初等代数研究 第二章式 用字母表示数，数学研究的对象便从数扩展到式。式本身不仅是代表数的符号，也是表明对于 数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。 按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。数学式是数学研究 的基本对象 一、数学符号简史 古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符号。欧几里得《几何原本》就不使用数学符 号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用0，也大量求解方程， 但是因为计算过程 依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0只是一个空格。 公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知 数，这是一项重大贡献，但是他们仍然以文字表述为主。 最早使用“+心.”表示加减的是15世纪的德国数学家，现存于德累斯顿图书馆的数学手稿(1486 年)中，首见此符号。 1631年，英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法，而1698年莱布尼 茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避兔“×”和字母x混淆。除法的记号“÷”在1659 年由瑞士人雷恩引入。 等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。 表示方程的符号，世界各国很不相同，可以说五花八门。19世纪末20世纪初国际交往的扩大， 终于有了比较统一的国际通用的数学符号。 中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符 号使用上拒绝和国家接轨 1897年京师同文馆数学大考题中的两则考题： 详见《中学代数研究》P38 1859年《代微积拾级》出版算起，x,八，：，取代天、地、人、元的过程，前后经历了半个世 纪之久。 二、数学符号语言 一代数式 自学《中学代数研究》P38~40 三、字母表示数 自学《中学代数研究》P40~42 四、解析式 解析式一一用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。 代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。 超越式：解析式中如果除了代数运算之外，还有超越运算，称之为超越式
初等代数研究 1 第二章 式 用字母表示数，数学研究的对象便从数扩展到式。式本身不仅是代表数的符号，也是表明对于 数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。 按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。数学式是数学研究 的基本对象。 一、数学符号简史 古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符号。欧几里得《几何原本》就不使用数学符 号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用 0，也大量求解方程，但是因为计算过程 依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0 只是一个空格。 公元 10 世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知 数，这是一项重大贡献，但是他们仍然以文字表述为主。 最早使用“+”“-”表示加减的是 15 世纪的德国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（1486 年）中，首见此符号。 1631 年，英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法，而 1698 年莱布尼 茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避免“×”和字母 x 混淆。除法的记号“÷”在 1659 年由瑞士人雷恩引入。 等号是英国数学家雷科德于 1557 年在《励智石》一书首先使用。 表示方程的符号，世界各国很不相同，可以说五花八门。19 世纪末 20 世纪初国际交往的扩大， 终于有了比较统一的国际通用的数学符号。 中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符 号使用上拒绝和国家接轨。 1897 年京师同文馆数学大考题中的两则考题： 详见《中学代数研究》 P38 1859 年《代微积拾级》出版算起， x, y,z,w 取代天、地、人、元的过程，前后经历了半个世 纪之久。 二、数学符号语言——代数式 自学《中学代数研究》 P38 ~ 40 三、字母表示数 自学《中学代数研究》 P40 ~ 42 四、解析式 解析式——用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。 代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。 超越式：解析式中如果除了代数运算之外，还有超越运算，称之为超越式
初等代数研究 代数式有理式/整式 分式 解析式 无理式一一根式 代数式中不含开方运算的称为有理式，否则称为无理式。 1.整式 整式（多项式）一一F是一个数域，Axy4.2m+Axy.2+.+A,xy小.2(5≥1) 称为数域F上的多项式，其中Axy.2(=1,2,.,5)称为多项式的项，A,称为项的系数，变 数字母x,y,.,二所取的数值都属于数域F,k,l,.,9,都是非负整数。 各个系数都等于零的多项式称为零多项式。零多项式的值总是零。 多项式的次数一—对于非零多项式Axy.2+A,xy.+.+A,xy以.z%(8≥1)， k+,+.+q,(-1,2,.,5)中的最大的非负整数值称为这个多项式的次数。 多项式恒等一数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。 定理：以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有 相同系数的同类项。（待定系数法的理论依据） 例求证ar2+2bxy+gy2+2k+2y+∫是一个完全平方式的充分必要条件是 ac=b2,ad=d2,cf=e2,并且a,c,∫都是非负实数。 证 )(必要性)如果ar2+2bxy+cy2+2+2ey+f=(4r+By+C},那么 ax+2bxy+cy+2dkx+2ey+f=x+24Bxy+By+2ACx+2BCy+C2 由此可得：a=A2;b=AB,c=B2;d=ACe=BC;∫=C2 因而a,c,f都是非负实数，并且ac=b2,a=d2,gf=e2. (②)（充分性）如果a,c,∫都是非负实数，并且ac=b2,a可=d2,gf=e2,那么 am2+2by+gy2+2d+2ey+f=(Wax)2+2acxy+（WEyj+2√可x+2可y+Fj -(ax+Jey+) 2
初等代数研究 2 三角式、反三角式 指数式、对数式 超越式 无理式 — —根式 分式 整式 有理式 代数式 解析式 代数式中不含开方运算的称为有理式，否则称为无理式。 ⒈整式 整式（多项式）—— F 是一个数域， ( 1) 1 1 1 2 2 2 A1 x y z + A2 x y z + + A x y z s s s qs k l s k l q k l q 称为数域 F 上的多项式，其中 A x y z (i 1,2, ,s) i i qi k l i = 称为多项式的项， Ai 称为项的系数，变 数字母 x, y, ,z 所取的数值都属于数域 F ， i i qi k ,l , , 都是非负整数。 各个系数都等于零的多项式称为零多项式。零多项式的值总是零。 多项式的次数——对于非零多项式 ( 1) 1 1 1 2 2 2 A1 x y z + A2 x y z + + A x y z s s s qs k l s k l q k l q ， k l q (i 1,2, ,s) i + i ++ i − 中的最大的非负整数值称为这个多项式的次数。 多项式恒等——数域 F 上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。 定理：以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有 相同系数的同类项。（待定系数法的理论依据） 例 求证 ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f 2 2 是一个完全平方式的充分必要条件是 2 2 2 ac = b ,af = d ,cf = e ，并且 a, c, f 都是非负实数。 证 ⑴（必要性）如果 ( ) 2 2 2 ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f Ax + By + C ，那么 2 2 2 2 2 2 2 ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f A x + 2ABxy + B y + 2ACx + 2BCy +C 由此可得： 2 2 2 a = A ;b = AB;c = B ;d = AC;e = BC; f = C 因而 a, c, f 都是非负实数，并且 2 2 2 ac = b ,af = d ,cf = e 。 ⑵（充分性）如果 a, c, f 都是非负实数，并且 2 2 2 ac = b ,af = d ,cf = e ，那么 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 ax c y f ax bxy cy dx ey f ax acx y c y af x cf y f = + + + + + + + = + + + + +
初等代数研究 2.分式 有理分式一一两个多项式的比Px少，旦称为有理分式，也可简称为分式。 Q(x,y.,) 有理分式的定义城一在已知数域内，任意一组使分式P工“，已的分母不为零的自变数值， Qx八，.，) 使分式有一个完全确定的值与它对应，所有这样的自变数值组的集合称为这个分式的定义域。 例化简 ala-bya-cXa-d)"b(b-aXb-cXb-d)"clc-aXc-bXc-d)"a(d-aXd-b)d-c) 解 将原式各项通分，得到公分母Q=abcd(a-b(a-c(a-d(b-cb-d(c-d),分子 P=bcd(b-c)(b-d)(c-d)-acd(a-cXa-dyc-d)+abd(a-bXa-dyb-d) -abc(a-b)a-cXb-c) 显然，当a=b时，P=0。因此可以断定P能被a-b整除。同理可知，P能被Q所含有的 每一个二项式因式整除。 如果以Q的所有二项式因式的积除P,可得 P=K(a-b(a-c(a-d0(b-c(b-d(c-d),这里K是零次多项式。 设a=0,b=1,c=-1,d=2,代入P的两个表达式，得到-12=K12,于是K=-1,从而 原式化简为-abca 3.根式 算术根一一n次幂等于A的非负实数a,称为数A的n次算术根，并记作 a=A(A≥0，n∈N,n>),其中n称为根指数，A称为被开方数。 最简根式一一如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的，被开方数的每一个因式的指数都小于 根指数，并且被开方数不含有分母，那么称这个根式为最简根式。 -周 例化简 (a+b)-4ab 解 因为(a+b}-4ab≠0，所以，a≠b。因为ab>0,所以，a,b是符号相同的数。 层-层-品-隔-会-4 3
初等代数研究 3 ⒉分式 有理分式——两个多项式的比 ( , , , ) ( , , , ) Q x y z P x y z 称为有理分式，也可简称为分式。 有理分式的定义域——在已知数域内，任意一组使分式 ( , , , ) ( , , , ) Q x y z P x y z 的分母不为零的自变数值， 使分式有一个完全确定的值与它对应，所有这样的自变数值组的集合称为这个分式的定义域。 例 化简 a(a b)(a c)(a d ) b(b a)(b c)(b d ) c(c a)(c b)(c d ) d(d − a)(d − b)(d − c) + − − − + − − − + − − − 1 1 1 1 解 将原式各项通分，得到公分母 Q = abcd(a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d) ，分子 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) abc a b a c b c P bcd b c b d c d acd a c a d c d abd a b a d b d − − − − = − − − − − − − + − − − 显然，当 a = b 时， P 0 。因此可以断定 P 能被 a −b 整除。同理可知， P 能被 Q 所含有的 每一个二项式因式整除。 如果以 Q 的所有二项式因式的积除 P ，可得 P = K(a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d) ，这里 K 是零次多项式。 设 a = 0,b = 1,c = −1,d = 2, 代入 P 的两个表达式，得到−12 = K 12 ，于是 K = −1 ，从而 原式化简为 abcd 1 − 。 ⒊根式 算术根—— n 次幂等于 A 的非负实数 a ，称为数 A 的 n 次算术根，并记作 a = A(A 0,n N,n 1) n ，其中 n 称为根指数， A 称为被开方数。 最简根式——如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的，被开方数的每一个因式的指数都小于 根指数，并且被开方数不含有分母，那么称这个根式为最简根式。 例 化简 (a b) ab a b b a ab 4 2 + − − 解 因为 ( ) 4 0 2 a + b − ab ，所以， a b 。因为 ab 0 ，所以， a,b 是符号相同的数。 由 ab b ab b a b ab a ab a b a = = = = 2 2 , ； (a + b) − 4ab = a − b 2 ；
初等代数研究 8周.4 (a+b)-4ab la-bl 可a,当a>6>0,赋-8合1 当b>a>0时，原式= a-b -(a-6- 当ab时，原式=二a+-: a-b -a+b 当a1. 定义3-a9=aP,这里的a≥0，p∈N,g∈N,q>1 定义4一Q=。,这里的a>0,5是任何正有理数。 1 定义5一当口是正无理数，a是正实数。，：，aC分别是α的精确到。的不足近似值和过剩近 似值时，规定数列{a},{a}的共同极限是a的无理数指数幂，记作a“,即 a”=ma=ma心 1 定义6—一当a是正无理数，a是正实数时，规定aa= 型在定果实不等于事么对于在一定的正板,有-的敌 使a的a次幂等于N,即a“=N。 定义一一如果不等于1的正实数a的某次乘方的幂等于正实数N,那么称这个幂的指数是以a为 底的N的对数。 5,三角式与反三角式 在初等数学中，三角函数由几何性质给出定义，但研究由三角式与反三角式给出的解析式主要 是运用代数的方法，并且着重于三角式与反三角式的恒等变形。 4
初等代数研究 4 得 ( ) a b a b a b ab a b b a ab − − = + − − 4 2 可知，当 a b 0 时，原式＝ = 1 − − a b a b ； 当 b a 0 时，原式＝ 1 ( ) = − − − − a b a b ； 当 a 0,b 0 ，并且 a b 时，原式 = −1 − − + = a b a b ； 当 a 0,b 0 ，并且 a b 时，原式 1 ( ) = − − − + = a b a b 。 ⒋指数式与对数式 ⑴指数式 定义 1——如果 a 0 ，规定 1 0 a = 。 定义 2—— q q a = a 1 ，这里的 a 0,q N,q 1。 定义 3—— q q p p a = a ，这里的 a 0, p N,q N,q 1 定义 4—— s s a a 1 = − ，这里的 a 0， s 是任何正有理数。 定义 5——当 是正无理数， a 是正实数， − + n n , 分别是 的精确到 n 10 1 的不足近似值和过剩近 似值时，规定数列 { },{ } − + n n a a 的共同极限是 a 的无理数指数幂，记作 a ，即 − + →+ →+ = = n n a a a n n lim lim 定义 6——当 是正无理数， a 是正实数时，规定 a a 1 = − 。 ⑵对数式 定理（对数存在定理）：如果正实数 a 不等于 1，那么对于任一给定的正实数 N ，有唯一的实数 ， 使 a 的 次幂等于 N ，即 a = N 。 定义——如果不等于 1 的正实数 a 的某次乘方的幂等于正实数 N ，那么称这个幂的指数是以 a 为 底的 N 的对数。 ⒌三角式与反三角式 在初等数学中，三角函数由几何性质给出定义，但研究由三角式与反三角式给出的解析式主要 是运用代数的方法，并且着重于三角式与反三角式的恒等变形
初等代数研究 ()三角式 在初等数学中，三角函数的定义是用几何方法建立起来的，它仅仅给出了自变数的取值与三角 函数值的对应，而不能给出直接由自变数的值计算三角函数值的公式 在数学分析教程中，用泰勒公式可将三角函数展开为幂级数。事实上，三角式的概念及其运算 关系的建立并不依赖于几何的解释。 定义一一对于实数x,符号C(x)称为解析余弦，S(x)称为解析正弦，其中 C)=1r (2反三角式 对于实数x(1≤x≤l),如果sim((arcsin x)=x,cos((arccosx)=x,并且 -≤arcsn≤号0≤arc0sx≤x,那么表达式rs0sx分别称为反正、弦反余弦。 等式一一两个解析式4(x,八，.，)，B(x,y,.,)用等号连接起来的式子称为等式： A(x,y.,)=B(xy.,) 等式可以分为两类：恒等式和条件等式。 当不定元取一切有意义的数值时，等号两边的解析式都取相同的值，称之为恒等式，也称之为 绝对等式。 当一个等式，只在不定元取某些特殊的数值时才成立，称之为条件等式。 ·主要探讨多项式基本理论 多项式f(x)=a,x”+an+.+ax+a (an≠0时称为n次多项式) 1、多项式恒等定理 定理1如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值， 多项式f(x)=ax+ax+.+ax+a 的值都为零，那么这个多项式的所有系数都 等于零
初等代数研究 5 ⑴三角式 在初等数学中，三角函数的定义是用几何方法建立起来的，它仅仅给出了自变数的取值与三角 函数值的对应，而不能给出直接由自变数的值计算三角函数值的公式。 在数学分析教程中，用泰勒公式可将三角函数展开为幂级数。事实上，三角式的概念及其运算 关系的建立并不依赖于几何的解释。 定义——对于实数 x ，符号 C(x) 称为解析余弦， S(x) 称为解析正弦，其中 = − + − + = − + − + 1! 3! 5! 7! ( ) , 2! 4! 6! ( ) 1 3 5 7 2 4 6 x x x x S x x x x C x ⑵反三角式 对于实数 x(−1 x 1) ，如果 sin(arcsin x) = x,cos(arccos x) = x ，并且 − x ,0 arccos x 2 arcsin 2 ，那么表达式 arcsin x,arccos x 分别称为反正弦、反余弦。 等式——两个解析式 A(x, y, ,z), B(x, y, ,z) 用等号连接起来的式子称为等式： A(x, y, ,z) = B(x, y, ,z) 等式可以分为两类：恒等式和条件等式。 当不定元取一切有意义的数值时，等号两边的解析式都取相同的值，称之为恒等式，也称之为 绝对等式。 当一个等式，只在不定元取某些特殊的数值时才成立，称之为条件等式。 • 主要探讨多项式基本理论 1、多项式恒等定理 ( 0 ) ( ) 1 0 1 1 时称为 次多项式 多项式 a n f x a x a x a x a n n n n n = + + + + − − . ( ) 1 1 0 1 1 等于零 的值都为零，那么这个多项式的所有系数都 多项式 定理 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值， f x a x a x a x a n n n = n + + + + − −
初等代数研究 定理2两个多项式 fx)=anx"+an-x+.+ax+a(an≠0) g(x)=bx+bx++bx+bo(b0) 恒等的充要条件使它们的次数相等， 且对应系数相等 定理3如果两个次数不大于n的多项式/(x),g(x) 对于x的n+1个不同的值都有相等的值， 那么这两个多项式恒等 2、多项式的整除理论 定理1（带余除定理）设fx,g(x)是多项式，且g(x)≠0， 那么存在唯一一对多项式q(x),r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x) (1) 其中rx)=0或者degr(x)<degg(x) 定理2（余数定理）多项式(x)除以x-a所得的余数为(a) 推论1x-df(x)-fa) 推论2若f(x)∈Zx],a,b∈Z,且a≠b, 则a-f(a)-f(b) 定理3（因式定理）多项式/(x)有因式x-a的 充要条件是f(a)=0. 3、多项式的因式分解 多项式的因式分解结果与被指定的数域有关 (仙)一元多项式的因式分解 定理1有理数域上的二次三项式ax2+br+G 可分解为两个一次因式的充要条件是 b2-4ac是一个有理数的平方 定理2有理数域上的双二次三项式x+pr2+g 可分解为两个二次因式乘积的充要条件是 p2-4g是一个有理数的平方， 或者q与2、√g-p都是有理数的平方， 或者g与-2G-p都是有理数的平方 6
初等代数研究 6 2、多项式的整除理论 3、多项式的因式分解 多项式的因式分解结果与被指定的数域有关 (1) 一元多项式的因式分解 . ( ) ( 0) ( ) ( 0) 2 1 0 1 1 1 0 1 1 且对应系数相等 恒等的充要条件使它们的次数相等， 定理 两个多项式 = + + + + = + + + + − − − − m m m m m n n n n n g x b x b x b x b b f x a x a x a x a a 那么这两个多项式恒等 对于 的 个不同的值都有相等的值， 定理 如果两个次数不大于 的多项式 1 3 ( ), ( ), x n + n f x g x ( ) 0 deg ( ) deg ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ), ( ), 1 ( ), ( ) ( ) 0, r x r x g x f x g x q x r x q x r x f x g x g x = = + 其中 或者 那么存在唯一一对多项式 使 定理 （带余除定理）设 是多项式，且 定理2（余数定理）多项式 f (x)除以x −a所得的余数为f (a). 推论1 x −a f (x) − f (a). ( ) ( ). 2 ( ) [ ], , , , a b f a f b f x Z x a b Z a b − − 则 推论 若 且 ( ) 0. 3 ( ) = − f a f x x a 充要条件是 定理 （因式定理）多项式 有因式 的 4 1 2 2 是一个有理数的平方 可分解为两个一次因式的充要条件是 定理 有理数域上的二次三项式 b ac ax bx c − + + 2 . 2 4 2 2 4 2 或者 与 都是有理数的平方 或者 与 都是有理数的平方， 是一个有理数的平方， 可分解为两个二次因式乘积的充要条件是 定理 有理数域上的双二次三项式 q q p q q p p q x px q − − − − + +
初等代数研究 定理3实数域上的二次三项式am2+br+C 可以分解为两个一次因式的充要条件是 b2-4ac≥0 (2)多元多项式的因式分解 基本类型是分解二元二次六项式 ax2+bxy+cy+dx+ey+f a.b.c.d.e.fER 定理4ar2+bxy+gy2+dk+ey+∫在实数域上 能分解为两个一次因式的必要条件是 2a b d D=b 2c e =0 d e 2f 注意：在复数域这一条件是充分必要的 2a b d 定理5若D=b2ce=0, d e 2f 且b2-4ac是非零有理数的平方，则 ax+bxy+cy+dx+ey+f 在有理数域上可以分解为两个一次因式的积 例1在有理数域上分解 6x2+xy-12y2+x+10y-2 例2在有理数域上分解 x2+3xy+2y2+4x+5y+3
初等代数研究 7 （2）多元多项式的因式分解 注意：在复数域这一条件是充分必要的 4 0 3 2 2 − + + b ac ax bx c 可以分解为两个一次因式的充要条件是 定理 实数域上的二次三项式 a b c d e f R ax bxy cy dx ey f + + + + + , , , , , 2 2 基本类型是分解二元二次六项式 0 2 2 2 D 4 2 2 = = + + + + + d e f b c e a b d ax bxy cy dx ey f 能分解为两个一次因式的必要条件是 定理 在实数域上 . 4 , 0, 2 2 2 5 D 2 2 2 在有理数域上可以分解为两个一次因式的积 且 是非零有理数的平方 则 定理 若 ax bxy cy dx ey f b ac d e f b c e a b d + + + + + − = = 6 12 10 2 1 2 2 x + xy− y + x + y − 例 在有理数域上分解 3 2 4 5 3 2 2 2 x + x y+ y + x + y + 例 在有理数域上分解
初等代数研究 利用行列式分解因式 多项式/)=a,+ax1++ag+a (a,≠0)可以写成n阶行列式： x-10.0 0 0x-1.0 0 f（x)=. 000.x -1 aa1a2.an-2anx+an-
初等代数研究 8 利用行列式分解因式 0 1 2 2 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 ( ) ( 0) : ( ) − − − − + − − − = = + + + + n n n n n n n n a a a a a x a x x x f x a n f x a x a x a x a 可以写成 阶行列式 多项式