§1.21轴反射或轴对称变换 (1)轴对称变换的定义 (2)轴对称变换的性质定理 ·定理1：两个轴对称的乘积是一个运动 ·定理2：设直线al∥a2,则关于al,a2的两个轴反射的乘积是一个平移. ·系：每个平移可看作两个轴反射之积.两反射轴互相平行，且垂直于平移的方向 并且其中第一条轴可以任意选取，第二条轴便随之而定 定理3：设直线a1与2相交于一点0，则关于a1和2的两个轴反射之积是一个 旋转 §1.22合同变换 ·合同变换的定义，正向合同变换的定义，反向合同变换 ·合同变换的性质 §1.23位似变换和相似变换 1位似变换的定义，正位似，反位似， ·2注：（1)位似中心是与自身位似的点，除k=1外，只有位似中心有此性质. ·（2)中心反射是反位似的一个特例(k=1) ·(3)平面上的位似变换保留图形的转向 (4)设F‘是F的位似形，M,N是F上的点，M,N是他们的位似点，则对应 线段之比是常数 (5)若两多边形成位似，则对应顶点的角相等，对应边成比例. ·3相似变换的定义 ·位似与相似的关系 ·4定理：图形的位似具有反身性，对称性和传递性。 1.24初等几何变换的应用 ·例1：以△ABC三中线为边构成△ABC,又以△ABC'三中线为边构成△ ABC”,求证： ·（1)△ABC与△ABC”相似，且相似比为4：3 ·(2)面积的比 S△ABC:S△A'B'C=S△A'B'CS△A,BC=4:3 例2：任意四边形中 双对边中点的连线段不大于另一双对边和的一半。 §1.24.1利用轴反射变换证明命题 ·例1：AD为△ABC中角A的平分线，P为AD上一点，若AB>AC,求证A B-ACP R-P C §1242利用旋转变换证明命题 例1 设△ABC是等边的，在BC、AA、BA上各取一点A'、B、C,使得 BA'=CB=AC'。设AA、BB'、CC构成△A“B”C“,求证△A'BC 和△A”B“C”也都是等边的，并且有相同的重心。 例2，在凸四边形的每一边上向外方做正方形，求证两双对边上的正方形中心的连线相等且 岳直 §1.24.3利用相似变换证明命盟 例1：如图，以三角形ABC的三边为底做三个转向相同的相似等腰三角形CAB,A'C B,BAC,求证A'CBC'是平行四边形。 托雷密定理 ·圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和
§1.21 轴反射或轴对称变换 • （１）轴对称变换的定义 • （２）轴对称变换的性质定理 • 定理１：两个轴对称的乘积是一个运动 • 定理２：设直线 a1∥a2,则关于 a1 ， a2 的两个轴反射的乘积是一个平移． • 系：每个平移可看作两个轴反射之积．两反射轴互相平行，且垂直于平移的方向， 并且其中第一条轴可以任意选取，第二条轴便随之而定． • 定理３：设直线 a1 与 a2 相交于一点Ｏ，则关于 a1 和 a2 的两个轴反射之积是一个 旋转． §1.22 合同变换 • 合同变换的定义，正向合同变换的定义，反向合同变换 • 合同变换的性质． §1.23 位似变换和相似变换 • １位似变换的定义，正位似，反位似， • ２注；（１）位似中心是与自身位似的点，除 k＝１外，只有位似中心有此性质． • （２）中心反射是反位似的一个特例（k=-1） • （3）平面上的位似变换保留图形的转向 • （４）设Ｆ‘是Ｆ的位似形，Ｍ，Ｎ是Ｆ上的点，Ｍ’，Ｎ‘是他们的位似点，则对应 线段之比是常数 • （５）若两多边形成位似，则对应顶点的角相等，对应边成比例． • ３相似变换的定义 • 位似与相似的关系 • ４定理：图形的位似具有反身性，对称性和传递性． §1.24 初等几何变换的应用 • 例１：以△ABC 三中线为边构成△A’B’C’ ，又以△A’B’C’三中线为边构成△ A’’B’’C’’ ，求证： • （１） △ABC 与△A’’B’’C’’相似，且相似比为４︰３ • （２）面积的比 S△ABC ︰ S△A’B’C’= S△A’B’C’ S△A’’B’’C’’=4 ︰ 3 例２：任意四边形中，一双对边中点的连线段不大于另一双对边和的一半． §1.24.1 利用轴反射变换证明命题 • 例１：ＡＤ为△ＡＢＣ中角Ａ的平分线，Ｐ为ＡＤ上一点，若ＡＢ＞ＡＣ，求证 Ａ Ｂ－ＡＣ＞ＰＢ－ＰＣ． §1.24.2 利用旋转变换证明命题 • 例１：设△ＡＢＣ是等边的，在ＢＣ、ＡＡ、ＢＡ上各取一点Ａ’、Ｂ’、Ｃ‘，使得 ＢＡ’＝ＣＢ‘＝ＡＣ’。设ＡＡ‘、ＢＢ’、ＣＣ‘构成△Ａ“Ｂ”Ｃ“，求证△Ａ’Ｂ‘Ｃ’ 和 △Ａ”Ｂ“Ｃ”也都是等边的，并且有相同的重心。 例２，在凸四边形的每一边上向外方做正方形，求证两双对边上的正方形中心的连线相等且 垂直。 §1.24.3 利用相似变换证明命题 例１：如图，以三角形ＡＢＣ的三边为底做三个转向相同的相似等腰三角形Ｃ‘ＡＢ，Ａ’Ｃ Ｂ，Ｂ‘ＡＣ，求证Ａ’ＣＢ‘Ｃ’是平行四边形。 托雷密定理 • 圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和
托雷密定理的推广 ·对于一般的四边形ABCD,右ABXCD+ADXBC≥ACXBD ·定理：四边形内接于圆的充要条件是两对角线之积等于两双对边乘积之和
托雷密定理的推广 • 对于一般的四边形ＡＢＣＤ，有ＡＢ×ＣＤ＋ＡＤ×ＢＣ≧ＡＣ×ＢＤ． • 定理：四边形内接于圆的充要条件是两对角线之积等于两双对边乘积之和．