附摘录： 波利亚教我们怎样解题 北京师范大学数学系王散庚 每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老 师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解 法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有 想到呢？” 美籍匈牙利数学家乔治·波利亚(GeorgePol1ya,1887-1985)对回答上述 问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜 想》。这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。 对数学教有产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚93岁高龄时，还被国际 数学教育大会聘为名誉主席。波利亚1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达 佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914 年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国 斯坦福大学教授。他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领 域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、组合数学、数论，几何 和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的 术语和定理。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧 为一位杰出的数学家。 波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题、分析问题的能力。他 认为中学数学教育的根本宗自是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自 己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。波利亚致力于解题的研究， 为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究 了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他
附摘录： 波利亚教我们怎样解题 北京师范大学数学系 王敬庚 每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老 师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解 法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有 想到呢？” 美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（GeorgePolya ,1887-1985）对回答上述 问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜 想》。这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。 对数学教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚 93 岁高龄时，还被国际 数学教育大会聘为名誉主席。波利亚 1887 年出生在匈牙利，青年时期曾在布达 佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学 、物理和哲学，获博士学位。1914 年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940 年移居美国，1942 年起任美国 斯坦福大学教授。他一生发表达 200 多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领 域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、组合数学、数论，几何 和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的 术语和定理。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧 为一位杰出的数学家。 波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题、分析问题的能力。他 认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自 己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。 波利亚致力于解题的研究， 为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究 了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他
分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、 “拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中， 对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就 是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考 虑辅助问题。最终得出一个求解计划”。他把寻找并发现解法的思维过程分解 为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过 程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。 波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？ 让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你 是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知 道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未 知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你 能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它， 你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同 的方式重新叙述它？.”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去 在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。 这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸 上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中 的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议 去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而 久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体 的数学知识重要得多的东西。波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅平装 本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学 的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本 引人入胜的书”。我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大中学生同样也是 非常需要的和有益的。波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也包括数 学的创新发现。他把阐述自己“对解题的理解、研究和讲授”的书取名为《数
分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、 “拟定计划” 、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中， 对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就 是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考 虑辅助问题。最终得出一个求解计划”。他把寻找并发现解法的思维过程分解 为五条建议和 23 个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过 程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。 波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？ 让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你 是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知 道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未 知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你 能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它， 你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同 的方式重新叙述它？.”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去 在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。 这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸 上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中 的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议 去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而 久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体 的数学知识重要得多的东西。波利亚的《怎样解题》被译成 16 种文字，仅平装 本就销售 100 万册以上。著名数学家瓦尔登 1952 年 2 月 2 日在瑞士苏黎世大学 的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本 引人入胜的书”。我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大中学生同样也是 非常需要的和有益的。波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也包括数 学的创新发现。他把阐述自己“对解题的理解、研究和讲授”的书取名为《数
学的发现》，我想大概就是这个原因。他在这本书的第二卷中，还专门详细介 绍了数学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（顶点数一棱数+面数=2）的全过程 生动地再现了欧拉如何一步一步地进行归纳和猜想，最终得到上述公式的。也 就是把处于发现过程中的数学，照原样提供给我们。展示教学家创新发现的思 维活动过，自然而生动地显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这在教科 书和一般的数学著作中是极少见到的，而这对于学习数学却是非常重要的。波 利亚要求我们不仅要学习证明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解 题能力，而且要学习和培养创新能力。 参考资料： 1.波利亚著《怎样解题》（阁育苏译）。北京：科学出版社，1982年。 2.波利亚著《数学的发现》第一卷，欧阳绛译，北京：科学出版社，1982年。 第二卷，刘远图等译，北京：科学出版社，1987年。 3.波利亚著《数学与猜想》（第一卷，李心灿等译，第二卷，李克尧等译）北 京：科学出版社1984年
学的发现》，我想大概就是这个原因。他在这本书的第二卷中，还专门详细介 绍了数学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（顶点数—棱数+面数=2）的全过程， 生动地再现了欧拉如何一步一步地进行归纳和猜想，最终得到上述公式的。也 就是把处于发现过程中的数学，照原样提供给我们。展示教学家创新发现的思 维活动过，自然而生动地显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这在教科 书和一般的数学著作中是极少见到的，而这对于学习数学却是非常重要的。波 利亚要求我们不仅要学习证明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解 题能力，而且要学习和培养创新能力。 参考资料： 1.波利亚著《怎样解题》（阎育苏译）。北京：科学出版社，1982 年。 2.波利亚著《数学的发现》第一卷，欧阳绛译，北京：科学出版社，1982 年。 第二卷，刘远图等译，北京：科学出版社，1987 年。 3.波利亚著《数学与猜想》（第一卷，李心灿等译，第二卷，李克尧等译）北 京：科学出版社 1984 年