司八因-在0内不一黄达线（层监它在有车一有都连 正明取气=1，v6>0,取=m8空，f=2,则r-r外苦号6 f)在1上一致连续→()在I上连续.从上例看，其逆不真 例4证明sin在(c,)(c>0)内是一致连续的，而在(0，)内连续但非一致连续， 阴一m器：型 云2 例5设区间1，的右端点为c∈1，区间1，的左端点也为c∈12(1，可分别为有限或无限区 间).试按一致连续性定义证明：若∫分别在1，和1，上的一致连续，则f在I=1,八2上也一致连 续 例6证明)在(a,b)上一致连续的充要条件是：f)在(a,b)上连续，且存在 m。f)与m,f) 证明先证充分性：令
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 10 证明 0,当 , [ , ] x1 x2 a b 时,要使 | − | 2 2 2 1 x x 只要 | | | | (| | | |) | | 1 2 1 2 1 2 1 2 x + x x − x x + x x − x 2 | − | 1 2 M x x ， 取 2M = （ M = max{| a |,| b |} ）,则当 | x1 − x2 | 就有 | ( ) − ( ) | 1 2 f x f x ， （不一致连续： 0 0 , 0, x , x I ,虽 | x − x | 但 | f (x ) − f (x ) | .） 取 0 = 1 , 0,取 1 x1 = , 2 2 1 x = x + ；则虽然 − = 2 | | 1 2 x x ,但是 0 2 2 2 2 1 1 4 | | 1 x − x = + = . 例 3 证明 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 内不一致连续（虽然它在 (0,1) 内每一点都连续）. 证明 取 0 = 1 , 0,取 } 2 1 x = min{ , , x = x / 2,则 − = 2 2 | | x x x 但 1 0 1 | 1 2 | | 1 1 | = = − = − x x x x x f (x) 在 (0,1) 内不一致连续. f (x) 在 I 上一致连续 f (x) 在 I 上连续.从上例看,其逆不真. 例 4 证明 1 sin x 在 ( ,1) c ( 0) c 内是一致连续的,而在 (0,1) 内连续但非一致连续. 证明 cos , 2 2 sin 1 sin 1 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c x x x x x x x x x x x x x x x x − − − + − = . 例 5 设区间 1 I 的右端点为 1 c I ,区间 2 I 的左端点也为 2 c I （ 1 2 I I, 可分别为有限或无限区 间）.试按一致连续性定义证明：若 f 分别在 1 I 和 2 I 上的一致连续,则 f 在 1 2 I I I = 上也一致连 续. 例 6 证明 f (x) 在 ( a, b) 上一致连续的充要条件是： f (x) 在(a, b) 上连续,且存在 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x→a+ x→b− 与 ． 证明 先证充分性：令