中学数学逻辑基础 ·数学概念 ·数学命题 。数学证明 2024/8/17 1
2024/8/17 1 中学数学逻辑基础 • 数学概念 • 数学命题 • 数学证明
1、数学概念 1、概念和数学概念 ¤概念是反映事物本质属性的思维形式，而数学概念自然就是 反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。例如 圆，本质属性：平面内到定点的距离等于定长的点的集合，非 本质属性：半径的长短。平行四边形：“两组对边分别平 行”“四条边” ¤正确的概念是科学抽象的结果：去掉事物次要的方面，得到了 事物的本质属性。如数、形。 ¤数学概念的形成的途径是多样的：从现实模型直接得出；经过 多级抽象得出；把客观事物理想化和纯粹化得出；为了数学的 需要从数学内部产生；根据有理论上存在的可能性而提出等。 2024/8/17 2
2024/8/17 2 1、数学概念 1、概念和数学概念 ¤ 概念是反映事物本质属性的思维形式，而数学概念自然就是 反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。例如 圆，本质属性：平面内到定点的距离等于定长的点的集合，非 本质属性：半径的长短。平行四边形：“两组对边分别平 行”“四条边” ¤ 正确的概念是科学抽象的结果：去掉事物次要的方面，得到了 事物的本质属性。如数、形。 ¤ 数学概念的形成的途径是多样的：从现实模型直接得出；经过 多级抽象得出；把客观事物理想化和纯粹化得出；为了数学的 需要从数学内部产生；根据有理论上存在的可能性而提出等
¤数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化 的，另一方面人们的认识是不断深化的。如：自然数 集（加零）→扩大的自然数集（加正分数）→算术数 集（加负整（分）数)→有理数集（加无理数）→实 数集（加虚数）→复数集 ¤概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概 念是语词的思想内容，两者密切联系，不可分割。概 念和语词之间是一一对应的吗？ ¤数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由 概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成， 因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。 2024/8/17 3
2024/8/17 3 ¤ 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化 的，另一方面人们的认识是不断深化的。如：自然数 集（加零）→扩大的自然数集（加正分数）→算术数 集（加负整（分）数）→有理数集（加无理数）→实 数集（加虚数）→复数集 ¤ 概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概 念是语词的思想内容，两者密切联系，不可分割。概 念和语词之间是一一对应的吗？ ¤ 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由 概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成， 因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞
2、概念的内涵和外延 ¤概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和，是概念的 质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。例如“矩形”概念 意味着有一个角为直角的平行四边形，这就是矩形的内涵。 ¤概念的外延就是概念所反映的事物的总和（或范围）。是概念的量 的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。例如平行四边形这个 概念是指一般的平行四边形、矩形、菱形、正方形的全体，这就 是平行四边形这一概念的外延。 01 概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。每一个（数学）概念都 既有明确的内涵又有确定的外延，因此概念之间是彼此互相区别 界限分明的。教学要求中的概念明确就是指既要明确其内涵又要 明确其外延。 2024/8/17 4
2024/8/17 4 2、概念的内涵和外延 ¤ 概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和, 是概念的 质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。例如“矩形”概念， 意味着有一个角为直角的平行四边形，这就是矩形的内涵。 ¤ 概念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围)。是概念的量 的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。例如平行四边形这个 概念是指一般的平行四边形、矩形、菱形、正方形的全体，这就 是平行四边形这一概念的外延。 ¤ 概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。每一个（数学）概念都 既有明确的内涵又有确定的外延，因此概念之间是彼此互相区别、 界限分明的。教学要求中的概念明确就是指既要明确其内涵又要 明确其外延
3、概念间的关系（指概念外延间的关系） 同一关系 相容关系属种关系 概念间的关系 交叉关系 不相容关系 矛盾关系 反对关系 2024/8/17 5
2024/8/17 5 3、概念间的关系（指概念外延间的关系） 反对关系 矛盾关系 不相容关系 交叉关系 属种关系 同一关系 相容关系 概念间的关系
·相容关系：两个概念外延之间至少有一部分重合。 ¤同一关系（全同关系）：两个概念的外延完全重合， 如等腰三角形和等边三角形；最小的质数和最小的正 偶数；无理数和无限不循环小数等。 A B 2024/8/17 6
2024/8/17 6 • 相容关系：两个概念外延之间至少有一部分重合。 ¤ 同一关系（全同关系）：两个概念的外延完全重合， 如等腰三角形和等边三角形；最小的质数和最小的正 偶数；无理数和无限不循环小数等。 A B
¤属种关系（从属关系）：在两个概念之间，一个概念的外延完全 包含在另一个外延之中，而且仅仅成为另一个概念外延的一部分 例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数 也具有属种关系的概念。在属种关系中，外延大的那个叫属概念 外延小的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，一个概念 的种概念是否唯一？) ¤注意：一是种类概念之间具有相对性。二是要区分从属关系和全 体与部分的关系。有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的 关系。有的却不然。例如对数与它的直数、尾数之间的关系不 是从属关系只是全体与部分的关系。 B 2024/8/17 7
2024/8/17 7 ¤ 属种关系（从属关系）：在两个概念之间，一个概念的外延完全 包含在另一个外延之中，而且仅仅成为另一个概念外延的一部分。 例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数 也具有属种关系的概念。在属种关系中，外延大的那个叫属概念， 外延小的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，一个概念 的种概念是否唯一？） ¤ 注意：一是种类概念之间具有相对性。二是要区分从属关系和全 体与部分的关系。有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的 关系。有的却不然。例如,对数与它的首数、尾数之间的关系不 是从属关系,只是全体与部分的关系。 A B B
¤交叉关系：两个概念的外延有而且只有一部分重合， 如菱形和矩形、等腰三角形和直角三角形、正数和整 数均为交差关系。 B 2024/8/17 8
2024/8/17 8 ¤ 交叉关系：两个概念的外延有而且只有一部分重合， 如菱形和矩形、等腰三角形和直角三角形、正数和整 数均为交差关系。 A B
。j 不相容关系（全异关系）：指属于一个属概念中的两 个在外延上没有任何重合部分的种概念之间的关系。 ¤矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且它们的外 延之和等于其属概念的外延。如有理数和无理数相对 于实数来说就是矛盾关系 A B 2024/8/17
2024/8/17 9 • 不相容关系（全异关系）：指属于一个属概念中的两 个在外延上没有任何重合部分的种概念之间的关系。 ¤ 矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且它们的外 延之和等于其属概念的外延。如有理数和无理数相对 于实数来说就是矛盾关系 A B
¤反对关系：两个概念的外延完全不同，而且它们的外 延之和小于其属概念的外延，如正有理数和负有理数 相对于有理数来说是反对关系。 A B 2024/8/17 10
2024/8/17 10 ¤ 反对关系：两个概念的外延完全不同，而且它们的外 延之和小于其属概念的外延，如正有理数和负有理数 相对于有理数来说是反对关系。 A B