《数学分析》上册敦案 第三章函数极限 海南大学数学系 §2函数极限的性质 教学章节：第三章函数极限一一§2函数极限的性质 教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质. 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用 教学方法：讲练结合。 教学过程： 引言 在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限： 1、imf):2、mf:3、imf):4、mf):5、mfx:6f. 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以mf)为代表来叙述并证明这些性质.至 于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可。 一、函数极限的性质 性质1《唯一性)如果存在，则必定唯一 证法一设八)=A,)=B,则 e>0,38>0,当0x-akd时， lf(x)-Aks, (1) 3d,>0,当0dx-akd时， If(x)-BKs. (2) 取6=mm包d,则当0<-d<6时4)和(2)同时成立 因而有 4-B=(f(x)-A)-(f(x)-B)s f(x)-A+lf(x)-B<26 3)
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 §2 函数极限的性质 教学章节：第三章 函数极限——§2 函数极限的性质 教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质. 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引言 在§1 中我们引进了下述六种类型的函数极限： 1、 lim ( ) x f x →+ ；2、 lim ( ) x f x →− ；3、lim ( ) x f x → ；4、 0 lim ( ) x x f x → ;5、 0 lim ( ) x x f x → + ；6、 0 lim ( ) x x f x → − . 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以 0 lim ( ) x x f x → 为代表来叙述并证明这些性质.至 于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可. 一、函数极限的性质 性质 1（唯一性） 如果 lim f (x) x→a 存在，则必定唯一. 证法一 设 lim f (x) x→a = A ， f x B x a = → lim ( ) ,则 0, 0, 1 当 1 0 | x − a | 时， | f (x) − A| , (1) 0, 2 当 2 0 | x −a | 时， | f (x) − B | . (2) 取 = min 1, 2 ，则当 0 x − a 时（1）和（2）同时成立. 因而有 A− B = ( f (x) − A) −( f (x) − B) f (x) − A + f (x) − B 2 , (3)
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 由6的任意性，(3③)式只有当4-时=0时，即A=B时才成立 证注一mf(x)1mf(x)三B日A>B,取o2,则36>0，使出 00,当0c,则6，>0，当0g): 2)若6，>0，当00使当0<水-d小<时)与b同 号 性质4（迫敛性）设imfx)=im(x)=A,且在某0(6：6)内有f)≤gx)≤(x), 则1imx)=A
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 由 的任意性，（3）式只有当 A− B = 0 时，即 A = B 时才成立. 证法二 反证,如 lim f (x) x→a = A ， f x B x a = → lim ( ) 且 A B ，取 2 0 A − B = ，则 0 ，使当 0 x − a 时， 0 0 f (x) − A , f (x) − B , 即 2 ( ) 2 0 0 A B A f x B A B + = − + = + 矛盾. 性质 2（局部有界性） 若 0 lim ( ) x x f x → 存在，则 f 在 0 x 的某空心邻域内有界. 证明 取 0 = 1 , 由 f x A x x = → lim ( ) 0 , 0, 当 0 x − x0 时, 有 f (x) − A 1 , 即 f (x) A + f (x) − A A +1， 说明 f (x) 在 ( ; ) U0 x0 上有界， A +1 就是一个界. 性质 3（保序性） 设 f x b x a = → lim ( ) ， g x c x a = → lim ( ) . 1）若 b c ，则 0 0 ，当 0 −a 0 x 时有 f (x) g(x) ； 2）若 0 0 ，当 0 −a 0 x 时有 f (x) g(x) ，则 b c .（保不等式性） 证明 1） 取 2 0 b − c = 即得.2）反证，由 1）即得. 注 若在 2）的条件中, 改“ f (x) g(x) ”为“ f (x) g(x)”, 未必就有 A B. 以 ( ) 1 , ( ) 1, 0 0 2 f x = + x g x x = 举例说明. 推论（局部保号性） 如果 f x b x a = → lim ( ) 且 b 0 ，则 0 0 使当 0 −a 0 x 时 f (x) 与 b 同 号. 性质 4（迫敛性） 设 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x A → → = = ，且在某 0 0 U x( ; ) 内有 f x g x h x ( ) ( ) ( ) ， 则 0 lim ( ) x x h x A → =
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 证明Ve>0,曲盟w=4,36>0,使得当00,使得当00使得当0<-<6时， 有3)-< F2，即34-g-≥网-回.1A 22. 0费由只阳孩之0使得当0-水时有-字 2 取6=mm6,d),则当0<k-<6时，有 两-a4房号c 2 职g网B 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极 限.已证明过以下几个极限： iC-C.sn x=sin i cosx=cos 0典ag=号 (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时，利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质， 把所求极限化为基本极限，代入基本极限的值，即计算得所求极限。 例1求回 3
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 证明 0 , 由 f x A x x = → lim ( ) 0 ， 1 0 ，使得当 0 − 0 1 x x 时， 有 f (x) − A ，即 A − f (x) A + . 又由 h x A x x = → lim ( ) 0 ， 2 0 ，使得当 0 − 0 2 x x 时 ，有 h(x) − A ， 即 A − h(x) A + . 令 min( , ) = 1 2 ，则当 0 x − x0 时，有 A − f (x) g(x) h(x) A + 即 g(x) − A ，故 g x A x x = → lim ( ) 0 . 性质 6（四则运算法则） 若 0 lim ( ) x x f x → 和 0 lim ( ) x x g x → 都存在，则函数 f g fg , 当 0 x x → 时极限 也存在，且 1） 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x → → → = ；2） ( ) 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x → → → = . 又若 0 lim ( ) 0 x x g x → ，则 f g 当 0 x x → 时极限也存在，且有 3） 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x f x g x g x → → → = . 3）的证明 只要证 x x g x B 1 ( ) 1 lim 0 = → ，令 0 2 0 = B ，由 g x B x x = → lim ( ) 0 ， 1 0 使得当 0 − 0 1 x x 时， 有 2 ( ) B g x − B ， 即 2 2 ( ) ( ) B B g x B − g x − B B − = . 0 , 仍然由 g x B x x = → lim ( ) 0 ， 2 0, 使得当 0 − 0 2 x x 时，有 2 ( ) 2 B g x − B . 取 min( , ) = 1 2 ，则当 0 x − x0 时，有 − = − − = 2 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 2 2 B B g x B g x B B g x B g x B 即 x x g x B 1 ( ) 1 lim 0 = → . 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极 限.已证明过以下几个极限： lim , lim , lim sin sin , lim cos cos ; 0 0 0 0 0 0 0 C C x x x x x x x x x x x x x x = = = = → → → → . 2 0, lim 1 lim = = → → arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 1 求 0 1 lim x x → x
《数学分析》上册教案 第三章两数极限 海南大学数学系 例2求im(xtgr-l). 帆3求m中 1 朝4只签： 注关于x的有理分式当x→o时的极限.参阅[4]P37. 例6只 [利用公式d-1=(a-(a-+a-2++a+)] 例6知2*21 x2+x-2 例7m2r4r 3x+5 例8=近m2+-10 3-2x 例9 例10已知典6-4：及求4和 .参阅[4]P69 x-3 作业教材P51一521-7,8(1)(2)(4)（⑤）： 补充题已知职华B-8-7求4和及（4=-台B-四) 州a-小0家和6 解法-2-m2-=四。-a++26K→四 1+x 1+x 1+x →a+1=0,a=-1又-a=b.b=1 ,由x→o且原式极限存在， xtx-q-x
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 例 2 求 4 lim( 1) x xtgx → − . 例3 求 3 1 1 3 lim( ) x→− x x 1 1 − + + . 例 4 . 3 2 5 5 3 7 lim 3 2 3 + + − + → x x x x x 注 关于 x 的有理分式当 x → 时的极限. 参阅[4]P37. 例 5 . 1 1 lim 10 7 1 − − → x x x [利用公式 1 2 1 ( 1)( 1) n n n a a a a a − − − = − + + + + ]. 例 6 . 2 2 2 1 lim 2 2 1 + − − + − → x x x x x 例 7 . 3 5 2 3 1 lim 2 2 + + + →+ x x x x 例 8 . 3 2 sin( 2 10) lim 5 4 2 x x x x x − + − → 例 9 . 1 1 1 1 lim 3 0 + − + − → x x x 例 10 已知 . 3 16 lim 2 3 B x x A x = − + − → 求 A 和 B. 参阅[4]P69. 作业 教材 P51—52 1 -7，8(1)(2)(4)(5)； 补充题 已知 7. 4 lim 2 2 2 = − − + + → B x x Ax B x 求 A 和 B. ( . 3 20 , 3 16 A = − B = ) 例 11 0. 1 2 lim 2 = − − + − → ax b x x x 求 a 和 b . 解法一 , ( ). 1 ( 1) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 → → + − + − + = + − − − − = + − b x x a x ax x x ax ax ax x x a +1 = 0, a = −1; 又 − a = b, b = 1. 解法二 − − + − − − = + − 2 1 2 2 2 2 x b a x x x ax b x x x ， 由 x → 且原式极限存在， 0 2 2 2 − − → + − x b a x x x ，即 1 1 2 1, lim 2 lim 2 2 2 = + + − = − = − + − = → → x x x b x b x x x a x x