第五章数学概念、命题与问题解决教学 §5.1数学概念及其教学 一、数学概念Mathematical Concept)的意义和结构 概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式一判断、推理一是有密切联 系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推 理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识， 又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科 学是与概念并肩成长起来的”。 概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的 理解和掌握。 1、数学概念的意义 [引题] 师问：“等式(x+1)2=x2+2x+1是不是方程？” 生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x取什么数 等式都成立，可以这个等式不是方程。” 师问：“什么叫方程？” 生答：“含有未知数的等式叫做方程。” 师问：“等式(x+1)2=x2+2x+1含有未知数吗？” 生答：“含有未知数x,这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方 程，这是不对的。” 师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根？” 生答：“有无穷多解。” 师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x+1=0只有一个解：有的方程无 解，例如：x2+1=0在实数范围内无解：有的方程有无穷多解，方程 (x+)2=x2+2x+1就是一例。” 一一以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。 什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。 1
1 第五章 数学概念、命题与问题解决教学 §5.1 数学概念及其教学 一、数学概念(Mathematical Concept)的意义和结构 概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联 系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推 理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识， 又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科 学是与概念并肩成长起来的”。 概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的 理解和掌握。 1、数学概念的意义 [引题] 师问：“等式 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 是不是方程？” 生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论 x 取什么数， 等式都成立，可以这个等式不是方程。” 师问：“什么叫方程？” 生答：“含有未知数的等式叫做方程。” 师问：“等式 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 含有未知数吗？” 生答：“含有未知数 x，这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方 程，这是不对的。” 师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?” 生答：“有无穷多解。” 师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x +1=0 只有一个解；有的方程无 解，例如 : 1 0 2 x + = 在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 就是一例。” ——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。 什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起
(1)属性： 在客观世界中，存在着许许多多的事物，每一事物都有本身的性质和其他事 物之间存在一定的关系。事物的性质和事物之间的关系统称为事物的属性。 (2)特征： 事物和属性是不可分的，具有相同属性的事物构成一类。属性不同的事物就 形成不同的类。事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，就是事物的特征。 (3)本质属性： 在一类事物的许多属性中，对该事物具有决定意义的，即决该事物之所以成 为该事物并区别于其它事物的属性，统称为事物的本质属性。 例如：能思维、能制造并使产用生产工具的动物是人的本质属性。平面内到 定点的距离等于定长的点的集合，是圆的本质属性，有长度是圆的非本质属性。 (4)概念： 概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。 掌捏概念，实质上就是要理解一类事物的共同的本质属性。即使符号代表一类事物而不是特殊事物。 为了达到掌提概念，可以利用学习者认知结枸中原有的概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的 本质属性，这种使学习者获得概念的方式叫概念同化。 但是，在数学教学中，由于学生年龄因素，他们已有的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，有时概 念同化的方式对他们学习概念是不合适的。只能从大最的具体例子出发，从他们实际经验或数学现实中 以归纳的方式抽取一类事物的共同的本质的属性，从而获得某些概念。（概念的形成一曹本P29) 所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？ 人们又对客观事物的认识，一般是通过感觉、知觉形成印象（建立观念）， 在此基础上，运用比较、分析、综合、抽象、概括等方法，逐渐认识抽象出事物 的本质属性和特征，并借助词语形成反映该事物的概念。 如：自然数产生于计数。 “数”与某具体的事物联系在一起，“5一一五头羊，五个手指头”抽象出数 量的共同特征。 (5)数学概念：数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学 是关于模式与秩序的科学。数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的 思维形式，在数学中，每一数学概念通常用一个特有的名称或符号来表示。 2
2 （1）属性： 在客观世界中，存在着许许多多的事物，每一事物都有本身的性质和其他事 物之间存在一定的关系。事物的性质和事物之间的关系统称为事物的属性。 （2）特征： 事物和属性是不可分的，具有相同属性的事物构成一类。属性不同的事物就 形成不同的类。事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，就是事物的特征。 （3）本质属性： 在一类事物的许多属性中，对该事物具有决定意义的，即决该事物之所以成 为该事物并区别于其它事物的属性，统称为事物的本质属性。 例如：能思维、能制造并使产用生产工具的动物是人的本质属性。平面内到 定点的距离等于定长的点的集合，是圆的本质属性，有长度是圆的非本质属性。 （4）概念： 概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。 掌握概念，实质上就是要理解一类事物的共同的本质属性。即使符号代表一类事物而不是特殊事物。 为了达到掌握概念，可以利用学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的 本质属性，这种使学习者获得概念的方式叫概念同化。 但是，在数学教学中，由于学生年龄因素，他们已有的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，有时概 念同化的方式对他们学习概念是不合适的。只能从大量的具体例子出发，从他们实际经验或数学现实中， 以归纳的方式抽取一类事物的共同的本质的属性，从而获得某些概念。（概念的形成—曹本 P.279） 所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？ 人们又对客观事物的认识，一般是通过感觉、知觉形成印象（建立观念）， 在此基础上，运用比较、分析、综合、抽象、概括等方法，逐渐认识抽象出事物 的本质属性和特征，并借助词语形成反映该事物的概念。 如：自然数产生于计数。 “数”与某具体的事物联系在一起，“5——五头羊，五个手指头”抽象出数 量的共同特征。 （5）数学概念：数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学 是关于模式与秩序的科学。数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的 思维形式，在数学中，每一数学概念通常用一个特有的名称或符号来表示
例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆 的本质属性： ⊙0表示以0为圆心的圆： sinr表示正弦函数： “方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。 数学概念的产生与发展有各种不同的途径： ①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体一一从物体的形状、 位置、大小关系等概括出来：自然数一一从手指数和其他单个事物排列次序抽象 出来。 ②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成 的：复数←一实数一实数一有理数一自然数概念。 ③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可 以无限延伸”。 ④数学内部需要产生一一诸多“规定”：任何数乘以0的积为0：又例：为 把正整幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数指数幂，在数学中， 产生了零指数，负整数指数，分数指数、无理数指数等概念。 ⑤根据理论上有存在的可能提出来的：自然数集，无穷远点，π。 ⑥在一定的数学对象的结构中产生出来，数学中许多概念，随着数学的发展 而发展成为新的概念。例如： 多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念，具有公共端点的两条射线 所成的角的概念（静态）。发展成为射线绕它的端点旋转所成的角（动态）。 关于几何量角的三角函数→实数的三角函数： 总之，数学概念的产生和发展的途径是多方面的，有的数学概念的产生发展 甚至是非常复杂的（如图论中“树”、“枝”，同伦，范畴，链，鞅论，测度，流 形等等)。但，无论如何复杂，如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上（直 接从客观事物的空间形式或数量关系、模式或秩序反映出来)，或者在一定的理 性认识基础上产生出来并逐步发展的。 2、概念的内涵和外延一一这是概念的逻辑特征 概念的内涵和外延(Connotation and Extention of Concept),是从质和量两个方 3
3 例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆 的本质属性； O 表示以 O 为圆心的圆； sinx 表示正弦函数； “方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。 数学概念的产生与发展有各种不同的途径： ①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体——从物体的形状、 位置、大小关系等概括出来；自然数——从手指数和其他单个事物排列次序抽象 出来。 ②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成 的：复数←实数←实数←有理数←自然数概念。 ③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可 以无限延伸”。 ④数学内部需要产生——诸多“规定”：任何数乘以 0 的积为 0；又例：为 把正整幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数指数幂，在数学中， 产生了零指数，负整数指数，分数指数、无理数指数等概念。 ⑤根据理论上有存在的可能提出来的：自然数集，无穷远点，π。 ⑥在一定的数学对象的结构中产生出来，数学中许多概念，随着数学的发展 而发展成为新的概念。例如： 多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念，具有公共端点的两条射线 所成的角的概念（静态）。发展成为射线绕它的端点旋转所成的角（动态）。 关于几何量角的三角函数→实数的三角函数。 总之，数学概念的产生和发展的途径是多方面的，有的数学概念的产生发展 甚至是非常复杂的（如图论中“树”、“枝”，同伦，范畴，链，鞅论，测度，流 形等等）。但，无论如何复杂，如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上（直 接从客观事物的空间形式或数量关系、模式或秩序反映出来），或者在一定的理 性认识基础上产生出来并逐步发展的。 2、概念的内涵和外延——这是概念的逻辑特征 概念的内涵和外延(Connotation and Extention of Concept)，是从质和量两个方
面构成概念的。 (1)内涵：是指概念所反映对象的本质属性的总和。又称内包即性质。 例如：“人”的内涵是能思维、能制造工具，并使用工具进行劳动的动物。 (2)外延：是指概念所反映对象的总和，或概念所指对象的范围。又称外 包，表达数量，可看作一个集合。 例如：“人”的外延是古今中外一切的人。 二者异同点：都是主观对客观的一种认识，它们分别与客观对象本身和客观 对象的特有属性、本质属性是有区别的。 例如：△ABC的“顶点”概念 其外延：A、B、C三点的集合，其内涵：包括点的性质和其中任一点同在 这个三角形两边上这个性质。 再例：自然数系中“偶数”概念。 其外延：2、4、6、8、.2n、.等数组成的集合： 其内涵：“能被2整除”这个性质。 (3)数学概念的外延和内涵是在一定的数学科学体系中来认识的。 例如：“角”的概念。 在平面几何中，其内涵是指具有公共端点的两条射线所组成的图形。 在平面三角中，其内涵是指一射线绕它的端点旋转而成的图形。 其外延：任意大小的正角、负角、0°角。 显见，二者的外延和内涵都是不同的。 再如：方程的“解”与不等式的“解”的概念。 “矩形与长方形”：同一概念可用不同词语表达，同一词语也可表达不同概 念。 用数学方法揭示逻辑中的概念问题，通常用集合的观点和符号来说明内涵、 外延及概念间的关系。 例：自然数中偶数的外延表示为=2n,n是自然数}· 正方形的内涵：邻边相等，内角是直角的了（平行四边形）： 其外延：所有邻边相等，内角是直角的平行四边形构成的集合 一般地，集合(x)}表示一个概念的外延时，其中，(x)就是这个概念的 4
4 面构成概念的。 （1）内涵：是指概念所反映对象的本质属性的总和。又称内包即性质。 例如：“人”的内涵是能思维、能制造工具，并使用工具进行劳动的动物。 （2）外延：是指概念所反映对象的总和，或概念所指对象的范围。又称外 包，表达数量，可看作一个集合。 例如：“人”的外延是古今中外一切的人。 二者异同点：都是主观对客观的一种认识，它们分别与客观对象本身和客观 对象的特有属性、本质属性是有区别的。 例如：△ABC 的“顶点”概念 其外延：A、B、C 三点的集合，其内涵：包括点的性质和其中任一点同在 这个三角形两边上这个性质。 再例：自然数系中“偶数”概念。 其外延：2、4、6、8、. 2n、.等数组成的集合； 其内涵：“能被 2 整除”这个性质。 （3）数学概念的外延和内涵是在一定的数学科学体系中来认识的。 例如：“角”的概念。 在平面几何中，其内涵是指具有公共端点的两条射线所组成的图形。 在平面三角中，其内涵是指一射线绕它的端点旋转而成的图形。 其外延：任意大小的正角、负角、 0 o 角。 显见，二者的外延和内涵都是不同的。 再如：方程的“解”与不等式的“解”的概念。 “矩形与长方形”：同一概念可用不同词语表达，同一词语也可表达不同概 念。 用数学方法揭示逻辑中的概念问题，通常用集合的观点和符号来说明内涵、 外延及概念间的关系。 例：自然数中偶数的外延表示为 x x = 2n, n是自然数。 正方形的内涵：邻边相等，内角是直角的 （平行四边形）； 其外延：所有邻边相等，内角是直角的平行四边形构成的集合。 一般地，集合 x(x) 表示一个概念的外延时，其中， (x) 就是这个概念的
内涵。 内涵严格限定了外延，外延完全确定了内涵。 (4)概念内涵与外延之间的关系一一互相严格地限定确定，一脉相承，又 相依而变。 “反变关系”：概念的内涵和外延是密切联系，相互制约的。如果概念A的 内涵比概念B的内涵多，那么A的外延就比B的外延小，这就是概念的内涵与 外延的反变关系。 例如：“等腰△”其内涵比“三角形”概念内涵多。而“等腰△”的外延比 “三角形”的外延小，少了那些没有两边相等的三角形。 再如：“方程”比“整式方程”的内涵少（少了“两边都是关于未知数的整 式”)：而前者比后者的外延大（多了那些两边不都是整式的方程）。 “概念的限制”：据此，把一个概念的内涵增加（扩大），得到另一个外延较 小（缩小）的概念，叫做概念的限制： “概念的概括”：把一个概念的内涵减少（缩小），得到另一个外延较大（扩 大)的概念，叫做概念的概括。 例如：在“四边形”的内涵中增加“两组对边平行”得到“平行四边形”： 在“平行四边形”的内涵中增加“有一个角是直角”，得到“矩形”。这是概念限 制。 又如：在“一元二次方程”中去掉“只含有一个未知数，且未知数的最高次 数是2”，便得到“整式方程”：在“整式方程”的内涵中去掉“两边都是关于未 知数的整式”，便得到“方程”。这就是概念的概括。 概念的限制与概念的概括的过程正相反。利用它可使我们准确地选择概念 恰如其分地表示我们所要反映的事物。概念的内涵要用定义来揭示，外延常用分 类加以明确。借助定义和分类，可以把单个的概念组成相互关联的概念体系。 二、概念间的关系(Relation between Concepts) 逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。在形式逻辑 中，两个概念的外延之间。主要有以下几种关系： 1、相容关系。 如果两个概念的外延至少有一部分是重合的，则称二者具有相容关系。两外 5
5 内涵。 内涵严格限定了外延，外延完全确定了内涵。 （4）概念内涵与外延之间的关系——互相严格地限定/确定，一脉相承，又 相依而变。 “反变关系”：概念的内涵和外延是密切联系，相互制约的。如果概念 A 的 内涵比概念 B 的内涵多，那么 A 的外延就比 B 的外延小，这就是概念的内涵与 外延的反变关系。 例如：“等腰△”其内涵比“三角形”概念内涵多。而“等腰△”的外延比 “三角形”的外延小，少了那些没有两边相等的三角形。 再如：“方程”比“整式方程”的内涵少（少了“两边都是关于未知数的整 式”）；而前者比后者的外延大（多了那些两边不都是整式的方程）。 “概念的限制”：据此，把一个概念的内涵增加（扩大），得到另一个外延较 小（缩小）的概念，叫做概念的限制； “概念的概括”：把一个概念的内涵减少（缩小），得到另一个外延较大（扩 大）的概念，叫做概念的概括。 例如：在“四边形”的内涵中增加“两组对边平行”得到“平行四边形”； 在“平行四边形”的内涵中增加“有一个角是直角”，得到“矩形”。这是概念限 制。 又如：在“一元二次方程”中去掉“只含有一个未知数，且未知数的最高次 数是 2”，便得到“整式方程”；在“整式方程”的内涵中去掉“两边都是关于未 知数的整式”，便得到“方程”。这就是概念的概括。 概念的限制与概念的概括的过程正相反。利用它可使我们准确地选择概念， 恰如其分地表示我们所要反映的事物。概念的内涵要用定义来揭示，外延常用分 类加以明确。借助定义和分类，可以把单个的概念组成相互关联的概念体系。 二、概念间的关系(Relation between Concepts) 逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。在形式逻辑 中，两个概念的外延之间。主要有以下几种关系： 1、相容关系。 如果两个概念的外延至少有一部分是重合的，则称二者具有相容关系。两外
延交集是非空集合。 相容关系分为以下三种： (1)全同关系一一同一关系或者重合关系 .B 全同关系是指两个概念的外延完全重合。 具有全同关系的概念，其外延虽然完全重合，但它们的内涵可以不同。 例如：①数0是自然数集中最小数：又是正与负数的分界数：又是运算中两 个相等数的差：等等。 ②在等腰△中：底边上的高线、中线及顶角的平分线的外延相同，但其内涵 (性质)不同。 ③1"-2°=sina2+cosa2=V5+√24V5-24=01= ④“同一关系”的例： 北京：中华人民共和国首都。 非零自然数：正整数。 等边△：正△。 等边矩形：等角菱形。 同一概念是从不同的方面反映同一事物的本质属性，因而同一概念的外延相 同，但内涵不完全相同。研究全同关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、 较全面的认识。 此外，在推理证明中，具有全同关系的概念（即同一概念）可以互相代换， 使得论证简明。 表示ADB:A较大一一属（上位）概念 R)A B较小一一种（下位）概念 (2)从属关系（属种关系） 设不是同一关系的两个概念甲、乙，其外延分别用A、B表示。如果甲概念 的外延A完全包含乙概念的外延B,或者说。如果B概念是A概念外延的一部 分而不是全部，种概念B的外延是属概念A的外延的真子集。 例如：有理数的外延（属概念）一整数的外延（种概念）。 有属种关系的两个概念的关系，在外延、内涵数量上，互相制约 个概念的内涵多一外延一小 广反比关系（反变关系）
6 延交集是非空集合。 相容关系分为以下三种： （1）全同关系——同一关系或者重合关系 全同关系是指两个概念的外延完全重合。 具有全同关系的概念，其外延虽然完全重合，但它们的内涵可以不同。 例如：①数 0 是自然数集中最小数；又是正与负数的分界数；又是运算中两 个相等数的差；等等。 ②在等腰△中：底边上的高线、中线及顶角的平分线的外延相同，但其内涵 （性质）不同。 ③ 1 n = 2 o = sin 2 + cos 2 = 5 + 24 5 − 24 = 0!= ④“同一关系”的例： 北京；中华人民共和国首都。 非零自然数；正整数。 等边△；正△。 等边矩形；等角菱形。 同一概念是从不同的方面反映同一事物的本质属性，因而同一概念的外延相 同，但内涵不完全相同。研究全同关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、 较全面的认识。 此外，在推理证明中，具有全同关系的概念（即同一概念）可以互相代换， 使得论证简明。 表示 AB ： A 较大——属（上位）概念 B 较小——种（下位）概念 （2）从属关系（属种关系） 设不是同一关系的两个概念甲、乙，其外延分别用 A、B 表示。如果甲概念 的外延 A 完全包含乙概念的外延 B，或者说。如果 B 概念是 A 概念外延的一部 分而不是全部，种概念 B 的外延是属概念 A 的外延的真子集。 例如：有理数的外延（属概念） 整数的外延（种概念）。 有属种关系的两个概念的关系，在外延、内涵数量上，互相制约。 一个概念的内涵多 → 外延—小 A·B A B 反比关系（反变关系）
反之内涵少→外延一大 Note:这里借用“反比”的意思只是表示概念的内涵与外延在数量方面相应 的变化方向相反，并不意味其间数量成反比例关系。 例如：四边形外延一了外延一☐外延一□外延 多出：两组对边平行：两组对边相等；对角线互相平分。 多出：四个角是直角：对角线相等。 多出：邻边相等：对角线相等且相互垂直平分。 口内涵一口内涵。口内涵四边形内涵 属概念和种概念是相对的。同一个概念，相对于某一概念是属概念，相对于 另一概念可以是种概念。 例如：“有理数”是“整数”的属概念，也是“实数”的种概念 “等腰△”是“△”的种概念，也是“等边△”的属概念。 “种差”的概念：种概念包含于属概念，种概念除具有属概念的内涵外，还 具有本身特有的内涵，这特有的内涵被称为种概念的种差(“种差”概念在概念 的定义中有重要作用)。 属种关系又称从属关系。在数学中，属种关系是概念间比较重要的一种关系。 这种关系，在研究概念的性质以及推理，证明中常用到 (3)交叉关系 如果两概念外延，有且只有部分重合，那么两个概念具有交叉关系。 例：方程组的解集：不等式组的解集：几何中轨迹交截法。 交叉概念A和B外延的交集既是A外延的真子集，也是B的真子集，这个 交集往往是另一个概念的外延。以交叉概念A和B外延的交集为外延的概念， 既具有A的内涵，又具有B的内涵。 A B 例：中学生；女学生一女中学生： 正数：整数→正整数： 矩形：菱形→正方形。 递增数列：有界数列一递增有界数列
7 反之 内涵少 → 外延—大 Note：这里借用“反比”的意思只是表示概念的内涵与外延在数量方面相应 的变化方向相反，并不意味其间数量成反比例关系。 例如：四边形外延 外延 外延 外延 多出：两组对边平行；两组对边相等；对角线互相平分。 多出：四个角是直角；对角线相等。 多出：邻边相等；对角线相等且相互垂直平分。 内涵 内涵 内涵 四边形内涵 属概念和种概念是相对的。同一个概念，相对于某一概念是属概念，相对于 另一概念可以是种概念。 例如：“有理数”是“整数”的属概念，也是“实数”的种概念； “等腰△”是“△”的种概念，也是“等边△”的属概念。 “种差”的概念：种概念包含于属概念，种概念除具有属概念的内涵外，还 具有本身特有的内涵，这特有的内涵被称为种概念的种差（“种差”概念在概念 的定义中有重要作用）。 属种关系又称从属关系。在数学中，属种关系是概念间比较重要的一种关系。 这种关系，在研究概念的性质以及推理，证明中常用到。 （3）交叉关系 如果两概念外延，有且只有部分重合，那么两个概念具有交叉关系。 例：方程组的解集；不等式组的解集；几何中轨迹交截法。 交叉概念 A 和 B 外延的交集既是 A 外延的真子集，也是 B 的真子集，这个 交集往往是另一个概念的外延。以交叉概念 A 和 B 外延的交集为外延的概念， 既具有 A 的内涵，又具有 B 的内涵。 A B AB 例：中学生；女学生 女中学生； 正数；整数 正整数； 矩形；菱形 正方形。 递增数列；有界数列 递增有界数列 A B
正方形既是一组邻边相等的矩形，又是一个角是直角的菱形。 2、不相容关系 如果两概念的外延没有重合部分，则称为不相容关系或全异关系或排斥关 系。它分为： (1)矛盾关系 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系 用集合符号表示之，设属概念的外延为集合C,它的两个种概念的外延分别 为集合A和B。 若AnB=中且AUB-C 则A与B具有矛盾关系 例：男青年；女青年一（青年） 有理数：无理数一{实数； 直角△：斜△→{△} 空集：非空集一{集合；： (2)反对关系（又称对立关系） 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立 关系。 若AnB=中且AUBCC, 则A与B具有反对关系 例：牛：马c动物， 质数：合数c自然数， 正弦函数：余切函数c三角函数 平行四边形：梯形c四边形 概念的全异关系（矛盾反对）是数学中反证法、穷举法的依据（逻辑基础》 之一，用处很多。 两个概念间的矛盾关系和反对关系与它们的属概念有关。对于不同的属概 念，两个种概念的关系可能不一样，对两个种概念的矛盾关系或反对关系，必要
8 正方形既是一组邻边相等的矩形，又是一个角是直角的菱形。 2、不相容关系 如果两概念的外延没有重合部分，则称为不相容关系或全异关系或排斥关 系。它分为： （1）矛盾关系 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系。 用集合符号表示之，设属概念的外延为集合 C，它的两个种概念的外延分别 为集合 A 和 B。 若 AB=φ且 A∪B=C C 则 A 与 B 具有矛盾关系。 例：男青年；女青年→{青年} 有理数；无理数→{实数} 直角△；斜△ →{△} 空集； 非空集→{集合}. （2）反对关系（又称对立关系） 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立 关系。 若 A∩B=φ且 AB C， C 则 A 与 B 具有反对关系。 例：牛；马 动物， 质数；合数 自然数， 正弦函数；余切函数 三角函数 平行四边形；梯形 四边形 概念的全异关系（矛盾/反对）是数学中反证法、穷举法的依据（逻辑基础） 之一，用处很多。 两个概念间的矛盾关系和反对关系与它们的属概念有关。对于不同的属概 念，两个种概念的关系可能不一样，对两个种概念的矛盾关系或反对关系，必要 A B A B
时应指出是对于那个属概念而言的。 除以上各种关系外，概念之间还有一种并列关系。 3、并列关系 同一属概念的几个种概念之间的关系叫做并列关系， 概念的并列关系，可以是相容的，也可以不相容的。 A 概念A、B、C之间的相容并列关系可用图表示： 例：小说家：诗人：剧作家： 无穷数列：有界数列：递增数列 2的倍数：3的倍数：5的倍数：7的倍数。 概念A、B、C之间的不相容并列关系，可用下图表示 例：红色：蓝色：蓝色 加：减：乘：除： 正弦：余弦：正切：余切：正割：余割。 并列关系多指三个或三个以上种概念之间的关系。 [小结]数学中的概念很多，概念之间的关系也比较复杂。教学中我们可以利用 欧拉图把这些关系直观地表示出来，便于学生掌握和理解。例如：四边形及其 系列种概念关系可如图所示： 四边形 平行四边形 梯形 梯形 格 概念之间的关系可概括为：
9 时应指出是对于那个属概念而言的。 除以上各种关系外，概念之间还有一种并列关系。 3、并列关系 同一属概念的几个种概念之间的关系叫做并列关系。 概念的并列关系，可以是相容的，也可以不相容的。 概念 A、B、C 之间的相容并列关系可用图表示： 例：小说家；诗人；剧作家； 无穷数列；有界数列；递增数列； 2 的倍数；3 的倍数；5 的倍数；7 的倍数。 概念 A、B、C 之间的不相容并列关系，可用下图表示： 例：红色；蓝色；蓝色； 加；减；乘；除； 正弦；余弦；正切；余切；正割；余割。 并列关系多指三个或三个以上种概念之间的关系。 [小结] 数学中的概念很多，概念之间的关系也比较复杂。教学中我们可以利用 欧拉图把这些关系直观地表示出来，便于学生掌握和理解。例如：四边形及其一 系列种概念关系可如图所示： 概念之间的关系可概括为： C B A C B 四边形 平行四边形 梯形 矩 形 菱 形 等腰 梯形 直角 梯形 正 方 形 A
同一关系 相容关系从属关系 概念间的关系 交叉关系 不相容关系于盾关系 反对关系 (并列关系相容关系 不相容关系 三、概念的定义和原始概念 问题的提出：“23是不是二次根式？” 答曰：“不是。教材中把式子√a(a≥0)叫做二次根式，25不具有√a的形 式，所以23不是二次根式。” 又答日：“是。把二次根式√2化为最简二次根式结果就是2√5.25是最 简二次根式，还能不是二次根式吗？” 两种回答观点相反，如何解释？ 这是一个与“二次根式”的定义有关的问题。 1、什么是定义(Definition)) 定义是揭示概念内涵的逻辑方法。也即，通过指出概念所反映的事物的本质 来明确概念的逻辑方法。 例如：“方程”是“含有未知数的等式叫做方程”。 “三角形”是“由三条线段首尾顺次连结所组成图形”。 定义是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。 Ds-被定义项：就是其内涵被揭示的概念。 Dp-定义项：就是用以揭示被定义概念内涵的概念。 常用的定义联项：“是”、“叫做”、“称为”etc。 例“Ds就是Dp”或“Dp叫做Ds”。 平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。 Ds联项 Dp 含有未知数的等式，叫做方程
10 反对关系 矛盾关系 不相容关系 交叉关系 从属关系 同一关系 相容关系 概念间的关系 （ 不相容关系 相容关系 并列关系 ） 三、概念的定义和原始概念 [问题的提出]：“ 2 3 是不是二次根式？” 答曰：“不是。教材中把式子 a(a 0) 叫做二次根式， 2 3 不具有 a 的形 式，所以 2 3 不是二次根式。” 又答曰：“是。把二次根式 12 化为最简二次根式结果就是 2 3 。2 3 是最 简二次根式，还能不是二次根式吗？” 两种回答观点相反，如何解释？ 这是一个与“二次根式”的定义有关的问题。 1、什么是定义(Definition) 定义是揭示概念内涵的逻辑方法。也即，通过指出概念所反映的事物的本质 来明确概念的逻辑方法。 例如：“方程”是“含有未知数的等式叫做方程”。 “三角形”是“由三条线段首尾顺次连结所组成图形”。 定义是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。 Ds-被定义项：就是其内涵被揭示的概念。 Dp-定义项：就是用以揭示被定义概念内涵的概念。 常用的定义联项：“是”、“叫做”、“称为”etc。 例 “Ds 就是 Dp”或“Dp 叫做 Ds”。 平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。 Ds 联项 Dp 含有未知数的等式，叫做方程