《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 §5.5微分 教学章节：第五章导数与微分一一§5.5微分 教学目标：1、准确学握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微 分 2、弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记 基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。 3、能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题. 教学要求：1、清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释：能从定义出发求某些 简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分. 2、明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微 分求导数.会应用微分的实际意义解决某些计算问题， 教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系 教学难点：运用微分的意义解决实际问题 教学过程： 一、微分的概念 (一)引言 先考察一个具体的问题，推得一般情形 (二)徽分的定义 定义1函数y=f(x)定义在点x的某邻域u(x)内.当给x。一个增量△x,x。+△x∈U(x)时， 相应地得到函数的增量为Ay=f(x+△)-f(x).如果存在常数A,使得Ay能有 △y=A△r+o(△x) (1) 则称函数f在点x可微，并称(I)中右端第一项A△x为f在点x的微分，记作： dy=AAx or df(x)=AAx 定义2若y=f(x)在区间I上每一点都可微，则称f为I上的可微函数.函数y=f(x)在I上 任一点x处的微分记作 d少=Ax)△x x∈I 注(1)山依赖于x和△r,但x与△r无关：(2)可微与可导的关系见下面的定理。 定理函数y=)在x点可微的充要条件：函数y=f)在x点可导，且
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 1 §5.5 微 分 教学章节：第五章 导数与微分——§5.5 微 分 教学目标：1、准确掌握微分的概念,明确其几何意义,能从定义出发求一些简单函数的导数与微 分. 2、弄清可导与可微之间的一致及其相互关系,熟悉微分的运动性质和微分法则,牢记 基本的初等函数的微分公式,并熟练进行初等函数的微分运算. 3、能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题. 教学要求：1、清楚地理解函数在一点的微分的定义,并给出其几何解释；能从定义出发求某些 简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分. 2、明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性,并会利用导数为微分、利用微 分求导数.会应用微分的实际意义解决某些计算问题. 教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系 教学难点：运用微分的意义解决实际问题 教学过程： 一、微分的概念 (一) 引言 先考察一个具体的问题,推得一般情形. (二) 微分的定义 定义 1 函数 y=f(x)定义在点 0 x 的某邻域 0 u x( ) 内.当给 0 x 一个增量 x , 0 0 x x U x + ( ) 时, 相应地得到函数的增量为 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) .如果存在常数 A,使得 y 能有 = + y A x o x ( ) （1） 则称函数 f 在点 0 x 可微,并称（1）中右端第一项 A x 为 f 在点 0 x 的微分,记作： 0 x x dy A x = = or 0 ( ) x x df x A x = = 定义 2 若 y=f(x)在区间 I 上每一点都可微,则称 f 为 I 上的可微函数.函数 y=f(x)在 I 上 任一点 x 处的微分记作 dy A x x = ( ) x I 注 （1） dy 依赖于 x 和 x ,但 x 与 x 无关；（2）可微与可导的关系见下面的定理. 定理 函数 y = f (x) 在 x 点可微的充要条件：函数 y = f (x) 在 x 点可导,且
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 dy=f(x)Ax. 证明必要性，设y=)在x点可微，即 △y=fx+△x)-f(x)=A△r+o(△x) 则是-4+→4 Ax 当△x→0时，故f"(x)存在，且f(x)=A. 充分性设=回在点可导，即四血品存在 则 -兴-fx1=0 或 -山1=0 △r 即 △y-f'(x)Ar+o(Ax) △y=f'(x)Ax+o(△x) 故y=f)在x点可微，且d=fx)Ar (3)令y=x,y=1,dy=dx=△r,即自变量x的 微分是dr=△r,所以dy=f'(x)△r.从这可看出符号 器 的合理性，从而导数也称为微商，即两个微分 之商. (4)对可导函数y=f(x),其微分为=A△r=Ad:=f(x)k.例： d(e)=(e")'dx=e'dx:d(x2)=(x2)'dx=2xdx:d(sinx)=(sinx)'dx cosxdx (5)对可导函数y=fx),有少=了x)冰，从而有血=f,即函数的导数是函数微分与自 dx 变量微分的商（导数即微商）· (三)微分的几何意义是在局部以直代曲，如图。 dx=△r=MN dy=f'(x)dx=KN △y=PN=dy+PK PK=△y-dy=o(△x) 当△x充分小时，近似地认为PW等于K,即在x点局部，可用直线代替曲线
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 d y = f (x)x . 证明 必要性, 设 y = f (x) 在 x 点可微,即 y = f (x + x) − f (x) = Ax + o(x) 则 A x o x A x y → = + ( ) 当 x →0 时,故 f (x) 存在,且 f (x) = A . 充分性, 设 y = f (x) 在 x 点可导,即 x y f x x = →0 ( ) lim 存在. 则 lim [ ( ) ] 0 0 − = → f x x y x 或 ] 0 ( ) lim [ 0 = − → x y f x x x 即 y − f (x)x + o(x) y = f (x)x + o(x) 故 y = f (x) 在 x 点可微,且 d y = f (x)x . （3）令 y = x , y = 1 , d y = d x = x , 即自变量 x 的 微分是 d x = x ,所以 d y = f (x)x . 从这可看出符号 f (x) d x d y = 的合理性,从而导数也称为微商,即两个微分 之商. （4）对可导函数 y＝f(x),其微分为 dy A x Adx f x dx = = = ( ) .例： ( ) ( ) x x x d e e dx e dx = = ； 2 2 d x x dx xdx ( ) ( ) 2 = = ； d x x dx xdx (sin ) (sin ) cos = = （5）对可导函数 y=f(x),有 dy f x dx = ( ) ,从而有 ( ) dy f x dx = ,即函数的导数是函数微分与自 变量微分的商（导数即微商）. (三) 微分的几何意义是在局部以直代曲,如图. d x = x = MN d y = f (x)d x = KN y = PN = d y + PK PK = y − d y = o(x) . 当 x 充分小时,近似地认为 PN 等于 KN ,即在 x 点局部,可用直线代替曲线. 0 M N K P
三预分的远法刘 第五章导数与微分 海南大学数学系 (I)du(x)±vx=du(x)±d(x): (2)dlu(x)v(x=v(x)du(x)+u(x)dv(x): (3)d)du)-a)dv() Lx)] v(x) (4)dfgx]=f"()g'(x)dk,其中u=g(x). 注在(4)中，由于dM=g()=g'(xk,dfgx=d/=fud.即(4)式： 小=∫(w)g'(x)k不仅在x为自变量时成立，当它是另一个可微函数的因变量时也成立. 例1求y=x2Inx+cosx2的微分 例2求y=em+,的微分 三、一阶微分形式的不变性 考察复合函数y=f,u=(),y=八g(x,求微分 dy=fg(x)lg'(x)dx=f(u)du 观察看出，对y=(四求微分时，不管“是自变量还是函数，所得结果的形式是不变的，这 个性质称为一阶微分形式的不变性.它为一阶微分形式所独有，对高阶微分就不成立了· 考察函数y=f(x),其一阶微分dy=f'(xdx,这时x,dx是独立变量，即dy是x和dx的函 数， d'y=d(dy)=(f(x)dx)'dx =f"(xdx)子 =f"(x)dx2 这里dr2=(dw)是一种简单记法，不要误解成d(r)=2xdx.在(x1xy计算中，把dx看成 常数，得到f"(xdx,一般地可得到d严y=f(dx”,这是n阶微分，这对理解记号 )a作为高阶微商，即高阶导数就很自公 对高阶微分，我们有 d"(u±v)=d"u±d"v. d(w)-Ecidud' 如果有复合函数：y=f四，u=8(x),我们有d少y=f代md”,即一阶微分有形式不变性. 3
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 二、微分的运算法则 （1） d u x v x du x dv x [ ( ) ( )] ( ) ( ) = ； （2） d u x v x v x du x u x dv x [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) = + ； （3） 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x du x u x dv x d v x v x − = ； （4） d f g x f u g x dx [ ( )] ( ) ( ) = ,其中 u g x = ( ) . 注 在（4）中,由 于 du dg x g x dx = = ( ) ( ) , d f g x d f u f u du [ ( )] [ ( )] ( ) = = .即（4 ）式： dy f u g x dx = ( ) ( ) 不仅在 x 为自变量时成立,当它是另一个可微函数的因变量时也成立. 例 1 求 2 2 y x x x = + ln cos 的微分 例 2 求 sin( ) ax b y e + = 的微分 三、一阶微分形式的不变性 考察复合函数 y = f (u) , u = g(x) , y = f [g(x)] , 求微分 d y = f [g(x)]g(x)d x = f (u)du . 观察看出, 对 y = f (u) 求微分时,不管 u 是自变量还是函数, 所得结果的形式是不变的,这 个性质称为一阶微分形式的不变性.它为一阶微分形式所独有,对高阶微分就不成立了. 考察函数 y = f (x) ,其一阶微分 d y = f (x)d x ,这时 x , d x 是独立变量,即 d y 是 x 和 d x 的函 数, 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) f x d x f x d x d y d d y f x d x d x = = = = 这里 2 2 d x = (d x) 是一种简单记法,不要误解成 d(x ) = 2x d x 2 .在 ( f (x)d x) 计算中,把 d x 看成 常 数 , 得 到 2 f (x)(d x) , 一般地可得到 n n n d y f (x)d x ( ) = , 这 是 n 阶微分 , 这对理解记号 n n n d x d y f (x) = ( ) 作为高阶微商,即高阶导数就很自然了. 对高阶微分,我们有 d u v d u d v n n n ( ) = , d uv C d u d v n k k k k n n = − = 0 ( ) , 如果有复合函数： y = f (u) , u = g(x) ,我们有 d y = f (u)du ,即一阶微分有形式不变性
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 d2y=d(f'(u)du) =df'(u)du+f'(u)d(du) =f"(uXdu)+f(u)d'u =f"(u)du+f(u)d'u 一般地当“=()不是线性函数时，d“≠0，所以二阶（从而二阶以上）微分没有形式不变 性.事实上d产u=0当且仅当u=+b,即线性函数. 微分的定义告诉我们它可以用来做近似计算，这在后续计算方法课程中还要详细讲解。 由于一阶微分有形式不变性，我们有如下微分表： de=0 du"=au"du da"=a"lnadu dbgd dsin u=cosudu dcosu=-sin udu digu=cos du dctgu-sinu du du du d arcos dar-7物 dshu=chudu dchu=shudu dh加- d Arshu=du+vm产+i)=du v+u
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 4 f u du f u d u f u du f u d u d f u du f u d du d y d f u du 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) = + = + = + = 一般地当 u = g(x) 不是线性函数时, 0 2 d u ,所以二阶（从而二阶以上）微分没有形式不变 性.事实上 0 2 d u = 当且仅当 u = ax +b ,即线性函数. 微分的定义告诉我们它可以用来做近似计算,这在后续计算方法课程中还要详细讲解. 由于一阶微分有形式不变性,我们有如下微分表： d c = 0 du u du −1 = da a adu u u = ln du u e d u a a log log | |= d sin u = cosudu d cosu = −sin udu u du d tg u 2 cos = u du d ctg u 2 sin = − 2 1 arcsin u du d u − = 2 1 arccos u du d u − = − 2 1 u du d arctg u + = 2 1 u du d arcctg u + = − d shu = chudu dchu = shudu ch u du d thu 2 = 2 2 1 ln( 1) u du d Arshu d u u + = + + =
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 adr=du+r-)=-一 du dn咖=对岂品 d"(u±)=d"u±dv d(m)=∑Ctd"-tudv k-=0 份 df(u)=f"(u)du d2f(0）=f"(u)d2+f"(u)d2u 注(1)2=(d)2；d2x是x的二阶微分(dx=0):dx2)是x2的微分（一阶）(=2xdx) (2)2=f)是n阶导数记法的来由： dx" (3)一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分已不具备此性质，以二阶微分为例.若 y=f(x),则(i)当x为自变量时，dy=f"(x)2；(iⅱ）当x为因变量，如x=) 时，d产y=f"(x)d2+f"x)dx 例3记y=fx)=sinx,x=p)=,分别用公式(6)和公式(7)求dy. 四、微分在近似计算中的应用 (一)函数的近似计算 前己描述，如果y=f(x)在x。点可微，则函数的增量△y=∫"(x)△r+o(△x)=dy+o(△x),当△x 很小时，有Ay≈f(x)△r和△y=fx+A)-fx)得到fx+A)≈fx)+∫(x)△r,亦即，当 x≈x,时有f(x)≈f(x)+"(xx-x)(用导数作近似计算公式). 注(1)要求f(x)在x点的数值，但往往出现以下情况：直接计算f(x)比较困难，而在x点 附近一点处的函数值∫(x)的导数∫"(x)却都比较容易求得，于是可以利用 f(x)+∫"(xx-x)作为f(x)的近似值，x与x,越接近越精确. 例1求加x的近似值， 例2计算V3.99的近似值. (2)把fx)≈f(x)+∫"(x(x-x)(x≈x)用于具体函数，可以得到一些常用的近似公 5
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 5 1 ln( 1) 2 2 − = + − = − u du d Archu d u u 2 1 ) 1 1 ln 2 1 ( u du u u d Arthu d − = − + = d u v d u d v n n n ( ) = d uv C d u d v n k k k k n n = − = 0 ( ) 2 v vdu udv v u d − = d f (u) = f (u)du d f u f u du f u d u 2 2 2 ( ) = ( ) + ( ) 注（1） 2 2 dx dx = ( ) ； 2 d x 是 x 的二阶微分（ 2 d x =0）； 2 d x( ) 是 2 x 的微分（一阶）（＝2xdx）； （2） ( ) n n n d y f x dx = 是 n 阶导数记法的来由； （3）一阶微分具有形式不变性,对于高阶微分已不具备此性质,以二阶微分为例.若 y=f(x), 则 （ⅰ ） 当 x 为自 变量 时 , 2 2 d y f x dx = ( ) ；（ⅱ ） 当 x 为因 变量 , 如 x t = ( ) 时, 2 2 2 d y f x dx f x d x = + ( ) ( ) 例 3 记 y f x x = = ( ) sin , 2 x t t = = ( ) ,分别用公式（6）和公式（7）求 2 d y . 四、微分在近似计算中的应用 (一) 函数的近似计算 前已描述,如果 y=f(x)在 0 x 点可微,则函数的增量 0 = + = + y f x x o x dy o x ( ) ( ) ( ) ,当 x 很小时,有 0 y f x x ( ) 和 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) 得到 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) + + ,亦即,当 0 x x 时有 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) + − （用导数作近似计算公式）. 注（1）要求 f(x)在 x 点的数值,但往往出现以下情况：直接计算 f(x)比较困难,而在 x 点 附 近 一 点 0 x 处 的 函 数 值 0 f x( ) 的 导 数 0 f x ( ) 却 都 比 较 容 易 求 得 , 于 是 可 以 利 用 0 0 0 f x f x x x ( ) ( )( ) + − 作为 f(x)的近似值,x 与 0 x 越接近越精确. 例 1 求 11 sin 60 的近似值. 例 2 计算 3.99 的近似值. （2）把 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) + − （ 0 x x ）用于具体函数,可以得到一些常用的近似公
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 式.例如：fx)=sinx,tanx,lnl+x),e,:当|x很小时，可取x=0,此时相应有以下近似公 式：sinx≈x,tanx≈x,lnl+x)≈x,e≈l+x. （二)误差估计 实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值.要知道这些书记的准确程度，就必须估计这 些数据的近似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计. 一般地，如果一个量A的近似值为a,那么6=A-a叫作绝对误差，而6/a叫作相对误差.而 满足式子-a≤6，的6，称为绝对误差限，6，/a称为相对误差限。 实际工作中，有许多量，如体积、面积、电池的功率等，往往不能直接测量出来，而是先测定 有关的量，在利用公式计算出所需的量. 例如，要求得圆的面积S,只能测出其直径d,后由S=f(@)=4算出面积S.由于测量得到 A 的直径d有绝对误差△d,于是由此计算出面积S也相应地有绝对误差△S-f(d+△d)-f(d).在 近似计算中知道，当△d很小时，AS≈f'(d)△d(=).于是可用△S≈f'(d△d算出S的绝对误 差对于圆面积S=团=矿有/D-,所以有 9后（笔对误差斗湘对误差） 进一步，若已知△d≤6时，则得绝对误差限和相对误差限分布为： 一般地，若x是由测量得到的，量y是由函数y=f(x)计算得到的，在测量时，x的近似值为 x,为=fx).若已知测量值的误差限为6，即△x=x-x≤6引，当6，很小时， -a-naa:高r 例2测得一球体的直径为42cm,测量工具的进度为0.05cm,试求此直径计算球体积时所起 的误差.(W=名d). 作业教材P1162,3,5,6. 6
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 6 式.例如： f x x ( ) sin = , tan x , ln(1 ) + x , x e ,.；当|x|很小时,可取 0 x =0,此时相应有以下近似公 式： sin x x , tan x x , ln(1 ) + x x , 1 x e x + . (二) 误差估计 实际测量或计算所得的数据,一般都是近似值.要知道这些书记的准确程度,就必须估计这 些数据的近似程度,即估计它与准确值的差,这就是误差估计. 一般地,如果一个量 A 的近似值为 a,那么 =|A-a|叫作绝对误差,而 /a 叫作相对误差.而 满足式子|A-a|≤ A 的 A 称为绝对误差限, A /a 称为相对误差限. 实际工作中,有许多量,如体积、面积、电池的功率等,往往不能直接测量出来,而是先测定 有关的量,在利用公式计算出所需的量. 例如.要求得圆的面积 S,只能测出其直径 d,后由 S＝f(d)＝ 2 4 d 算出面积 S.由于测量得到 的直径 d 有绝对误差 d ,于是由此计算出面积 S 也相应地有绝对误差 = + − S f d d f d ( ) ( ) .在 近似计算中知道,当 d 很小时, S f d d ( ) （= dy ）.于是可用 S f d d ( ) 算出 S 的绝对误 差,对于圆面积 S＝f(d)＝ 2 4 d 有 ( ) 2 f D d = ,所以有 2 S d d （绝对误差）； 2 S d S d （相对误差） 进一步,若已知 d d 时,则得绝对误差限和相对误差限分布为： 2 2 A S d d d ； 2 2 A S d S d d 一般地,若 x 是由测量得到的,量 y 是由函数 y＝f(x)计算得到的,在测量时,x 的近似值为 0 x , 0 0 y f x = ( ).若已知测量值 0 x 的误差限为 x ,即 0 x = − x x x ,当 x 很小时, 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x = − y f x f x f x x f x ； 0 0 0 ( ) ( ) y x f x y f x = 例2 测得一球体的直径为 42cm,测量工具的进度为 0.05cm,试求此直径计算球体积时所起 的误差.( 1 3 6 V d = ). 作业 教材 P116 2,3,5,6