《数学分析》上册教案 第六章微分中伯定理及其应用 海南大学数学系 §6.4函数极值与最大（小）值 教学章节：第六章微分中值定理一一6.4函数极值与最大（小）值 教学目标：会求函数的极值和最值 教学要求：会求函数的极值与最值：弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充 分条件：掌握求函数极值的一般方法和步骤：能灵活运用第一、第二充分条件判定 函数的极值与最值：会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条 件，也应用基本的了解 教学重点：利用导数求极值的方法 教学难点：极值的判定 教学方法：讲授法十演示例题 教学过程： 引言 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征 Fermat定理告诉我们：若函数f在点x,可导，且x,为f的极值点，则f(x)=0,即可导函数f 在点x有极值的话，必有∫"(x)=0进一步的问题是：如果y=fx)在点不可导，它有没有可能在 x点取得极值呢？回答是肯定的，例如y=K,在x=0不可导，但在x=0有极小值， 综上可见：极值点只可能是下述两种点：(1)∫(x)=0；(2)y=fx)在点x不可导 把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”如何来判定一个极值可疑点且又是真正 的极值点呢？这正是我们今天要解决的问题 一、极值判别 定理1（极值的第一充分条件）：设f在点x,连续，在某邻域U(x,8)内可导， (1)若当x∈(x。-6,x)时，"(x)≤0：当x∈(x,x+)时，f'()≥0，则f在点x取得最小 值】 (2)若当x∈(x-6,x)时，f"(x)20:当x∈(x,+)时，f(x)≤0，则f在点x取得最大 值： (3)若f"(x)在(。-6,x)和(x,x+6)内同号，则点x不是极值点. 3
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 §6.4 函数极值与最大（小）值 教学章节：第六章 微分中值定理——6.4 函数极值与最大（小）值 教学目标：会求函数的极值和最值. 教学要求：会求函数的极值与最值；弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充 分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定 函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值,对于取得极值的第三充分条 件,也应用基本的了解. 教学重点：利用导数求极值的方法 教学难点：极值的判定 教学方法：讲授法＋演示例题 教学过程： 引言 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位,而且也是函数性态的一个重要特征. Fermat 定理告诉我们：若函数 f 在点 0 x 可导,且 0 x 为 f 的极值点,则 0 f x ( ) 0 = ,即可导函数 f 在点 0 x 有极值的话,必有 0 f x ( ) 0 = .进一步的问题是：如果 y＝f(x)在点 0 x 不可导,它有没有可能在 0 x 点取得极值呢？回答是肯定的,例如 y＝|x|,在 x＝0 不可导,但在 x＝0 有极小值. 综上可见：极值点只可能是下述两种点：（1） 0 f x ( ) 0 = ；（2）y＝f(x)在点 0 x 不可导. 把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”.如何来判定一个极值可疑点且又是真正 的极值点呢？这正是我们今天要解决的问题. 一、极值判别 定理 1（极值的第一充分条件）：设 f 在点 0 x 连续,在某邻域 U( 0 x , )内可导, （1）若当 0 0 x x x − ( , ) 时, 0 f x ( ) 0 ；当 0 0 x x x + ( , ) 时, 0 f x ( ) 0 ,则 f 在点 0 x 取得最小 值； （2）若当 0 0 x x x − ( , ) 时, 0 f x ( ) 0 ；当 0 0 x x x + ( , ) 时, 0 f x ( ) 0 ,则 f 在点 0 x 取得最大 值； （3）若 f x ( ) 在 0 0 ( , ) x x − 和 0 0 ( , ) x x + 内同号,则点 0 x 不是极值点
《数学分析)上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 证明只证1)由假设及定理1可知，)在6-d,)内递增，在化，七+⊙内递减又f) 在连续，故有f)≤f).即f(x)在取得极大值. 例1求f)=(c+6x-l)的单调区间及极值。 f)=3+IP(x-+3x+yx-=《+0-2 3x-15 令f)=0,设驻点x=-1,i,另有不可导点x=1,它们将函数的定义域划分为 a-.品.层，0*国四个区间 列表讨论如下： (-0,-l) (1,+∞) f'(x) 0 0 不存在 (x) 非极值 极大佳 极小值 可见，在®及网)上严格递.在斤》上严格减品为函数的极大值点，极 大植药-片洁为温数的展个面在民个面为m=0,不是质值 若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法： 定理2（极值的第二充分条件）设f在点x的某邻域U(x,6)内一阶可导，在x=x处二阶 可导，且f"(x)=0,∫"(x)≠0，则有：(1)若"(x)0, 则f在x。出取得极小值 证明只证1)把f)在展开带Peano型余项的To1or公式得
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 证明 只证 1）由假设及定理 1 可知, f x( ) 在 0 0 ( , ) x x − 内递增,在 0 0 ( , ) x x + 内递减,又 f x( ) 在 0 x 连续,故有 0 f x f x ( ) ( ) .即 f x( ) 在 0 x 取得极大值. 例 1 求 2 3 3 f x x x ( ) ( 1) ( 1) = + − 的单调区间及极值. 解 2 1 2 2 3 3 3 1 3 2 ( 1) (11 7) ( ) 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3( 1) x x f x x x x x x − + − = + − + + − = − . 令 f x ( ) 0 = .设驻点 x =−1 , 7 11 x = ,另有不可导点 x =1 ,它们将函数的定义域划分为 ( , 1) − − , 7 ( 1, ) 11 − , 7 ( ,1) 11 , (1, ) + 四个区间. 列表讨论如下： x (− −, 1) −1 7 1, 11 − 7 11 7 , 1 11 1 (1, +) f x ( ) + 0 + 0 − 不存在 + f x ( ) 非极值 极大值 极小值 可见, f x( ) 在 7 ( , ) 11 − 及 (1, ) + 上严格递增,在 7 ( ,1) 11 上严格递减, 7 11 x = 为函数的极大值点,极 大值为 2 3 3 7 18 4 ( ) ( ) ( ) 11 11 11 f = . x =1 为函数的极小值点,极小值为 f (1) 0 = . x =−1 不是极值点. 若 f 是二阶可导函数,则有如下判别极值的方法： 定理 2（极值的第二充分条件） 设 f 在点 0 x 的某邻域 U( 0 x , )内一阶可导,在 x＝ 0 x 处二阶 可导,且 0 f x ( ) 0 = , 0 f x ( ) 0 ,则有：（1）若 0 f x ( ) 0 ,则 f 在 0 x 出取得极大值；（2）若 0 f x ( ) 0 , 则 f 在 0 x 出取得极小值. 证明 只证 1）把 f x( ) 在 0 x 展开带 Peano 型余项的 Taylor 公式得
《数学分析》上册教案 第六意微分中值定理及其应用 海自大学数学系 =f)+Xx-)+/2x-+-x 2 =f+'x-了+o-月 21 由此得对任意的x∈U(6)有 -)='2x-x+ox-P)="%2+o0x- 21 21 (*) +o与 这里o)为→名时的无穷小量，因而存在6>0当xeU(.cU,)时，2 )同号，故当八)0时，)在取得极小值。 当∫“()=0时，上述定理失效，但有： 注对于二阶导数无法判别的问题，可借助于更高阶的导数来判别. 定理3（极值的第三充分条件）设f在x,的某邻域内存在直到n一1阶导函数，在x,处n阶 可导，且(xo)=0,(k=1,2,n-1),(x)≠0，则(1)当n为偶数时，f在x,取得极值，且当 (x)0时，取极小值：(2)当n为奇数时，f在飞，不取得极值 证明（同上一定理，用Taor展开式）. 二、极值判别的应用举例 例2求f()=sinx+cosx在(0,2π)上的极值. 解
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 0 2 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ) 2! f x f x f x f x x x x x x x = + − + − + − 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (( ) ) 2! f x f x x x x x = + − + − . 由此得对任意的 0 x U x ( ) 有 0 0 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) [ (1)]( ) 2! 2! f x f x f x f x x x x x x x − = − + − = + − （*） 这里 (1) 为 0 x x → 时的无穷小量,因而存在 0 当 0 0 x U x U x ( , ) ( ) 时, 0 ( ) (1) 2! f x + 与 0 f x ( ) 同号,故当 0 f x ( ) 0 时,（*）式右端取负值,从而 0 x U x ( , ) 时, 0 f x f x ( ) ( ) 0 − ,即 f x( ) 在 0 x 取得极大值. 同样,当 0 f x ( ) 0 时, f x( ) 在 0 x 取得极小值. 当 0 f x ( ) 0 = 时,上述定理失效,但有： 注 对于二阶导数无法判别的问题,可借助于更高阶的导数来判别. 定理 3（极值的第三充分条件） 设 f 在 0 x 的某邻域内存在直到 n－1 阶导函数,在 0 x 处 n 阶 可导,且 ( ) 0 ( ) 0 k f x = ,（k＝1,2,.,n－1）, ( ) 0 ( ) 0 n f x ,则（1）当 n 为偶数时,f 在 0 x 取得极值,且当 ( ) 0 ( ) 0 n f x 时,取极大值；当 ( ) 0 ( ) 0 n f x 时,取极小值；（2）当 n 为奇数时,f 在 0 x 不取得极值. 证明 （同上一定理,用 Taylor 展开式）. 二、极值判别的应用举例 例 2 求 f x x x ( ) sin cos = + 在 (0, 2 ) 上的极值. 解 f x x x ( ) cos sin 0 = − = , 由此得 4 x = , 5 4 x = . f x x x ( ) sin cos = − − , 故
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系■ f经)=-反0 由此得 在=舌取得极大值得=5。 π 在行取得报小位停=-5 5元 例3求f八)=(-的极值。 解因f)=r(x-(7x-4,故x=0,1,7为)的驻点.x7为极小值点 因/)=6rx-X7r-8r+2,故f0)=r0=0.9>0 又f(x)=6x(35x3-60x+30x-4),因此^(0)=0，∫0四)>0，n为奇数，故x=1不是f(x)的 极值点.因f()=2435x-45r+15x-),故0)0 下面直接用定义，由极限的保号性，存在6>0，当x∈U(0,)时，1-cosx 此时 1-c0sx>0,故f)>0即f)>f0),因而f0)为f)的极小值. 6
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 ( ) 2 0 4 f = − , 5 ( ) 2 0 4 f = . 由此得 f x( ) 在 4 x = 取得极大值 ( ) 2 4 f = ； f x( ) 在 5 4 x = 取得极小值 5 ( ) 2 4 f = − . 例 3 求 4 3 f x x x ( ) ( 1) = − 的极值. 解 因 3 2 f x x x x ( ) ( 1) (7 4) = − − ,故 x = 0 ,1, 4 7 为 f x( ) 的驻点. 4 7 x = 为极小值点. 因 2 2 f x x x x x ( ) 6 ( 1)(7 8 2) = − − + ,故 f f (0) (1) 0 = = , 4 ( ) 0 7 f . 又 3 2 f x x x x x ( ) 6 (35 60 30 4) = − + − ,因此 f (0) 0 = , f (1) 0 , n 为奇数,故 x =1 不是 f x( ) 的 极值点.因 (4) 3 2 f x x x x ( ) 24(35 45 15 1) = − + − ,故 (4) f (0) 0 ,且 n 为偶数,所以 f x( ) 在 x = 0 取得极 大值. 综上所述, f (0) 0 = 为极大值, 4 4 3 6912 4 3 ( ) ( ) ( ) 7 7 7 823543 f = − = − 为极小值. 例 4 f x( ) 在 U (0) 内连续, 0 ( ) lim 2 1 cos x f x → x = − ,求证 f (0) 为极小值. 证明 0 0 ( ) (0) lim ( ) lim(1 cos ) 0 2 0 1 cos x x f x f f x x → → x = = − = = − . 题中没有给出 f x( ) 的可导性,因而不能用极值充分条件来判别. 下 面 直 接用 定义 , 由极 限 的保 号 性, 存在 0 , 当 x U (0, ) 时 , ( ) 0 1 cos f x x − , 此 时 1 cos 0 − x ,故 f x( ) 0 即 f x f ( ) (0) ,因而 f (0) 为 f x( ) 的极小值
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海自大学数学系 三、最大值与最小值 在实际问题中，我们经常需要考虑如何花费最小代价去获取最大收益问题，如生产易拉罐时， 要考虑在一定容积下，如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？又如一根圆木锯成矩形 横梁时，怎样选择矩形的长和宽，才能使横梁的强度最大？这类“最大”“最小”“最省”的问题， 在数学上可归结为“最大值最小值问题”，简称为“最值问题” 由连续函数在[a,b]上的性质，若fe[a,b]一f在[ab]上一定有最大、最小值这为求连续函 数的最大、小值提供了理论保证问题是如何求出最大、小值呢？ 函数在a,b上最大（小）值可能在x=a或b取得，也可能在(a,b)内取到，若在(a,b)内取得，则最大 (小)值点一定是极大（小）值点由于极值是在驻点与不可导点中产生的，于是，为求f在ab] 上的最大（小）值，可按以下步骤进行： 1、解方程八)=0，求出它的根，x,并算出)，3)，.，x): 2、求不可导点，并算出)，f),.,f) 3、求出区间端点的函数值f(),f(b): 4、比较)，)，)，)，代)的大小，最大一个即为最大值，最 小的一个即为最小值. 例1求函数)=-（伏2-）在区间-2,21上的最大值与最小值 解f)eC-2,2,故f四必存在最大值与最小值. -号-r-2-2- 32-,令=0得驻点方，不可导点 0,因侧务质藏计m-1,方行m-1间-有5，数 它们的大小，可知，)在区间-2,2上的最大值为诉，最小值为诉-5. 例2设有一块边长为的正方行铁皮，从其各角截去同样的小正方形，作成一个无盖方匣
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 三、最大值与最小值 在实际问题中,我们经常需要考虑如何花费最小代价去获取最大收益问题,如生产易拉罐时, 要考虑在一定容积下,如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？又如一根圆木锯成矩形 横梁时,怎样选择矩形的长和宽,才能使横梁的强度最大？这类“最大”“最小”“最省”的问题, 在数学上可归结为“最大值最小值问题”,简称为“最值问题”. 由连续函数在[a,b]上的性质,若 f a b [ , ] f 在[a,b]上一定有最大、最小值.这为求连续函 数的最大、小值提供了理论保证,问题是如何求出最大、小值呢？ 函数在[a,b]上最大（小）值可能在 x＝a 或 b 取得,也可能在(a,b)内取到,若在(a,b)内取得,则最大 （小）值点一定是极大（小）值点.由于极值是在驻点与不可导点中产生的,于是,为求 f 在[a,b] 上的最大（小）值,可按以下步骤进行： 1、解方程 f x ( ) 0 = ,求出它的根 1 x , 2 x , , n x 并算出 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x ； 2、求不可导点 1 x , 2 x , , n x 并算出 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x ； 3、求出区间端点的函数值 f a( ) , f b( ) ; 4、比较 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x , 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x 的大小,最大一个即为最大值,最 小的一个即为最小值. 例 1 求函数 2 1 3 3 2 f x x x ( ) ( 1) = − − 在区间 [ 2,2] − 上的最大值与最小值. 解 f x C ( ) [ 2,2] − ,故 f x( ) 必存在最大值与最小值. 2 4 1 2 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 2 2 1 2[( 1) ] ( ) ( 1) (2 ) 3 3 3 ( 1) x x f x x x x x x − − − − = − − = − , 令 f x ( ) 0 = 得驻点 1 2 x = , 不可导点 x = 0, x =1.因 f x( ) 为偶函数,仅需计算 f (0) 1 = , 1 3 ( ) 4 2 f = , f (1) 1 = , 3 3 f (2) 4 3 = − .比较 它们的大小,可知, f x( ) 在区间 [ 2,2] − 上的最大值为 3 4 ,最小值为 3 3 4 3 − . 例 2 设有一块边长为 a 的正方行铁皮,从其各角截去同样的小正方形,作成一个无盖方匣
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 问截去多少方能使作成的匣子之容积最大？ 解如图：用x表示截去的小正方形的边长， 则得盒子容积为V=(a-2x,x∈0，引，于是问题归结为求函数 r=a-2x在0引上的最大值，因P'=(a-2xa-6),P”=0在 ®9内有唯解后.在骑点=0，一时.r=0,黄r必在后时 得最大值会=27)，即当四角截去边长为6的正方形时，所做成的合子空 例3某厂用铝合金生产装饮料用的易拉罐，为了安全，顶盖的厚度是罐身（侧面与底部）厚 度的三倍（罐身整快材料，顶盖另装），问如何确定它的底面半径和高才能使用料最省？ 解设罐身的厚度为6，则项盖的厚度为38.记易拉罐的容积为'=常数，底面半径为r,高 为京.于是，篷身的用科（体积）为-矿+2内=r+2.面限盖的用料为 U,)=36r,因此问题归结为求函数 U0)=U(r)+U,0）=64r2+25 0,+切)中的最小值，可=24r-之因此U在0，+0)只有唯一零点04红，而没 不可号点又：2r宁>0re®网，放不是0的是小值点.这时相应的高为 .即，当它的高为底面直径的2倍时用料最省。 同样的方法可以推出，若圆柱形有盖容器的外表面是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的 底面直径和高相等的时候用料最省，许多圆柱形的日常用品，都是采用这样的比例（或近似这样 的比例)设计的. 最值问题也在社会科学尤其是经济科学中得到了广泛应用.因为经济活动的最重要目标之 一就是最小的花费去赢取最大的利润，（经济学中的“最大利润原理”）这里就不一一举例了. 8
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8 问截去多少方能使作成的匣子之容积最大？ 解 如图：用 x 表示截去的小正方形的边长, 则得盒子容积为 2 V x a x = − ( 2 ) , 2 [0, ]a x ,于是问题归结为求函数 2 V x a x = − ( 2 ) 在 2 [0, ]a 上的最大值 , 因 V a x a x = − − ( 2 )( 6 ) , V = 0 在 2 (0, )a 内有唯一解 6 a x = ,在端点 x = 0 , 2 a x = 时,V = 0 ,故 V 必在 6 a x = 时 取得最大值（ 3 2 ( ) 6 27 a a V = ）.即当四角截去边长为 6 a 的正方形时,所做成的盒子容积最大. 例 3 某厂用铝合金生产装饮料用的易拉罐,为了安全,顶盖的厚度是罐身（侧面与底部）厚 度的三倍（罐身整快材料,顶盖另装）,问如何确定它的底面半径和高才能使用料最省？ 解 设罐身的厚度为 ,则顶盖的厚度为 3 .记易拉罐的容积为 V = 常数,底面半径为 r ,高 为 2 V h r = ,于是,罐身的用料（体积）为 2 2 1 ( ) ( 2 ) ( 2 ) V U r r rh r r = + = + ,而顶盖的用料为 2 2 U r r ( ) 3 = ,因此问题归结为求函数 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (4 2 ) V U r U r U r r r = + = + 在 (0, ) + 中的最小值. 2 ( ) 2 (4 ) V U r r r = − ,因此 U r ( ) 在 (0, ) + 只有唯一零点 3 0 4 V r = ,而没有 不可导点.又 3 ( ) 4 (2 ) 0 V U r r = + , r + (0, ) ,故 0 r 是 U r( ) 的最小值点.这时相应的高为 3 0 0 0 2 2 0 0 4 4 V r h r r r = = = .即,当它的高为底面直径的 2 倍时用料最省. 同样的方法可以推出,若圆柱形有盖容器的外表面是用厚薄相同的材料制成的,那么当它的 底面直径和高相等的时候用料最省,许多圆柱形的日常用品,都是采用这样的比例（或近似这样 的比例）设计的. 最值问题也在社会科学尤其是经济科学中得到了广泛应用.因为经济活动的最重要目标之 一就是最小的花费去赢取最大的利润,（经济学中的“最大利润原理”）这里就不一一举例了
《数学分析》上册教案 第六章微分中伯定理及其应用 海自大学数学系 利用函数的最值性可以证明一些不等式. 例证明不等式”-ax≤1-a,x>0,00即x-ax≤1-a,x>0 例讨论方程xhx+a=0有几个实根. 解设创-xa,=h,/-0行装一壁盒日 当0r时.>0，由此符f在位网心上严格港猫 放四在“处取最小值最小值为伯=a一日 又mfx)=im(xnx+a)=amf)=imxlhx+a)=+ 故1)当> 时，fx)=0无实根 2》当”一时=0仅有-个实根-日
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 9 利用函数的最值性可以证明一些不等式. 例 证明不等式 x x 1 − − , x 0 , 0 1 . 证 令 f x x x ( ) = − ,则 1 f x x ( ) − = − .令 f x ( ) 0 = 得唯一驻点 x =1.又 2 1 1 ( ) ( 1) ( 1) 0 x x f x x − = = = − = − ,所以 f (1) 1 = − 为极大值,从而是 f x( ) 在 (0, ) + 内 的最大值（因为 f x( ) 连续）.故 f x f ( ) (1) , x 0 即 x x 1 − − , x 0 . 例 讨论方程 x x ln 0 + = 有几个实根. 解 设 f x x x ( ) ln = + , f x x ( ) ln 1 = + , f x ( ) 0 = 得唯一驻点 1 x e = . 当 1 0 x e 时, f x ( ) 0 ,由此得 f x( ) 在 1 (0, ) e 上严格递减； 当 1 x e 时, f x ( ) 0 ,由此得 f x( ) 在 1 ( , ) e + 上严格递增. 故 f x( ) 在 1 x e = 处取最小值,最小值为 1 1 f ( ) e e = − . 又 0 0 lim ( ) lim( ln ) x x f x x x → → + + = + = , lim ( ) lim ( ln ) x x f x x x →+ →+ = + = + . 故 1）当 1 e 时, f x( ) 0 = 无实根； 2）当 1 e = 时, f x( ) 0 = 仅有一个实根 1 x e =
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系■ 3)当0a 时.方程有两个实根.在与。 内各有一个 4当a≤0时.仅有一-个实根.在付m内
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 10 3）当 1 0 e 时,方程有两个实根,在 1 (0, ) e 与 1 ( , ) e + 内各有一个. 4）当 0 时,仅有一个实根,在 1 ( , ) e + 内