数学教学论系列讲座教学篇 第五讲 数学概念的教学方法 主讲：xiehm
第五讲 数学概念的教学方法 主讲：xiehm 数学教学论系列讲座教学篇
一、什么是数学概念 数学概念如同其他事物的概念一样分 为：日常概念和学科概念两类。如直线、 线段、三角形、圆等图形的概念，自然数、 分数等数的概念，都是学生在个人生活经 验的积累过程中所掌握的日常概念。学科 概念是在教学中有系统地使学生熟悉有关 概念内涵的条件下所掌握的概念。数学知 识中的概念是学科概念
数学概念如同其他事物的概念一样分 为：日常概念和学科概念两类。如直线、 线段、三角形、圆等图形的概念,自然数、 分数等数的概念，都是学生在个人生活经 验的积累过程中所掌握的日常概念。学科 概念是在教学中有系统地使学生熟悉有关 概念内涵的条件下所掌握的概念。数学知 识中的概念是学科概念。 一 、什么是数学概念
学生意识中的日常概念对掌握学科概念 有很大的影响。这种影响可能是积极的，也 可能是消极的。它取决于日常概念的含义与 学科概念的内涵是否一致。当一致时，就起 着积极的作用；当不一致时，前者就对后者 的掌握产生消极的作用。 因此教师在数学概念的教学中，首先要 了解学生对将要学习的数学概念有着怎样的 认识，会对形成学科概念产生怎样的影响
学生意识中的日常概念对掌握学科概念 有很大的影响。这种影响可能是积极的，也 可能是消极的。它取决于日常概念的含义与 学科概念的内涵是否一致。当一致时，就起 着积极的作用；当不一致时，前者就对后者 的掌握产生消极的作用。 因此教师在数学概念的教学中，首先要 了解学生对将要学习的数学概念有着怎样的 认识，会对形成学科概念产生怎样的影响
中学数学概念是关于数和形的某一类对象 的本质属性的反映。数学对象的本质属性往往 不是单一的，因而数学概念对本质属性所作的 反映是整体的反映。 在数学教材中，除了用定义来提示概念的 内涵外，还可用定理来反映概念的本质属性。 称为“性质”的数学命题，都是从定义推衍而 来的，称为“判定”的数学命题，实事上又都 是与定义等价的。因此，数学概念的定义方式 并不是唯一的，但都是定义对象本质属性的反 映
中学数学概念是关于数和形的某一类对象 的本质属性的反映。数学对象的本质属性往往 不是单一的，因而数学概念对本质属性所作的 反映是整体的反映。 在数学教材中，除了用定义来提示概念的 内涵外，还可用定理来反映概念的本质属性。 称为“性质”的数学命题，都是从定义推衍而 来的，称为“判定”的数学命题，实事上又都 是与定义等价的。因此，数学概念的定义方式 并不是唯一的，但都是定义对象本质属性的反 映
二、掌握数学概念的基本要求 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的 前提。在数学教学中，教师应从实例和学生已 有知识出发引入新概念。对容易混淆的数学概 念，可引导学生用对比方法认识它们之间的区 别与联系，通过直观教学，加深理解。 数学概念的掌握首先需要理解，运用逻 辑思维的形式，根据逻辑思维的规律和方法来 达到对于所研究对象的本质的认识。在数学概 念的教学中，掌握数学概念的要求具体地表现 在以下几个方面：
二、掌握数学概念的基本要求 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的 前提。在数学教学中，教师应从实例和学生已 有知识出发引入新概念。对容易混淆的数学概 念，可引导学生用对比方法认识它们之间的区 别与联系，通过直观教学，加深理解。 数学概念的掌握首先需要理解，运用逻 辑思维的形式，根据逻辑思维的规律和方法来 达到对于所研究对象的本质的认识。在数学概 念的教学中，掌握数学概念的要求具体地表现 在以下几个方面：
1、掌握定义对象的存在性 数学概念定义对象的存在性，一方面可 用定义所标志的实际事物来说明；另一方面 还需要用逻辑证明的方法来说明。在中学数 学教学中，可采取举实例方式掌握数学概念， 也可给出概念的存在性定理，来说明定义在 逻辑上的合理性，还可用“发生式定义”来 定义数学概念
1、掌握定义对象的存在性 数学概念定义对象的存在性，一方面可 用定义所标志的实际事物来说明；另一方面 还需要用逻辑证明的方法来说明。在中学数 学教学中，可采取举实例方式掌握数学概念， 也可给出概念的存在性定理，来说明定义在 逻辑上的合理性，还可用“发生式定义”来 定义数学概念
2、掌握数学概念的名称的作用 概念是从实际事物中抽象而来的，是用 “词”来表现的，叫做“概念的名称”。概 念的名称与这一概念的属性是相互关系的。 因此，在数学概念的教学中，教师要利用好 概念的名称的由来和它的作用，引导学生正 确使用概念的名称或术语对正确的思维具有 很重要的意义
2、掌握数学概念的名称的作用 概念是从实际事物中抽象而来的，是用 “词”来表现的，叫做“概念的名称” 。概 念的名称与这一概念的属性是相互关系的。 因此，在数学概念的教学中，教师要利用好 概念的名称的由来和它的作用，引导学生正 确使用概念的名称或术语对正确的思维具有 很重要的意义
3、掌握原始概念的作用 数学概念的教学，既可利用关于数和形的实 际事例的感性材料进行抽象与概括，又可利用以 前已知的概念来给出新的概念下定义。这是因为 新概念反映的属性是以旧有概念的名称来表达的。 这必然有一些概念，在其前面没有任何已知的数 学概念可作为新定义的依据。这样的数学概念被 称为原始概念。如“点”、“线”、“面”、 “元素”、“集合”、“对应”等就是不加定义 的原始概念。原始概念是起于直接经验的，它是 一切其他概念的定义的出发点
3、掌握原始概念的作用 数学概念的教学，既可利用关于数和形的实 际事例的感性材料进行抽象与概括，又可利用以 前已知的概念来给出新的概念下定义。这是因为 新概念反映的属性是以旧有概念的名称来表达的。 这必然有一些概念，在其前面没有任何已知的数 学概念可作为新定义的依据。这样的数学概念被 称为原始概念。如“点” 、 “线” 、 “面” 、 “元素” 、 “集合” 、 “对应”等就是不加定义 的原始概念。原始概念是起于直接经验的，它是 一切其他概念的定义的出发点
4、数学概念下定义的规则 首先，给概念下定义不能循环。循环定义主 要表现为，既用甲概念来定义乙概念，又用乙概 念来定义甲概念，结果是什么也说不清楚。学生 出现循环定义的错误原因，主要是由于对原始概 念的作用缺乏足够的认识。 其次，概念和它的定义又必须是相称的。如 “无理数是无限小数”，或“无理数是开不尽的 有理数的方根”，就是扩大或缩小了无理数的外 延。学生出现定义不准确，原因是学生对概念的 内涵和处延没有真正掌握。 另外，数学概念的定义应简洁明了。一般地 不用否定句来下定义，也不用比喻来下定义
4、数学概念下定义的规则 首先，给概念下定义不能循环。循环定义主 要表现为，既用甲概念来定义乙概念，又用乙概 念来定义甲概念，结果是什么也说不清楚。学生 出现循环定义的错误原因，主要是由于对原始概 念的作用缺乏足够的认识。 其次，概念和它的定义又必须是相称的。如 “无理数是无限小数” ，或“无理数是开不尽的 有理数的方根” ，就是扩大或缩小了无理数的外 延。学生出现定义不准确，原因是学生对概念的 内涵和处延没有真正掌握。 另外，数学概念的定义应简洁明了。一般地 不用否定句来下定义，也不用比喻来下定义
5、掌握一定的概念体系 掌握概念的体系就是既要熟悉比目前所研 究的概念更一般的概念，又要熟习比目前所研究 的概念更为特殊、且从属于它的概念。 如，直线方程的概念与一次函数的概念，分 别从属于方程和函数各自的体系，而彼此又有概 念上的联系。只有掌握一定的概念体系，才可能 掌握好教材中的概念
5、掌握一定的概念体系 掌握概念的体系就是既要熟悉比目前所研 究的概念更一般的概念，又要熟习比目前所研究 的概念更为特殊、且从属于它的概念。 如，直线方程的概念与一次函数的概念，分 别从属于方程和函数各自的体系，而彼此又有概 念上的联系。只有掌握一定的概念体系，才可能 掌握好教材中的概念