《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 §3函数极限存在条件 教学章节：第三章函数极限一一§3函数极限存在条件 教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性 教学要求：学握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则 教学难点：海涅定理及柯西准则运用. 教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用. 教学过程： 引言 在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯 西收敛准则”我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？ 或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任 务 本节的结论只对x→x,这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型 的函数极限也是成立的. 首先介绍一个很主要的结果一一海涅(Heine)定理（归结原则） 一、归结原则 定理1(Heine定理）设f在V(x,:)内有定义，mf)存在分对任何 含于U()且以x为极限的数列{x},极限imf(x)都存在且相等。 证明必要性：在U化)中任取序列，}，且血，=，要证 m,)=A.V6>0,由m)=A,36>0,使得当00，由，→，3N,使得当m>N时，有0N时，有/c,)-A0,6>0， 1
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 §3 函数极限存在条件 教学章节：第三章 函数极限——§3 函数极限存在条件 教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性. 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路. 教学重点：海涅定理及柯西准则. 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用. 教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用. 教学过程： 引言 在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯 西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？ 或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任 务. 本节的结论只对 0 x x → 这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型 的函数极限也是成立的. 首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）. 一、归结原则 定理 1（Heine 定理） 设 f 在 0 0 U x( ; ) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在 对任何 含于 0 0 U x( ; ) 且以 0 x 为极限的数列 xn ，极限 lim ( ) n n f x → 都存在且相等. 证 明 必要性 : 在 ( ) U x0 中任取序列 { }n x ， 且 0 lim x x n n = → ，要证 f xn A n = → lim ( ) . 0 ，由 f x A x x = → lim ( ) 0 ， 0 ，使得当 0 x − x0 时，有 f (x) − A .对于 0 ，由 0 x x n → ，N ，使得当 n N 时，有 0 xn − x0 ， 于是当 n N 时，有 f x − A n ( ) ，即 f xn A n = → lim ( ) . 充分性:如果不然，即 0 x → x 时， f (x) 不以 A 为极限，则 0 0， 0
《数学分析》上册教案 第三意函数极限 海南大学教学系 ∈U)0<k-x<6,使得/)-42. 令8=日a=12,则e.0c水-小水日，使得)42 对于序列，}，x→，xU(6),但广，)-4≥，显然与条件 mf,)=A矛盾. 判断盘儿不存在之方法：在「化)中找到两个序列代和都趋向于 x。,两个极限卧)和血都存 在，但不相等，这实际上是充要条件，充 分性的证明用本节定理就行了，必要性的 证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我 们目前也只用到它的充分性. 注1{fx,)}是数列，limf(x,)是数列的极限.所以这个定理把函数f(x)的 极限归结为数列{fx)}的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此， 可由数列极限的性质来推断函数极限性质. 注2从Heine定理可以得到一个说明1mfx)不存在的方法，即“若可找 到一个数列{化}，m,=,使得mf化，)不存在：”或“找到两个都以x为 极限的数列{{，}，使mfx,mfx,)都存在但不相等，则mf)不 存在. 例1证明1 imsin二不存在. 证明◆0,2→0，m安0 当然趋于0， 安，当然于1，当0时设极限 1 注3对于x→x。,x→x。,x→+0，x→-0这四种类型的单侧极限，相应的 归结原则可表示为更强的形式.如当x→x,时有：
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 x U0 (x0 ) 0 x − x0 ，使得 0 ( ) f x − A . 令 ( 1,2, ) 1 = n = n ，则 n x U x x x n n 1 0 ( 0 ) , 0 − 0 ，使得 0 f (x ) − A n . 对 于 序 列 { }n x ， 0 x x n → ， ( ) n 0 x U x ， 但 0 f (x ) − A n ， 显 然 与 条 件 f xn A n = → lim ( ) 矛盾. 判断 lim ( ) 0 f x x→x 不存在之方法：在 ( ) U x0 中找到两个序列 { }n x 和 { }n x 都趋向于 0 x ，两个极限 lim ( ) n n f x → 和 lim ( ) n n f x → 都存 在，但不相等，这实际上是充要条件，充 分性的证明用本节定理就行了，必要性的 证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我 们目前也只用到它的充分性. 注 1 f x( ) n 是数列， lim ( ) n n f x → 是数列的极限.所以这个定理把函数 f x( ) 的 极限归结为数列 f x( ) n 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此， 可由数列极限的性质来推断函数极限性质. 注 2 从 Heine 定理可以得到一个说明 0 lim ( ) x x f x → 不存在的方法，即“若可找 到一个数列 xn， 0 lim n n x x → = ，使得 lim ( ) n n f x → 不存在；”或“找到两个都以 0 x 为 极限的数列 x x n n , ，使 lim ( ),lim ( ) n n n n f x f x → → 都存在但不相等，则 0 lim ( ) x x f x → 不 存在. 例 1 证明 0 1 limsin x→ x 不存在. 证明 令 0 2 1 = → n xn ， 0 (2 ) 1 2 1 → + = n xn ， 0 1 sin = n x , 当然趋于 0 ， 1 1 sin = n x , 当然趋于 1 ，故 x 1 sin 当 x →0 时没极限. 注 3 对于 0 0 x x x x x x , , , → → → + → − + − 这四种类型的单侧极限，相应的 归结原则可表示为更强的形式.如当 0 x x → + 时有： y x
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 定理2设函数∫在，的某空心邻域U,)内有定义，mx)=A台对 任何以x,为极限的递域数列{x}cU(x),有1imf(x)=A. 二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。 现以x→x。这种类型为例叙述如下： 定理3设∫为定义有U(,)上的单调有界函数，则右极限mf)存在， 注定理3可更具体地叙述如下： ∫为定义在Ux)上的函数，若()了在Ux,)上递增有下界，则m) 存在，且mf)=x):(2)f在U)上递减有上界，则mf)存 在，且mf)=R,. 更一般的有： 定理设x)在5()上定义，且)单调上升，则。存在且等于 82fw 正明令=黑，当集合四1e化沙有上界斯.Ke 当它无上界时，A=+0 1)A0,由上确界定义，3xeU6),使得fx)>A-￡，取 6=->0,则当0A-￡，再由上确界定义 A+E>f)>A-e或)-A0,3xeU),使得fx)>M.取 3
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 定理 2 设函数 f 在 0 x 的某空心邻域 0 0 U x( ) + 内有定义， 0 lim ( ) x x f x A → + = 对 任何以 0 x 为极限的递减数列 0 0 ( ) n x U x + ，有 lim ( ) n n f x A → = . 二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理. 现以 0 x x → + 这种类型为例叙述如下: 定理 3 设 f 为定义有 0 0 U x( ) + 上的单调有界函数，则右极限 0 lim ( ) x x f x → + 存在. 注 定理 3 可更具体地叙述如下： f 为定义在 0 0 U x( ) + 上的函数，若（1） f 在 0 0 U x( ) + 上递增有下界，则 0 lim ( ) x x f x → + 存在，且 0 0 0 ( ) lim ( ) inf ( ) x x x U x f x f x + → + = ；（2） f 在 0 0 U x( ) + 上递减有上界，则 0 lim ( ) x x f x → + 存 在，且 0 0 0 ( ) lim ( ) sup ( ) x x x U x f x f x + + → = . 更一般的有： 定理 设 f (x) 在 ( ) 0 0 U x − 上定义，且 f (x) 单调上升，则 lim ( ) 0 0 f x x→x − 存在且等于 sup ( ) ( ) 0 0 f x x U x − . 证明 令 A = sup ( ) ( ) 0 0 f x x U x − , 当集合 { ( ) | ( )} 0 0 f x x U x − 有上界时, A + ， 当它无上界时， A = + . 1) A + 0 , 由 上 确 界 定 义 ， x ( ) 0 0 U x − , 使 得 f (x) A − , 取 = x0 − x 0 ，则当 0 x0 − x 时，由函数单调上升得 f (x) f (x) A − , 再由上确界定义 A + f (x) A − 或 f (x) − A , 即 lim ( ) sup ( ) ( ) 0 0 0 0 f x A f x x U x x x − → − = = . 2) A = + 因集合无上界，对 M 0 , x ( ) 0 0 U x − , 使 得 f (x) M . 取
《数学分析》上册教案 第三意函数极限 海南大学数学系 6=x-x>0,则当0M，即 ,)=o-Rf因 类似地我们有：f纠在U)定义，且f)单调下降，则 m,八)=成。，④.以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的 表述和证明. 三、函数极限的Cauchy收敛准则 定理4(Cauchy准则)设函数f在U(x;8)内有定义，limf(x)存在一 任给e>0,存在正数8(0,36>0(60,36>0(8m时有0da-ak6 0a。-ak6 从而1/a,)一a.水由数列的Camc收敛准则，巴/a)存在设为 血a,)=b设，1cia,6)为另一数列，且血6，=0则同上可得mf6,)存 在，设为血6，)=C,考忠数列
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 = x0 − x 0 ，则当 0 x0 − x 时 , 有 f (x) f (x) M , 即 lim ( ) sup ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x x U x x x − → − = + = . 类 似 地 我 们 有 : f (x) 在 ( ) 0 0 U x − 定义，且 f (x) 单调下降 , 则 lim ( ) inf ( ) 0 ( ) 0 0 0 f x f x x x x U x − → − = , 以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的 表述和证明. 三、 函数极限的 Cauchy 收敛准则 定理４（Cauchy 准则） 设函数 f 在 0 0 U x( ; ) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在 任给 0 ，存在正数 ( ) ，使得对任何 0 0 x x U x , ( ; ) 有 | ( ) ( ) | f x f x − . 证明 ) ( 利用极限的定义 ) 设 f x b x a = → lim ( ) ，则 0， 0 （ ）当 0 | x − a | 时有 | f (x) − b | / 2 ,从而当 0 | x − a | ，0 | x − a | 时有 | f (x ) − f (x ) || f (x − b) | + | f (x ) − b | / 2 + / 2 = ) ( 利用 Heine 归并原则 ) 设 { }n a ( , ) ' U a 且 an a n = → lim ，由假设， 0， 0 （ ），只要 x ， x U(a, ) | f (x ) − f (x ) | ,对此 ， 0 n ，当 0 m,n n 时有 0 | am − a | ， 0 | an − a | . 从而 | ( ) − ( ) | n am f a f 由数列的 Cauchy 收敛准则， lim ( ) n n f a → 存在设为 f an b n = → lim ( ) 设 { }n b ( , ) ' U a 为另一数列，且 bn a n = → lim 则同上可得 lim ( ) n n f b → 存 在,设为 f b c n n = → lim ( ) ,考虑数列
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 {Cn}={a,b,a2,b2.,an,bn,.} 易见C}cia,6)且mC.=a 如上所证，血C,)存在，作为C,》的两个子列/a,》、6.》必收敛 于同一极限，即b=c 因此由归结原则得f)=6 注按照Cauchy准则，可以写出Iimf(x)不存在的充要条件：存在e>0, 对任意0)，存在x,x'eU(x:)使得1fx)-fxP6. 例用Cauchy准则说明imsin上不存在. 例5设在[a,+o)上函数fx),则极限mf()存在，一f)在 [a,+o)上有界.（简证，留为作业） 综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具. 作业教材P551,2,3,4,6. 提示第1题用反证法，第4题用Heine归并原则
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 { } { , , , , , , } Cn = a1 b1 a2 b2 an bn 易见 { } Cn ( , ) ' U a 且 Cn a n = → lim 如上所证， lim ( ) n n f C → 存在，作为 { ( )} Cn f 的两个子列 { ( )} an f 、{ ( )} bn f 必收敛 于同一极限，即 b = c . 因此由归结原则得 f x b x a = → lim ( ) . 注 按照 Cauchy 准则，可以写出 0 lim ( ) x x f x → 不存在的充要条件：存在 0， 对任意 ( 0) ，存在 0 0 x x U x , ( ; ) 使得 | ( ) ( ) | f x f x − . 例 用 Cauchy 准则说明 0 1 limsin x→ x 不存在. 证明 取 . 2 1 , 1 + = = n x n x 例 5 设在 [ a , + ) 上函数 f (x) ↘. 则极限 lim f (x) x→+ 存在, f (x) 在 [ a , + ) 上有界. ( 简证, 留为作业 ). 综上所述：Heine 定理和 Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具. 作业 教材 P55 1，2，3，4，6. 提示 第 1 题用反证法, 第 4 题用 Heine 归并原则