《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 §3.4两个重要的极限 教学章节：第三章函数极限一一§3.4两个重要的极限 教学目标：学握两个重要极限，并能熟练应用。 教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论：掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用 教学重点：两个重要极限的证明及运用。 教学难点：两个重要极限的证明及运用. 教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 教学过程： 一、关于函数极限的性质 1、质1一性质4常用于说明函数极限的一些性质。 例1设)>0，m)=A,证明：m网=万. 例2设m)=A,mg)=B.(1)若在某U,)内有fx)B,则在某U(x)内有fx)>g(x). 2、质5一性质6（迫敛性、四则运算）常用于计算. 61.1、Dm24smx-sx-r)2-子 : x2-12 (3)2r-x5 w e 590 2m-0 例mmx-1 二、关于归结原则(Heine定理)
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 §3.4 两个重要的极限 教学章节：第三章 函数极限——§3.4 两个重要的极限 教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用. 教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用. 教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 教学过程： 一 、关于函数极限的性质 1、质 1－性质 4 常用于说明函数极限的一些性质. 例 1 设 f x( ) 0 ， 0 lim ( ) x x f x A → = ，证明： 0 lim ( ) n n x x f x A → = . 例 2 设 0 lim ( ) x x f x A → = ， 0 lim ( ) x x g x B → = .（1）若在某 0 0 U x( ) 内有 f x g x ( ) ( ) ，问是否有 A B ？ 为什么？（2）证明：若 A B ，则在某 0 0 U x( ) 内有 f x g x ( ) ( ) . 2、 质 5－性质 6（迫敛性、四则运算）常用于计算. P51： 1、（1） 2 2 2 lim 2(sin cos ) 2 x 2 x x x → − − = − ； （2） 2 2 0 1 lim 1 x 2 1 x → x x − = − − ； （3） 2 2 1 1 2 lim x 2 1 3 x → x x − = − − ； （4） 4 1 2 3 4 lim x 2 3 x → x + − = − ； （5） 70 20 70 20 90 90 (3 6) (8 5) 3 8 lim x (5 1) 5 x x →+ x + − = − . 2、 2 sin lim 0 x 4 x x →+ x = − . 例 0 sin lim 1 x x → x = . 二 、关于归结原则(Heine 定理)
《数学分析》上册教案 第三章雨数极限 海南大学数学系 (一)定理的内容 (二)定理的意义 (三)定理的用途 1、明极限不存在，如msin的极限不存在： 2、用数列极限的性质证明函数极限的性质. (1)证明函数极限的唯一性。 (②)证明函数极限四则运算 (3)证明单调有界定理. 3、用函数极限求数列极限。 0-asn日 4、结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用 三、关于单调有界定理 (一)内容. (二)意义 四、关于Cauchy准则 (一)内容 (二)意义 (三)用途 1、明1imf(x)存在： 2、明mf)不存在.如msm 证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy准则 §3.4两个重要的极限 一、中1的正明 在单位圆盘D=《x川x+少≤上，x是圆心角∠4OB,以弧度计，即它恰好等于B,而 2
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 (一) 定理的内容 (二)定理的意义 (三) 定理的用途 1、明极限不存在，如 0 1 limsin x→ x 的极限不存在； 2、用数列极限的性质证明函数极限的性质. (1) 证明函数极限的唯一性. (2) 证明函数极限四则运算. (3) 证明单调有界定理. 3、用函数极限求数列极限. (1) 1 lim sin n n → n . (2) 2 1 1 lim(1 ) n→ n n + − . 4、结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用. 三、关于单调有界定理 (一) 内容. (二) 意义. 四、关于 Cauchy 准则 (一) 内容 (二) 意义 (三) 用途 1、明 lim ( ) x f x → 存在； 2、明 lim ( ) x f x →+ 不存在.如 1 lim sin x→+ x . 证明中用到归结原则，数列极限的 Cauchy 准则. §3.4 两个重要的极限 一、 0 sin lim 1 x x → x = 的证明 在单位圆盘 {( , ) | 1} 2 2 D = x y x + y 上， x 是圆心角 AOB ，以弧度计，即它恰好等于 AB , 而
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 smx=BC是弦长BB之半，它的几何意义是 smx-2sn.g→1x→0) 2x BB' 即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1. 正到段0<：分△108面积<偏形08面积<40D面机，即 mx<<er。osx<<1 用偶函数性质，这不等式在乞<x<0时也成立 令→0，如两边炎得出鸟型= 推论xeR,a≤州，等号成立当且仅当x=0. 味：园当时号是监度，西=等9发之职 证明0<受时. 有x=0时等号成立 二、1的应用 1求 1-25m 解x 例2求中 解令1=不-X,则mx=mx-0=s血1：且当x→元时1→0
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 sin x = BC 是弦长 BB 之半，它的几何意义是 sin 2sin 1 ( 0) 2 x x BB x x x BB = = → → ， 即圆心角趋于 0 时，对应的弦长与弧长之比趋于 1. 证明 设 2 0 x , AOB 面积 扇形 AOB 面积 AOD 面积，即 x x tgx 2 1 2 1 sin 2 1 ， 1 sin cos x x x , 用偶函数性质，这不等式在 0 2 − x 时也成立. 令 x →0, lim cos 1 0 = → x x , 两边夹得出 1 sin lim 0 = → x x x . 推论 xR ， sin x x ，等号成立当且仅当 x = 0. 证明 2 0 x 时, 1 | | sin |sin | = x x x x , 当 2 x 显然成立，而 x = 0 时等号成立，且只 有 x = 0 时等号成立. 二、 0 sin lim 1 x x → x = 的应用 例 1 求 2 0 1 cos lim x x x − → . 解 2 2 2 2 2 2 2sin 1 cos 1 sin 2 ( ) 2 x x x x x x − = = ，令 2 x t = ，则 x →0 时 t →0 ；故有 2 1 ) sin ( 2 1 lim 1 cos lim 2 0 2 0 = = − → → t t x x x t . 例 2 求 x x x→ − sin lim . 解 令 t = − x ，则 sin x = sin( − t) = sin t ；且当 x → 时 t →0， 故 1 sin lim sin lim 0 = = → − → t t x x x t . 0 A B D C x
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 州9果品铝00y 证明当m≠0时 、m,动 sin nx 当m=0时原式=0 注利用自结原、可求数列极限如求了-四加子，直接利用回1是不严 n 格的：但已知一1，放取气-名a-2小，则名→0→四从而由归结愿则 mx)-©子=0， 三、正明+e度m+a妒=e, 证明先证x→+∞情况，当x>1时，有 1 0+s0+中s0+ 1 ↓ e e 所以典+中=e 再证x→-0情况，令X=-火y→+0
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 例 3 求 nx mx x sin sin lim →0 （ n 0, x 0 ）. 证明 当 m 0 时 n m nx nx n mx mx m nx mx → = sin sin sin sin ； 当 m = 0 时原式 = 0. 注 利用归结原则，可求数列极限.如求 1 sin 1 lim lim sin n n 1 n n n n → → = ，直接利用 0 sin lim 1 x x → x = 是不严 格的；但已知 0 sin lim 1 x x → x = ，故取 ,( 1,2, ) n x n n = = ，则 0( ) n x n → → ，从而由归结原则 1 sin lim ( ) lim 0 1 n n n n f x n → → = = . 三、证明 1 lim 1 x x e → x + = 或 ( ) 1 0 lim 1 e → + = . 证明 先证 x → + 情况，当 x 1 时，有 [ ] 1 1 1 1 [ ] 1 1 1 x x x + + + + . x x x x x x ) [ ] 1 ) (1 1 ) (1 [ ] 1 1 (1 + + + + ， e e x x x x x x + + + + [ ] [ ]+1 ) [ ] 1 ) (1 1 ) (1 [ ] 1 1 (1 所以 e x x x + = → ) 1 lim (1 . 再证 x →− 情况, 令 x = −y, y →+
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 m0+=m0-=m0+ e 由极限与单侧极限关系定理，得▣0+宁”=e 推论m0+)=e 运到令生照 四、应用 例1求0+2 1-2 解令u=2x,则xu:且当x→0时u→0(x≠0时u≠0)， 因此，0+2=血+w-回0+rT=e 例2求如0-x少 解令x=-4,则当x→0时山→0， 因比，a0-对=e0+0=0+rr-日 例8隶典红 解 1 +2x++
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 e x y y y y y y y x x = − + − + = − = + − →+ − →− →+ ) 1 1 ) (1 1 1 ) lim (1 1 ) lim (1 1 lim (1 1 由极限与单侧极限关系定理，得 e x x x + = → ) 1 lim (1 . 推论 t e t t + = → 1 0 lim (1 ) . 证明 令 x t 1 = , 即得. 四、应用 例 1 求 x x x 1 0 lim (1+ 2 ) → . 解 令 u = 2x ，则 x u 1 2 = ；且当 x →0 时 u →0 （ x 0 时 u 0 ）， 因此， 2 2 0 2 0 1 0 ) ] 1 lim (1 2 ) lim (1 ) lim[(1 e u x u u u u u x x + = + = + = → → → . 例 2 求 x x x 1 0 lim(1− ) → . 解 令 x = −u ，则当 x →0 时 u →0， 因此， u e x u u u u u x x 1 ) ] 1 lim (1 ) lim (1 ) lim[(1 1 0 1 0 1 0 − = + = + = − → − → → 例 3 求 x x x x ) 2 3 2 1 lim ( + + → . 解 x x x x x x x ) 1 2 1 (1 1 ) 2 1 2 (1 1 ) 2 3 2 1 ( + + = + + = + + x x x ) 1 2 1 lim (1 + + → e e x x x x = = + + + = + − + → ) 1 1 2 1 ) (1 1 2 1 lim (1 2 1 1 2
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 故原式e 也可利用以下结论：m)=4>0,mx)=B,则)o=A 例4求回0+日 缘习P94和+为适猫致列 P3990+为为递减数列. P552设f为定义在[a,+o)上的增（减）函数，证明：Iimf(x)存在一∫在[a,+o) 上有上（下）界
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 6 故原式 e 1 = . 也可利用以下结论： lim ( ) = 0 → f x A x a ， f x B x a = → lim ( ) ，则 g x B x a f x = A → ( ) lim ( ) ， 2 3 1 2 2 2 3 ) ] 2 3 2 ) [(1 2 3 2 ) (1 2 3 2 1 ( + − + − − − → + − = + + − = + + + e x x x x x x x x x . 例 4 求 2 1 1 lim(1 )n n→ n n + − . 练习 Ｐ39 4 1 (1 ) 1 n n + + 为递增数列. Ｐ39 9 1 1 (1 )n n + + 为为递减数列. Ｐ55 2 设 f 为定义在 [ , ) a + 上的增（减）函数，证明： lim ( ) x f x →+ 存在 f 在 [ , ) a + 上有上（下）界