第十六讲 §4.9空间几何变 ·定理1 在相等的图形中 ·①与共线点对应的是共线点，从而直线的相等图形是直线： ■②两相交直线的交角等于两条对应线的交角： ■③与共面点对应的点是共面点，从而平面的相等图形是平面： ■④对应的二面角，三面角，四面体相等 定理2 两个相等的空间图形，若有不共线的三对对应点重合，则此两图形叠合或对称相等： 若再有与这三对点不共面的第四对点重合，便点点重合，因而两图形叠合. ■两个全等的空间图形，只要有三对不共线的对应点分别相重，便完全重合了. ■两个全等图形可以看作是同一图形在空间所占的两个位置. 图4.51 §4.9.2运动 ■空间中的运动有平移，旋转，半周旋转和螺旋运动. ■1平移：平移由一个向量决定，平移是运动，两个平移的乘积是平移，平移的逆是 平移. ■定理3：除么变换外，平移没有二重点，但有无穷多的二重线与二重面。 ■2旋转：定义 图4.52
第十六讲 §4.9 空间几何变换 ◼ 定理１ 在相等的图形中， ◼ ①与共线点对应的是共线点，从而直线的相等图形是直线； ◼ ②两相交直线的交角等于两条对应线的交角； ◼ ③与共面点对应的点是共面点，从而平面的相等图形是平面； ◼ ④对应的二面角，三面角，四面体相等 定理２ ◼ 两个相等的空间图形，若有不共线的三对对应点重合，则此两图形叠合或对称相等； 若再有与这三对点不共面的第四对点重合，便点点重合，因而两图形叠合． ◼ 两个全等的空间图形，只要有三对不共线的对应点分别相重，便完全重合了． ◼ 两个全等图形可以看作是同一图形在空间所占的两个位置． §４.９.２运动 ◼ 空间中的运动有平移，旋转，半周旋转和螺旋运动． ◼ １平移：平移由一个向量决定，平移是运动，两个平移的乘积是平移，平移的逆是 平移． ◼ 定理３：除幺变换外，平移没有二重点，但有无穷多的二重线与二重面． ◼ ２旋转：定义
■定理4：旋转是运动 定理5：旋转(0)和(0)的积是一个旋转（0十0”) ◆ 定理6：旋转(s0)的逆是旋转 (s-0). 定理7：除么变换外，旋转有无穷多个二重点，若日≠2d,则旋转有一条二重直线 即旋转轴，有无穷多个二重面，即垂直于轴的一切平面。 ■定义：在旋转运动中，若日=2d,则每一点M绕旋转轴转动半圆周，从而M与其 对应点M关于轴S成对称，这样的旋转(s,2d)称为关于S的半周旋转或轴反 M 图4.53 爆旋运动 ■ 一个旋转R跟一个平行于旋转轴的平移T的乘积，称为螺旋运动.两个运动的顺序 不影响结果.即TR=RT ■定理8：螺旋运动是运动. ■定理9：螺旋运动的逆是一个螺旋运动 ■定理10：非单一平移或旋转的螺旋运动没有二重点，但有一条二重线.若旋转角 日≠2d,则螺旋运动没有二重面，但若0=2d则通过轴的平面都是二重面 ■定理11：任意两个全等图形，可以通过一个平移继以两个旋转使相重合，这两旋 转的轴是相交的
◼ 定理４：旋转是运动 ◼ 定理５：旋转（s,θ）和（ s,θ’）的积是一个旋转（ s, θ＋θ’ ） ◼ 定理６：旋转（s,θ）的逆是旋转 （s,－θ）． ◼ 定理７：除幺变换外，旋转有无穷多个二重点，若θ≠２d，则旋转有一条二重直线 即旋转轴，有无穷多个二重面，即垂直于轴的一切平面． ◼ 定义：在旋转运动中，若θ＝ ２d，则每一点Ｍ绕旋转轴转动半圆周，从而Ｍ与其 对应点Ｍ‘关于轴Ｓ成对称，这样的旋转（s,2d）称为关于Ｓ的半周旋转或轴反射. 螺旋运动 ◼ 一个旋转Ｒ跟一个平行于旋转轴的平移Ｔ的乘积，称为螺旋运动．两个运动的顺序 不影响结果．即ＴＲ＝ＲＴ． ◼ 定理８：螺旋运动是运动． ◼ 定理９：螺旋运动的逆是一个螺旋运动 ◼ 定理１０：非单一平移或旋转的螺旋运动没有二重点，但有一条二重线．若旋转角 θ≠２d，则螺旋运动没有二重面，但若θ＝２d 则通过轴的平面都是二重面． ◼ 定理１１：任意两个全等图形，可以通过一个平移继以两个旋转使相重合，这两旋 转的轴是相交的．
M 图4.54 §4.9.3反射或对称变换 ■面反射：给定，平面，从空间一点M作MM0⊥o,M0表垂足，证长MM 0至M',使 M0M'=MM0,则M的对应点M'称为M关于o的对称 点或镜像。当M描绘一图形F时，M'描绘一图形P',称为F关于。的对称图形 镜像，从F到F’的变换称为关于0的镜照反射或面反射. 面个 图4.55 ■定理12：一个面反射的逆是它自身. ■定理13：一个面反射与其自身的乘积是么变换. ■定理14：面反射以反射面上的点为二重点：以反射面上的或与反射面垂直的直线
§4.9.3 反射或对称变换 ◼ 面反射：给定一平面σ，从空间一点Ｍ作 ＭＭ０⊥ σ，Ｍ０表垂足， 延长ＭＭ ０至Ｍ’，使 Ｍ０Ｍ’=ＭＭ０ ，则Ｍ的对应点Ｍ’称为Ｍ关于σ的对称 点或镜像．当Ｍ描绘一图形Ｆ时，Ｍ’描绘一图形Ｆ’，称为Ｆ关于σ的对称图形或 镜像，从Ｆ到Ｆ’的变换称为关于σ的镜照反射或面反射． ◼ 定理１２：一个面反射的逆是它自身． ◼ 定理１３：一个面反射与其自身的乘积是幺变换． ◼ 定理１４：面反射以反射面上的点为二重点；以反射面上的或与反射面垂直的直线
为二重线：以反射面以及垂直于反射面的平面为二重面】 移. ■系：每个平移可以看作两个面反射之积两反射面互相平行且 垂直于平移方向，其中一个面可任意选取，另一个随之而定. 图4.56 定理17：设两平面。1和。2相交于一直线S,则关于。1和。2的两个反射 面之积是一 个旋转，以S为旋转轴 以。1,02夹角的 倍为旋转角 ■系：每一个旋转可以看作两个面反射之积，两反射面通过旋转轴，其夹角是旋转角 的一半，并且其中一个反射面可以任意选取，另一个便随之而定。 中心反 ■定义：设两占M,M以O为中心，则两点M,M对称于O,O称为对称中心或反 射中心 当O为定点而M在一图形F中变动 ，M的对称点M'所形成的图形F称 为F关于0的对称图形.从F到F·的过程称为中心对称变换或中心反射或点反射 。中心反射保留了图形的距离但改变了转向。所以，心反射和面反射一样，将一图形 F变换为与它相等但全等的图形F', ■定理18：中心反射的逆是它的自身 ■定理19：中心反射与其自身的乘积是么变换 ■定理20：中心反射以反射心为二重点，以通过反射心的直线为二重线：以通过反 射心的平面为二重面. ■定理21：面反射变换中对应的直线或平面相交于反射面上或相平行（重合），中心 反射变换中，对应的直线或平面相平行（或重合）. ■定理22：两个心反射之积是一个平移
为二重线；以反射面以及垂直于反射面的平面为二重面． ◼ 定理１５：两个面反射的乘积是一个运动． ◼ 定理１６：设平面σ１ ∥σ２ ，则关于σ１ 和σ２的两个面反射之积等于一个平 移． ◼ 系 ： 每 个 平 移 可 以 看 作 两 个 面 反 射 之 积 两 反 射 面 互 相 平行且 垂直于平移方向，其中一个面可任意选取，另一个随之而定． ◼ 定理１７：设两平面σ１ 和σ２相交于一直线Ｓ，则关于σ１ 和σ２的两个反射 面之积是一个旋转，以Ｓ为旋转轴，以σ１ ，σ２夹角的二倍为旋转角． ◼ 系：每一个旋转可以看作两个面反射之积，两反射面通过旋转轴，其夹角是旋转角 的一半，并且其中一个反射面可以任意选取，另一个便随之而定． 中心反射 ◼ 定义：设两点Ｍ，Ｍ’以Ｏ为中心，则两点Ｍ，Ｍ’对称于Ｏ，Ｏ称为对称中心或反 射中心．当Ｏ为定点而Ｍ在一图形Ｆ中变动时，Ｍ的对称点Ｍ’所形成的图形Ｆ’称 为Ｆ关于Ｏ的对称图形．从Ｆ到Ｆ’的过程称为中心对称变换或中心反射或点反射． ◼ 中心反射保留了图形的距离但改变了转向．所以，心反射和面反射一样，将一图形 Ｆ变换为与它相等但全等的图形Ｆ’． ◼ 定理１８：中心反射的逆是它的自身． ◼ 定理１９：中心反射与其自身的乘积是幺变换． ◼ 定理２０：中心反射以反射心为二重点，以通过反射心的直线为二重线；以通过反 射心的平面为二重面． ◼ 定理２１：面反射变换中对应的直线或平面相交于反射面上或相平行（重合），中心 反射变换中，对应的直线或平面相平行（或重合）． ◼ 定理２２：两个心反射之积是一个平移
图4.58 ■系：同一图形关于两点的对称形是全等图形，可通过平移互得. ■定理23：设直线S垂直于平面。于点0，那么关于中心0，轴S,平面的三个 反射变换中，任两个按任意顺序的积等于第三个 图4.59
◼ 系：同一图形关于两点的对称形是全等图形，可通过平移互得． ◼ 定理２３：设直线Ｓ垂直于平面σ于点Ｏ，那么关于中心Ｏ，轴Ｓ，平面σ的三个 反射变换中，任两个按任意顺序的积等于第三个．