第三讲数学测验的设计和统计 指标（续） 测试是教育测量的重要工具，是评价的 重要手段； 数学测验是数学教学测量的一种主要工 具。 ■§3.1测验的统计指标 ■ §3.2编制数学测验的步骤 §3.3数学题的拟造 ■ §3.4题库
第三讲 数学测验的设计和统计 指标（续） ◼ 测试是教育测量的重要工具，是评价的 重要手段； ◼ 数学测验是数学教学测量的一种主要工 具。 ◼ §3.1 测验的统计指标 ◼ §3.2 编制数学测验的步骤 ◼ §3.3 数学题的拟造 ◼ §3.4 题库
§3.3数学题的拟造（续） 试题 改编陈题 ·变更结论，变更条件，同时变更条件和结论 编制新题 ·利用实际问题，利用数学自身问题 ·数学开放题 ■试卷：结构、设计、编制、审核、难度预测
§ 3.3 数学题的拟造（续） ◼ 试题 ◼ 改编陈题 ◼ 变更结论，变更条件，同时变更条件和结论 ◼ 编制新题 ◼ 利用实际问题，利用数学自身问题 ◼ 数学开放题 ◼ 试卷：结构、设计、编制、审核、难度预测
试卷 (任-P142) 试卷的结构： 框架，题型，知识，能力，难度 试卷的设计：设计原理，设计技术一细目表 试卷的编制：组题拼卷，试题调整，赋分与评 分标准 ■试卷的难度预测：难度，长度，程度，尺度 ■分数的收集与整理：抽样，频数分布与直方图， 特征量数 ■分数的转换：正态分布，Z分数 ■试题试卷评价指标的计算
试卷（任-P142） ◼ 试卷的结构：框架，题型，知识，能力，难度 ◼ 试卷的设计：设计原理，设计技术—细目表 ◼ 试卷的编制：组题拼卷，试题调整，赋分与评 分标准 ◼ 试卷的难度预测：难度，长度，程度，尺度 ◼ 分数的收集与整理：抽样，频数分布与直方图， 特征量数 ◼ 分数的转换：正态分布，Z分数 ◼ 试题试卷评价指标的计算
数学问题的设计 (顾泠沅P168) ■数学问题是数学教育的心脏 ■现状：“千人一面的机械练习”，“忽 视应用与创新”，“题型教学” ■子 数学问题的层次：技巧、方法、思想和 策略（目前大多分类型介绍技巧层次） ■ 开放性问题、探索性、应用性问题是我 国以往教学中的薄弱环节
数学问题的设计（顾泠沅P168） ◼ 数学问题是数学教育的心脏 ◼ 现状：“千人一面的机械练习”，“忽 视应用与创新”， “题型教学” ◼ 数学问题的层次：技巧、方法、思想和 策略（目前大多分类型介绍技巧层次） ◼ 开放性问题、探索性、应用性问题是我 国以往教学中的薄弱环节
数学问题的分类 以问题状态（条件、过程、 结论)的明 确度为依据，分为封闭性问题与开放性 问题 ■以问题解决者的知识经验为依据，分为 常规性问题与探索性问题 以问题性质的数学过程（抽象、变换、 应用)为依据，分为纯数学问题与数学 应用问题
数学问题的分类 ◼ 以问题状态（条件、过程、结论）的明 确度为依据，分为封闭性问题与开放性 问题 ◼ 以问题解决者的知识经验为依据，分为 常规性问题与探索性问题 ◼ 以问题性质的数学过程（抽象、变换、 应用）为依据，分为纯数学问题与数学 应用问题
两个探索性训练的案例 (顾P169) 例1如图，是一个边长为3的立方体，它 有27个小立方体，其中19个看得见，8个 看不见。问： ·(1)边长为4怎样？ ■(2)边长为5呢？ ■(3)任何大小呢？ ■思路：数据分析，结构证明，直觉创造
两个探索性训练的案例（顾P169） ◼ 例1 如图，是一个边长为3的立方体，它 有27个小立方体，其中19个看得见，8个 看不见。问： ◼ （1）边长为4怎样？ ◼ （2）边长为5呢？ ◼ （3）任何大小呢？ ◼ 思路：数据分析，结构证明，直觉创造
数据分析：（发现事实）看不见的小立方 体总数=上一行中的小立方体总数 立方体的 小立方体总 看的见的小 看不见的小 边长n 数n3 立方体总数 立方体总数 V(n) H(n) 1 1 1 0 2 8 7 1 3 27 19 8 4 64 37 27 5 125 61 64
数据分析: (发现事实) 看不见的小立方 体总数=上一行中的小立方体总数 立方体的 边长 n 小立方体总 数n 3 看的见的小 立方体总数 V(n) 看不见的小 立方体总数 H(n) 1 1 1 0 2 8 7 1 3 27 19 8 4 64 37 27 5 125 61 64
结构证明： 分顶面、前面、侧面三个面将看得见的 小立方体数目加起来 ■项面：n2;前面：n(n-1)=n2-n;侧面： (n-1)n-1)=n2-2n+1 ■所以V(n)=3n2-3n+1 计算看不见的小立方体总数：H(n)=n3-3 n2+3n-1=(n-1)3
结构证明： ◼ 分顶面、前面、侧面三个面将看得见的 小立方体数目加起来 ◼ 顶面：n 2；前面：n(n-1) =n2 -n；侧面： (n-1)(n-1)= n2 -2n+1 ◼ 所以V(n)=3 n2 -3n+1 ◼ 计算看不见的小立方体总数:H(n)= n3 -3 n 2 +3n-1= (n-1)3
直觉创造： 剥去看得见的顶面、前面、侧面三个面，剩下 的就是上一行的立方体 这个例子给出三种不同的问题解决思路，隐含 的对学生知识和能力上的要求： ·几何和测量概念（三维图形，递增序列） ■函数和代数概念（公式、表格、猜想、表达式） ■数学技能和相关工作（制作运用粗略表格和图式， 提高理解力) ·数学交流（学生自行筹划，表示数学步骤和结果）
直觉创造： ◼ 剥去看得见的顶面、前面、侧面三个面，剩下 的就是上一行的立方体 ◼ 这个例子给出三种不同的问题解决思路，隐含 的对学生知识和能力上的要求： ◼ 几何和测量概念（三维图形，递增序列） ◼ 函数和代数概念（公式、表格、猜想、表达式） ◼ 数学技能和相关工作（制作运用粗略表格和图式， 提高理解力） ◼ 数学交流（学生自行筹划，表示数学步骤和结果）
例2传染病传播的数学模型 己知传染病传播的数学模型为Hk+1=Hk -aHk +BSkHk,其中，Hk+1表示第k+1天的患病人数， Hk表示第k天的患病人数，表示每天的痊愈率， B表示每天的发病率；oHk为第k天的痊愈人数， BSKHK为第k天新发病人数，这里的Sk是考虑免 疫原因计算第k天可能感染人数时的系数。 ,(1)利用递推关系式预测若干天后的患病人 数，以便于医疗疾控部门决策； (2)计算增量AHk=Hk+1Hk=(BSk)Hk,BSk =0是临界点，临界值C:Sk=0/β
例2 传染病传播的数学模型 ◼ 已知传染病传播的数学模型为Hk+1 =Hk -Hk +SkHk ,其中, Hk+1表示第k+1天的患病人数, Hk表示第k天的患病人数, 表示每天的痊愈率, 表示每天的发病率; Hk为第k天的痊愈人数, SkHk为第k天新发病人数，这里的Sk是考虑免 疫原因计算第k天可能感染人数时的系数。 ◼ （1）利用递推关系式预测若干天后的患病人 数，以便于医疗疾控部门决策； ◼ （2）计算增量Hk=Hk+1 -Hk =(Sk -)Hk , Sk - =0是临界点，临界值C:Sk=/