§5-2数学命题及其数 学 主讲人 数学系程向阳 的
§5-2 数学命题及其教 学 主讲人 数学系 程向阳
教学内容 (4学时) ◆命题(Proposition)之重要性 ·数学命题的意义和结构 数学命题的四种形式及其关系 数学定理、公式的教学要求和教法探过 研究性议题
教学内容 （4 学时） 命题(Proposition)之重要性 数学命题的意义和结构 数学命题的四种形式及其关系 数学定理、公式的教学要求和教法探讨 研究性议题
数学命题之重要性 数学学科是由概念、公理、定理、公式等所组成的严 密的逻辑系统。正是数学命题将概念联系起来，逐步 形成完整的数学学科； ·数学问题的解决，每前进一步都离不开定理和公式； ·有效的数学命题教学，将有助于学生牢固地掌握数学 知识结构，有助于解决问题能力的提高，有助于数学 思维的发展
数学命题之重要性 数学学科是由概念、公理、定理、公式等所组成的严 密的逻辑系统。正是数学命题将概念联系起来，逐步 形成完整的数学学科； 数学问题的解决，每前进一步都离不开定理和公式； 有效的数学命题教学，将有助于学生牢固地掌握数学 知识结构，有助于解决问题能力的提高，有助于数学 思维的发展
一、数学命题的意义和结构 1、数学命题的意义 (1)判断：对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 (只重形式，不问内容) (2)数学判断(Mathematical Judgement) (3)命题：是指一个具有真假意义的陈述语句。 (4)数学命题(Mathematial Proposition).: 数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合。 2、数学命题的结构 (1)命题中的变项与常项 (2)简单(Simple)命题与复合(Compound)命题 (3)基本逻辑联词 (4)数学命题的表达形式
一、数学命题的意义和结构 1、数学命题的意义 （1）判断：对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 （只重形式，不问内容） （2）数学判断（Mathematical Judgement） （3）命题：是指一个具有真假意义的陈述语句。 （4）数学命题（Mathematial Proposition ）： 数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合。 2、数学命题的结构 （1）命题中的变项与常项 （2）简单（Simple)命题与复合(Compound)命题 （3）基本逻辑联词 （4）数学命题的表达形式
(3)基本逻辑联词 ①否定（非“”） 否定式命题 若否定命题p,则得到命题“非p”,记作p。 p与p互为反命题（负判断）。又称命题的否定式。 ②合取（与、且）—联言命题 “p与q”,记作pAq。又称命题p与q的合取式。 ③析取（或）一选言命题 “p或q”,记作pvq。又称命题p与q的析取式。 Note:“不可兼或”和“可兼或”；数学上，一般讨论的析取是“可兼 惑錾整若p则q,“p→g一条件假言命题 若p,则q,记作pq三pVq=一(pAq),其中p前件， q后件。 Note: “真值性蕴涵关系”和“实质性蕴涵关系” ⑤当且仅当（等价，“p→q”)一等价性命题/充分必要蕴涵式。 p当且仅当q,记作p)q 必真值表（教材p121一表4-1~6）》 ※命题演算规则（常用的逻辑等价式）：（教材p123~124)
（3）基本逻辑联词 ①否定（非“”）——否定式命题 若否定命题p，则得到命题“非p”，记作 p 。 p与p 互为反命题（负判断）。又称命题的否定式。 ②合取（与、且）——联言命题 “ p与q”，记作p q 。又称命题 p 与 q 的合取式。 ③析取（或）——选言命题 “ p或q”，记作p q 。又称命题 p 与 q 的析取式。 Note： “不可兼或” 和 “可兼或”； 数学上，一般讨论的析取是“可兼 或析取”。 ④蕴涵(若p,则q, “p→q”)——条件假言命题 若p,则q ，记作 p→q p q （p q），其中 p-前件， q-后件。 Note： “真值性蕴涵关系” 和 “实质性蕴涵关系” ⑤当且仅当（等价，“p q”）——等价性命题/充分必要蕴涵式 。 p当且仅当q，记作 p q ※真值表 （教材p121——表4 –1 ~ 6） ※命题演算规则（常用的逻辑等价式）：（教材p123~124）
(4)数学命题的表达形式 大多为蕴涵式命题。其一般形式可表示为： 关于M,若p,则q。(即关于M,p→q)其 中，作为题设的p,是蕴涵式的“前件”；作 为题设的q,是蕴涵式的“后件”。 ◆ M又称为命题涉及的主体对象。在中学数学教 材中解释为：在一定范围内、同一素材。命 题的对象(M)在命题的变换（如作否、逆、 逆否等)中具有不变性。 但，也有不少数学命题的对象不是以明显的 形式给出的。 对于非明显给出主体对象的命题，要注意其 对象的确定性
（4）数学命题的表达形式 大多为蕴涵式命题。 其一般形式可表示为： 关于M，若p，则q 。（即 关于M，p→q ）其 中，作为题设的p，是蕴涵式的“前件”；作 为题设的q，是蕴涵式的“后件”。 M又称为命题涉及的主体对象。在中学数学教 材中解释为：在一定范围内、同一素材。命 题的对象（M）在命题的变换（如作否、逆、 逆否等）中具有不变性。 但，也有不少数学命题的对象不是以明显的 形式给出的。 对于非明显给出主体对象的命题，要注意其 对象的确定性
二、数学命题的四种形式 1、四种命题的形式及其关系 (教材P.124) 2、四种命题研究的重要意义 3、命题充分、必要和充要条件(Sufficient Necessary Condition)P.127 4、数学命题的制作（教材P.126) 5、同一原理(Identity Principle) 6、分断式命题(Segmented Proposition） 与配套定理（教材P.128) 7、基本逻辑联词在数学教学中的应用
二、数学命题的四种形式 1、四种命题的形式及其关系（教材P.124) 2、四种命题研究的重要意义 3、命题充分、必要和充要条件(Sufficient & Necessary Condition)P.127 4、数学命题的制作（教材P.126) 5、同一原理（Identity Principle） 6、分断式命题（Segmented Proposition） 与配套定理（教材P.128) 7、基本逻辑联词在数学教学中的应用
三、数学命题的教学要求和教法探过 1、基本要求 (1)应使学生认识命题的条件和结论 (2)掌握命题证明方法及如何用来推理和解决问题 (3)掌握定理公式间的关系或推广，加深巩固系统化 2、教法探讨 (1)如何认识定理公式的条件和结论 明确命题 (2)如何掌握定理公式的证明方法 思路和方法 (3)如何掌握和使用定理公式一命题的应用 (4)如何认识定理公式的关系使之成为系统化 建 构知识链 钙
三、数学命题的教学要求和教法探讨 1、基本要求 （1）应使学生认识命题的条件和结论 （2）掌握命题证明方法及如何用来推理和解决问题 （3）掌握定理公式间的关系或推广，加深巩固系统化 2、教法探讨 （1）如何认识定理公式的条件和结论——明确命题 （2）如何掌握定理公式的证明方法——思路和方法 （3）如何掌握和使用定理公式——命题的应用 （4）如何认识定理公式的关系使之成为系统化——建 构知识链
研究性议题：射衫定理有无逆定理？ ◆[Theorem]:在Rt△ABC,斜边上的高 (AD⊥BC)是两条直角边在斜边上的 射影的比例中项（即AD2=BD·DC)。 ◆[Exciese]:已知AABC,AD是高，且 AD2=BD·CD,求证：∠BAC=90
研究性议题：射影定理有无逆定理？ [Theorem]：在RtABC，斜边上的高 （AD ⊥BC）是两条直角边在斜边上的 射影的比例中项（即AD2 = BD • DC）。 [Exciese]：已知 ABC，AD是高，且 AD2 = BD • CD，求证： BAC = 90
研究性议题 ◆[议题一] 条件甲：两条不同的直线11和2的斜率k1=k2: 条件乙：11∥12；那么，条件甲是乙成立的() A.充分但非必要条件 C.充要条件 B.必要但非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ◆[议题二] 条件M:两条不同的直线L1/2; 条件N:直线11和2的斜率k1=k2;问条件M是N 成立的()。 的
研究性议题 [议题一] 条件甲：两条不同的直线l1 和 l2的斜率k1 = k2； 条件乙：l1 l2；那么，条件甲是乙成立的（）。 A.充分但非必要条件 C.充要条件 B.必要但非充分条件 D.既非充分也非必要条件 [议题二] 条件M：两条不同的直线l1 l2 ； 条件N：直线 l1 和 l2的斜率k1 = k2；问条件M是N 成立的（ ）