《数学教学论》课程教学资源（初等代数研究讲义）第一章 数与数系

中学代数研究】 第一讲数与数系 一、数系的历史发展 ()数学思维对象与实体的分离 数的概念的产生和发展 人类在腺胧时代就已具有识别事物多寡的能力。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的 形成，是一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一 只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别， 逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。 数：一定物群所共有的抽象性质。 “数”概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前。 I最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信总 Ⅲ结绳计数、刻痕计数。 人类刻痕计数发现的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨，其上有55道刻痕。 历史途径扩展： *自然数{1,2,3一正有理数一简单的代数无理数（如√反，√互+√万等）一零（公元650年左右， 印度)与负有理数一复数一严格的实数系。 逻辑扩展： 自然数负数降→整数系作分数城→有理数系作相价类→实数系作2流代展→复数 系。 注：四元数H(a,b,c,d不满足某些数的性质，故不属于数系。 (②从一个数系A扩展到新的数系B,应当遵循如下的结构主义原则： ①A是B的真子集，即ACB。 ②在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系，在B的元间也有相应的定义，且B的元 间的这些关系和运算对B中的A的元来说与原定义一致：这保证老结构和新结构彼此相容。 ③B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是总能实施，在B中却总能实施。 ④在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B是唯一最小扩展。 (补充)基本概念 同构一一(A)与(B,⊙)是两个代数系统。若存在A到B上的一一映射∫，且a,b∈A,有 f(a*b)=f(a)ef(b),则称(A)与(B,⊙)同构，f为同构映射。 扩张一—若B是B的一个真子集，且(4)与(B,⊙)同构，则称(B,⊙)是(4)的一个扩张。 二、自然数系和0 (①自然数的基数理论和序数理论

中学代数研究 1 第一讲 数与数系 一、数系的历史发展 ⑴数学思维对象与实体的分离 数的概念的产生和发展 人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的 形成，是一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别， 逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。 数：一定物群所共有的抽象性质。 “数”概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在 30 万年以前。 Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信息。 Ⅲ结绳计数、刻痕计数。 人类刻痕计数发现的最早证据，是 1937 年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨，其上有 55 道刻痕。 历史途径扩展： *自然数 1,2,3 →正有理数→简单的代数无理数（如 2, 2 + 3 等）→零（公元 650 年左右， 印度）与负有理数→复数→严格的实数系。 逻辑扩展： 自然数 ⎯添加负数和零 ⎯⎯ ⎯→ 整数系 ⎯作分数域 ⎯ ⎯→ 有理数系 ⎯作柯西序列等价类 ⎯⎯⎯ ⎯→ 实数系 ⎯作⎯2次代数扩展 ⎯⎯⎯→ 复数 系。 注：四元数 H(a,b,c,d) 不满足某些数的性质，故不属于数系。 ⑵从一个数系 A 扩展到新的数系 B，应当遵循如下的结构主义原则： ①A 是 B 的真子集，即 A  B 。 ②在新数上建立各种运算。A 的元间所定义的运算关系，在 B 的元间也有相应的定义，且 B 的元 间的这些关系和运算对 B 中的 A 的元来说与原定义一致；这保证老结构和新结构彼此相容。 ③B 的结构和 A 的结构可能有本质不同。某种运算在 A 中不是总能实施，在 B 中却总能实施。 ④在 A 的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B 是唯一最小扩展。 （补充）基本概念 同构—— (A, ) 与 (B,) 是两个代数系统。若存在 A 到 B 上的一一映射 f ，且 a,b  A ，有 f (a b) = f (a)f (b) ，则称 (A, ) 与 (B,) 同构， f 为同构映射。 扩张——若 B 是 B 的一个真子集，且 (A, ) 与 (B,) 同构，则称 (B,) 是 (A, ) 的一个扩张。 二、自然数系和 0 ⑴自然数的基数理论和序数理论

中学代数研究 ①建立自然数理论的几种方案 【康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论： Ⅱ皮亚诺以公理法为基础，建立自姚数序数理论！ Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论 ②自然数的基数理论 1定义。基数→有限集一自然数 自然数：有限作的其数 Ⅱ顺序。 (a)顺序定义 如果有限集A,B的基数分别为a,b。那么， 当A~B时，说a等于b,记作a=b: 当A~B'CB时，就说a小于b,记作ab。 (b)顺序性质 [相等。反身性、对称性、传递性(T) 对逆性 a与b 大小（全序性传递性(Th2) 三歧性 Th11)a∈N,有a=a 2Na,beN,若a=b,则b=a (3Ha,b,ceN,若a=b,b=c,则a=c Th21)Ha,b∈N,当且仅当aa (2Ha,b,c∈N,若ab中有且只有一个成立。 证：I)设A,B都是有限集。A=a,B=b。则存在B'cB,则A~B'cB即 当BB'~A时，b>a:同理，当b>a时，a<b。 (2)设A、B、C都是有限集，A=a,B=b,C=c。根据定义，存在集合B、C',使得 A~BcB,B~C'cC,这就有集合C"cC',且C"cB,于是 A~C"cC'cC,即a<c。 Ⅲ运算 (a)运算定义 加法定义：设A,B都是有限集。A=a,B=b,且A⌒B=中，则AUB的基数为a加上b的和， 记作a+b。 乘法定义：若b个有限集A,A,.,A,彼此之间没有公共元素，它们的基数都是a,则称

中学代数研究 2 ①建立自然数理论的几种方案 Ⅰ康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论； Ⅱ皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序数理论； Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论。 ②自然数的基数理论 Ⅰ定义。基数→有限集→自然数 自然数：有限集的基数。 Ⅱ顺序。 (a) 顺序定义 如果有限集 A, B 的基数分别为 a,b 。那么， 当 A ~ B 时，说 a 等于 b ，记作 a = b ； 当 A ~ B  B 时，就说 a 小于 b ，记作 a  b ； 当 A  A ~ B 时，就说 a 大于 b ，记作 a  b 。 (b) 顺序性质             （ ） 三歧性 传递性 对逆性 大小（全序性） 相等。反身性、对称性、传递性（ ） 与 2 1 Th Th a b a b c N a b b c a c a b N a b b a Th a N a a   = = =   = =   = ⑶ 若 则 ⑵ 若 则 ⑴ 有 , , , , , , , , 1 , ⑶ 在 中有且只有一个成立。 ⑵ 若 则 ⑴ 当且仅当 时， a b N a b a b a b a b c N a b b c a c Th a b N a b b a    =           , , , , , , , , , 2 , , ，即 。 ，这就有集合 ，且 ，于是 ⑵设 、 、 都是有限集， ， 。根据定义，存在集合 、 ，使得 当 时， ；同理，当 时， 。 证：⑴设 都是有限集。 。则存在 则 即 A C C C a c A B B B C C C C C B A B C A a B b C c B C B B A b a b a a b A B A a B b B B A B B                = = =        = =     ~ ~ , ~ , ~ , , , ~ . Ⅲ运算 (a) 运算定义 加法定义：设 A, B 都是有限集。 A = a,B = b,且A B =  ，则 A  B 的基数为 a 加上 b 的和， 记作 a + b。 乘法定义：若 b 个有限集 A A Ab , , , 1 2  彼此之间没有公共元素，它们的基数都是 a ，则称

中学代数研究 AUA,UUA,的基数为a乘以b的积，记作a×b。 (亿)运算性质 T3自然数的加法满足交换律和结合律。 Th4(乘法交换律)a,b∈N恒有ab=ba。 T5(乘法结合律)a,b,ceN恒有a(bc)=(ab)c Ti6(乘法对加法的分配律)a,b,c∈N,总有db+c)=ab+ac,(b+ca=ba+ca。 析：b+ca=(b+c)+(b+c)++(b+c =b+b+.+b)+(e+c++C =ba+ca ③自然数的序数理论 提出因 基数理论没有很好揭露自然数在顺序上的意义，也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。 Ⅱ定 集合N的元素叫做自然数。如果N的元素间有一个基本关系“后继”（用“+”表示），并满 (a)1eN (b)a∈N,有唯一的a∈N (d)aeN,a不是1 (d)a,beN,若a与b相同，则a=b (e)(归纳公理)若McN,且11∈M2Va∈M,有a∈M。则M=N。 注：归纳公理是数学归纳法的理论依据。 Ⅲ顺序 (a)顺序定义 等于：a,beN,若a与b相同，则a=b。 小于：若a,beN,且存在k∈N,使得a=b+k,则称a大于b,记为a>b。 (亿)顺序性质 自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。 N运算

中学代数研究 3 A1  A2  Ab 的基数为 a 乘以 b 的积，记作 ab。 (b) 运算性质 Th3 自然数的加法满足交换律和结合律。 Th4 （乘法交换律） a,b N恒有ab = ba。 Th5 （乘法结合律） a,b,c N恒有a(bc) = (ab)c。 Th6 （乘法对加法的分配律） a,b,c N,总有a(b + c) = ab + ac,(b + c)a = ba + ca。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ba ca b b b c c c b c a b c b c b c a a a = + + + + + + + + + = + + + + + +        个 个 个 ＝ 析： ③自然数的序数理论 Ⅰ提出原因 基数理论没有很好揭露自然数在顺序上的意义，也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。 Ⅱ定义 集合 N 的元素叫做自然数。如果 N 的元素间有一个基本关系“后继”（用“+”表示），并满 足 (a)1 N (b) a  N a  N 有唯一的 + , (c) , 不是1 + a  N a (d) a b N a b a = b , ,若 +与 +相同，则 (e) （归纳公理） 若M  N,且11 M；2a  M,有a +  M。则M = N。 注：归纳公理是数学归纳法的理论依据。 Ⅲ顺序 (a) 顺序定义 等于： a b N a b a = b , ,若 +与 +相同，则 。 小于： 若a,b N，且存在k  N，使得a = b + k,则称a大于b，记为a  b。 (b) 顺序性质 自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。 Ⅳ运算

中学代数研究 (a)运算定义 加法：自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何a,b∈N,有唯一确定的a+b∈N, 并且()a+1=a:2a+b=(a+b). 乘法：自然数的乘法是一种对应关系“”，由于它，对任何a,b∈N,有唯一确定的a+b∈N, 并且0a1=a(2)ab*=a-b+a 减法：设a,b∈N,若存在x∈N,使b+x=a,则称x为a减去b的差，记作a-b,这里a叫 做被减数，b叫做减数。求两数差的运算叫做减法。 除法：设a,beN,若存在x∈N,使bx=a,则称x为a除以b的商，记作ab,这里a叫做 被除数，b叫做除数。求两数商的运算叫做除法。 例1证明2+3=5 证2+1=2*=3,2+2=2+1=(2+1)°=3*=4 .2+3=2+2*=(2+2)=4°=5 例2证明23=6 证21=222=21=21+2=4 23=2.2*=22+2=4+2=6 (亿)运算性质 加法的唯一性、结合律、交换律：乘法的唯一性、结合律、交换律。 自然数列的离散性：任意两个相邻的自然数a与a之间不存在自然数b,使ab。 (右分配律)对任何a,b,c∈N,总有(a+b)c=ac+bc 证设使上面等式成立的所有的c组成的集合为M。 (a+b)1=a+b=a-l+b-l,1∈M 假定c∈M,则 (a+b).c*=(a+b)c+(a+b)=ac+bc+a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac*+bc" 于是c∈M,因此，M=N又由a、b的任意性，得证。 4

中学代数研究 4 (a) 运算定义 加法：自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何 a,b  N ，有唯一确定的 a +bN ， 并且 ( ) ( ) + + + 1 a +1 = a ; 2 a + b = (a + b) 。 乘法：自然数的乘法是一种对应关系“·”，由于它，对任何 a,b  N ，有唯一确定的 a +bN ， 并且 ( )a  = a ( )a b = a b + a + 1 1 ; 2 。 减法：设 a,b  N ，若存在 x N ，使 b + x = a ，则称 x 为 a 减去 b 的差，记作 a −b ，这里 a 叫 做被减数，b 叫做减数。求两数差的运算叫做减法。 除法：设 a,b  N ，若存在 x N ，使 bx = a ，则称 x 为 a 除以 b 的商，记作 a | b ，这里 a 叫做 被除数，b 叫做除数。求两数商的运算叫做除法。 例 1 证明 2 +3 = 5 2 3 2 2 (2 2) 4 5 2 1 2 3 2 2 2 1 (2 1) 3 4,  + = + = + = = + = + = + = + = = + + = 证 +＝ ， + + +  例 2 证明 23 = 6 2 3 2 2 2 2 2 4 2 6 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4,   =  =  + = + =  =  =  =  + = + 证 ， + +  (b) 运算性质 加法的唯一性、结合律、交换律；乘法的唯一性、结合律、交换律。 自然数列的离散性：任意两个相邻的自然数 a 与 + a 之间不存在自然数 b ，使 + a  b  a 。 阿基米德性：对任意 a,b  N ，必有 n  N, na  b 。 （右分配律）对任何 a，b，cN ，总有 (a + b) c = ac + bc ( ) 于是 ， 因此， 又由 、 的任意性，得证。 假定 ，则 证 设使上面等式成立的所有的 组成的集合为 。 c M M N a b a b c a b c a b ac bc a b ac a bc b ac bc c M a b a b a b M c M . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, 1  = +  = + + + = + + + = + + + = +  +  = + =  +    + + + + 

中学代数研究 (2)关于自然数系的几点说明 2.公理系统的 导出两个矛盾的命题。 3整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 (3)自然数和0 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用 我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数。1993年《中华人民共和 国国家标准》中《量和单位》311页规定自然数包括0。 从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。 g,)便，以(，头使，{外 将这一系列集合所对应的基数看成自然数列0,12,3，. 三、从自然数系到整数环 德国著名数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其它的数都是人造的。” 定义：笛卡儿积N×N上二元关系(a,b)~(C,d)当且仅当a+d=b+c,容易知道这是一个等价 关系，记等价类a,可=a-b,等价类集合记为Z=a-ba,beN},并定义Z上加法、减法、 乘法运算与顺序关系如下： (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) 2(a-b)-(c-d)=(a-b)+(d-ch 3)(a-bXc-d)=(ac+bd)-(ad+bc). ④a-b≤c-d当且仅当a+dsb+c 性质： [整数加法、乘法运算与代表元选择无关： ①保留N性质 整数的加法满足结合律和交换律： 整数的乘法满足结合律和交换律： 整数的乘法对加法的分配律 ②（增加的性质）Z的减法封闭，引入零元、负元。 零元：，l):(6,a为a,b的负元，记为-(a,b) 顺序： ①顺序定义

中学代数研究 5 ⑵关于自然数系的几点说明 ⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算术系统。 ⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑上的相容性，也就是说必须保证从公理出发不会推 导出两个矛盾的命题。 ⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 ⑶自然数和 0 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。 我国数学教科书中在 20 世纪 90 年代之前一直没有把 0 作为自然数。1993 年《中华人民共和 国国家标准》中《量和单位》311 页规定自然数包括 0。 从集合论的角度看，把 0 作为自然数比较合理。 ,,,,(,,,, ) 将这一系列集合所对应的基数看成自然数列 0,1,2,3,  三、从自然数系到整数环 德国著名数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其它的数都是人造的。” 定义：笛卡儿积 N N 上二元关系 (a,b) ~ (c,d) 当且仅当 a + d = b + c ，容易知道这是一个等价 关系，记等价类 (a,b) = a − b ，等价类集合记为 Z = a −b | a,b N ，并定义 Z 上加法、减法、 乘法运算与顺序关系如下： ⑴ (a −b)+ (c − d) = (a + c)−(b + d); ⑵ (a −b)−(c − d) = (a −b)+ (d − c); ⑶ (a −b)(c − d) = (ac +bd)−(ad +bc); ⑷ a − b  c − d当且仅当a + d  b + c 性质： ①        整数的乘法对加法的分配律 整数的乘法满足结合律和交换律； 整数的加法满足结合律和交换律； 整数加法、乘法运算与代表元选择无关； 保留N性质 ②（增加的性质） Z 的减法封闭，引入零元、负元。 零元： (1,1) ； (b,a)为(a,b)的负元，记为− (a,b)。 顺序： ①顺序定义

中学代数研究 a,B∈Z,则 a-BeZ+-a>B a-BeZ→a<B a-B=0→a=B ②顺序性质 Z是一个全序集，但不是良序集（每一个非空子集都有最小元）： 保持离散性、阿基米德性。 (亿，+)是交换群，（亿，）是半群，而且Z中乘法对加法的分配律成立。因此，（亿，+，）是环。 (补充)基本概念 群-一G是一个非空集合，。是G上的一个代数运算。即a,b∈G,有aob∈G且满足 (I)结合律，即a,b,c∈G,有(aob)oc=ao(boc ②)G中有元素e,a∈G,有eoa=aoe=a 3)对G中每个元素a,有元素b∈G,使aob=boa=e,则称G关于“。”构成一个群 记作(G,)。 环一一R是一个非空集合，如果在R上定义两个代数运算，分别称为加法(+)和乘法⊙，并且满 足 ()R关于加法成为一个交换群： (②)a,b,ceR,有(a●b)c=a(bc): (3)Va,b,ceR,有a(b+c=a●b+a●c,(b+ca=ba+ca 则称(R+,)构成一个环。 四、数学归纳法 1数学归纳法的几种形式 ()(第一数学归纳法)设P()是关于自然数n的命题，若 IP(n)在n=l时成立 ⅡP(k)(k是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+)成立 则P(n)对一切自然数n都成立

中学代数研究 6      − =  = −        − +               0 , , Z Z Z － 则 ②顺序性质 Z 是一个全序集，但不是良序集（每一个非空子集都有最小元）； 保持离散性、阿基米德性。 (Z,+) 是交换群， (Z, •) 是半群，而且 Z 中乘法对加法的分配律成立。因此， (Z,+, •) 是环。 （补充）基本概念： 群——G 是一个非空集合，  是 G 上的一个代数运算。即 a,b G, 有 a bG 且满足 ⑴结合律，即 a,b, c G, 有 (a  b) c = a (b  c) ⑵ G 中有元素 e，aG ，有 e  a = a  e = a ⑶对 G 中每个元素 a ，有元素 bG ，使 a b = b  a = e ，则称 G 关于“  ”构成一个群， 记作 (G, )。 环—— R 是一个非空集合，如果在 R 上定义两个代数运算，分别称为加法 (+) 和乘法 (•) ，并且满 足： ⑴ R 关于加法成为一个交换群； ⑵ a,b,c  R, 有 (a •b)• c = a • (b • c) ； ⑶ a,b,c  R, ，有 a • (b + c) = a •b + a • c,(b + c)• a = b • a + c • a 。 则称 (R,+, •) 构成一个环。 四、数学归纳法 ⒈数学归纳法的几种形式 ⑴（第一数学归纳法）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n =1 时成立 Ⅱ P(k) （ k 是任意自然数）成立的假设下可以推出 P(k +1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立

中学代数研究 证明：设M是使命题成立的所有自然数组成的集合，则由 IleM: Ⅱ若k∈M,则k∈M 由归纳公理，得证。 (②)第一数学归纳法的一种变形（移动起点）设P()是关于自然数n的命愿，若 IP()在n=,时成立。其中m为任何一个具体的自然数 ⅡP(k)(k2n。)成立的假设下可以推出P(k+)成立。 则P(m)对一切自然数n(n之m。）都成立。 (3)第二数学归纳法（串值归纳法）设P(m)是关于自然数n的命题，若 IP()在n=l时成立。 Ⅱ假设P(m)对于所有适合m<k的自然数m成立，则P()成立 则P(m)对一切自然数n都成立。 (④)第二数学归纳法的一种变形（增多起点）设P()是关于自然数n的命愿，若 IP(n)在n=1,n=2时成立。 Ⅱ假设P(k),P(k+I)真，则P(k+2)真。 则P(m)对一切自然数n都成立 (⑤)跳跃式归纳法（加大跨度）设P()是关于自然数n的命题，若 IP,P(2).,P0为真命题 Ⅱ在P(k)(k是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+)成立。 则P(n)对一切自然数n都成立。 (⑥)（反向归纳法）设P()是关于自然数n的命题，若 I有无限多个值使P(m)成立

中学代数研究 7 证明：设 M 是使命题成立的所有自然数组成的集合，则由 Ⅰ 1 M ； Ⅱ若 k M ，则 k  M + 由归纳公理，得证。 ⑵第一数学归纳法的一种变形（移动起点）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n = n0 时成立。其中 0 n 为任何一个具体的自然数。 Ⅱ P(k) （ n0 k  ）成立的假设下可以推出 P(k +1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n （ n  n0 ）都成立。 ⑶第二数学归纳法（串值归纳法）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n =1 时成立。 Ⅱ假设 P(m) 对于所有适合 m  k 的自然数 m 成立，则 P(k) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑷第二数学归纳法的一种变形（增多起点）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n =1， n = 2 时成立。 Ⅱ假设 P(k), P(k +1) 真，则 P(k + 2) 真。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑸跳跃式归纳法（加大跨度）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(1), P(2), ,P(l) 为真命题。 Ⅱ在 P(k) （ k 是任意自然数）成立的假设下可以推出 P(k + l) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑹（反向归纳法）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ有无限多个值使 P(n) 成立

中学代数研究 Ⅱ在P(k)(k是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k-)成立。 则P(nm)对一切自然数n都成立。 ()(螺旋归纳法)设A()、B(n)是两个与自然数n有关的命题，如果 IA()是成立的： Ⅱ假设A(k)成立，可以得到B(k)成立：假设B(k)成立，可以得到A(k+)成立。 则A(n)、B(n)对一切自然数n都成立。 2.在数学归纳法的教学中应注意 ()要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归纳法的区别。 观察一一归纳一一证明。 归纳法是通过观察、试验、推理或猜测，得出一个关于全体对象的判断，属于归纳。 数学归纳法是对给定结论予以证明，属于证明。 (②)帮助学生正确理解数学归纳法。 ①数学归纳法中的两个步骤，缺一不可。 例如不要】（奠基）。证明所有正整数都相等。 证：假设n=k时，第k个整 等于第k+1个整数，即k=k+1 两边都加上1，得到k+1=k+2,即第k+1个整数等于第k+2个整数 所以，n=k+1时命题也成立。 例如不要Ⅱ（递推步骤）法·费尔马(1601一1665) F,=22”+1F。=3,F=5,F=17,F=257,F=65537, F=4294967297=641×6700417 ②防止“貌合神离 例如，若a>00=L2m,且a+a++a,=1.求证：a2+a2++a2≥n≥2). 错证： 1°当n=2时，命题成立。（反证法） 2少官设当川=k时命题成立。即+a2++a之号 当n=k+1时，a2+a++a+a2之an小> 综合1°、2°，命题对于不小于2的所有自然数成立。 剖析：当n=k+1时，条件为a+a2++a4+a41=1,其中a,>0i=1,2,m)。所以，不能 套用a1+a2+.+ak=1的结论

中学代数研究 8 Ⅱ在 P(k) （ k 是任意自然数）成立的假设下可以推出 P(k −1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑺（螺旋归纳法）设 A(n)、 B(n) 是两个与自然数 n 有关的命题，如果 Ⅰ A(1) 是成立的； Ⅱ假设 A(k) 成立，可以得到 B(k) 成立；假设 B(k) 成立，可以得到 A(k +1) 成立。 则 A(n)、 B(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⒉在数学归纳法的教学中应注意 ⑴要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归纳法的区别。 观察——归纳——证明。 归纳法是通过观察、试验、推理或猜测，得出一个关于全体对象的判断，属于归纳。 数学归纳法是对给定结论予以证明，属于证明。 ⑵帮助学生正确理解数学归纳法。 ①数学归纳法中的两个步骤，缺一不可。 例如不要Ⅰ（奠基）。证明所有正整数都相等。 证：假设 n = k 时，第 k 个整数等于第 k +1 个整数，即 k = k +1 ； 两边都加上 1，得到 k +1= k + 2 ，即第 k +1 个整数等于第 k + 2 个整数 所以， n = k +1 时命题也成立。 例如不要Ⅱ（递推步骤）法·费尔马（1601－1665） 4294967297 641 6700417 2 1, 3, 5, 17, 257, 65537, 5 0 1 2 3 4 2 = =  = + = = = = = F F F F F F F n n ②防止“貌合神离” 例如，若 a 0(i 1,2, ,n) i  =  ，且 a1 + a2 ++ an =1 。求证： ( 2) 2 2 1 2 2 1 + + +  n  n a a  an 。 错证： 1 当 n = 2 时，命题成立。（反证法） 2 假设当 n = k 时，命题成立。即 k a a ak 2 2 1 2 2 1 + ++  当 n = k +1 时， 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 + + + + + +  + +   k k a k a a  ak ak k 综合 1、 2 ，命题对于不小于 2 的所有自然数成立。 剖析：当 n = k +1 时，条件为 a1 + a2 ++ ak + ak+1 =1 ，其中 a 0(i 1,2, ,n) i  =  。所以，不能 套用 a1 + a2 ++ ak =1 的结论

中学代数研究 证明， 1°当n=2时，命题成立。（反证法） 2°假i设m=时k之2)成立，即0>01=2，k且a,+4+.+,=ha2+a2+.+a2≥ 当n=k+1时，由a,>0,i=l,2,.,k+l,且a,+a2+.+a+a1=1 a+a2++a,2+an≥0-=0+ k 要证0=+a2≥即k+0-a广++h2k 1 k →(k+1'a12-2k+1a1+120 3.例题 例1证明：用票面为3角和5角的邮票可以支付任何n>7)角的邮资。 分析 1°当n=8时，命题成立。(8=3+5) 2°设n=k(k>7,k∈N)时命题成立。 k角邮资可能是：()完全用3角的邮票来支付：（②至少用一张5角的邮票来支付。 在)下，3角的邮票至少有3张。把它们换成两张5分的邮票便可支付k+1角的邮票。 在(2)下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付k+1角的邮票。 综合1°、2°，命题对于不小于8的所有自然数成立 例2平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点。记n条直线的交点个数为 f(n). (1)求f2).f3.f4) (2)猜想f),并用数学归纳法证明。 分析 (①)f2)=1,f3)=3=1+2,f4)=6=1+2+3 =1+2++6-=l-l 1°当n=2,3,4时，命题成立

中学代数研究 9 证明： 1 当 n = 2 时，命题成立。（反证法） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1) 2( 1) 1 0 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0, 1,2, , 1 1 1 2 ( 2) 0, 1,2, , 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1  + − + +  + − + +  + +  − + −  + + + +           − + +         − +         −  − = − + + − + − = +  = + + + + + =  =   = + + + = + + +  + + + + + + + + + + + + + + + + + k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k i k k i k k k a k a k a k k a k k a k a a k a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a n k a i k a a a a k n k k a i k a a a a a a 要证 ，即 由归纳假设，得 得， ，且 当 时，由 ，且 假设 时 成立，即 ，且 。 。         ⒊例题 例 1 证明：用票面为 3 角和 5 角的邮票可以支付任何 n(n  7) 角的邮资。 分析 1 当 n = 8 时，命题成立。（ 8 = 3+ 5 ） 2 设 n = k(k  7, k  N) 时命题成立。 k 角邮资可能是：⑴完全用 3 角的邮票来支付；⑵至少用一张 5 角的邮票来支付。 在⑴下，3 角的邮票至少有 3 张。把它们换成两张 5 分的邮票便可支付 k +1 角的邮票。 在⑵下，把一张 5 角的邮票换成两张 3 角的邮票便可以支付 k +1 角的邮票。 综合 1、 2 ，命题对于不小于 8 的所有自然数成立。 例 2 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点。记 n 条直线的交点个数为 f (n)。 ⑴求 f (2), f (3), f (4)。 ⑵猜想 f (n) ，并用数学归纳法证明。 分析 ⑴ f (2) =1, f (3) = 3 =1+ 2, f (4) = 6 =1+ 2 +3 ⑵ ( ) ( ) ( 1) 2 1 f n = 1+ 2 ++ n −1 = n n − 1 当 n = 2,3,4 时，命题成立

中学代数研究 2°假设n=k(k>7,k∈)时命题成立，即fk)=，k化-).那么n=k+1时，原k条直线有 k-)个交点，由条件知，第k+1条直线与原k条直线各有一个交点，且互不相同。放新端k 个交点，所以k+)=了)+k=k++)-小： 综合1°、2°，命题对于不小于2的所有自然数成立。 例3己知f(x)是定义在N上，又在N上取值的函数，且 ()f2)=2 ②)Vm,neN,有fmm)=f(mfn) 3)当m>n时，fm)>fn 求证：f)=x在N上恒成立。 证法一（串值归纳法 1当r=时，2)=f2)=f2)f0,可得/0=1。 2°假定当x=12,.,k时，(x)=x。则当x=k+时， 若k+1为偶数，设为2s,则fk+1)=f(2s)=2f(s)=2s=k+: 若k+1为奇数，设为2s+1,则2s=f(2s)1fx-)x-2,.fx-1)>fx-2 所以，f(x-)≥f(x-2)+1≥fx-3)+22.≥f0)+x-2=x-l。 这样，fx-)=x-1。 由反向归纳法，fx)=x对一切x∈N都成立。 例4设n>5,证明每一个正方形可以分为n个正方形。 分析（跳跃式归纳法） 1n=6,7,8时，命题均成立。 0

中学代数研究 10 2 假设 n = k(k  7, k  N) 时命题成立，即 ( ) ( 1) 2 1 f k = k k − 。那么 n = k +1 时，原 k 条直线有 ( 1) 2 1 k k − 个交点。由条件知，第 k +1 条直线与原 k 条直线各有一个交点，且互不相同。故新增 k 个交点，所以 ( ) ( ) ( 1)( 1) 1 2 1 f k +1 = f k + k = k + k + − 。 综合 1、 2 ，命题对于不小于 2 的所有自然数成立。 例 3 已知 f (x) 是定义在 N 上，又在 N 上取值的函数，且 ⑴ f (2) = 2 ⑵ m,n N,有f (mn) = f (m)f (n) ⑶ 当m  n时，f (m)  f (n)。 求证： f (x) = x在N上恒成立。 证法一（串值归纳法） 1当x =1时，由f (2) = f (21) = f (2) f (1)，可得f (1) =1。 ( ) 由串值归纳法， 对一切 都成立。 在 上取值， ，即 。 若 为奇数，设为 ，则 ， 若 为偶数，设为 ，则 ； 假定当 时， 。则当 时， f x x x N f N f s s f k k k s s f s f s f s f s s k s f k f s f s s k x k f x x x k =   + = + + = + + + =  +  + = + = + + + = = = = +  = = = + ( ) (2 1) 2 1 ( 1) 1 1 2 1 2 (2 ) (2 1) (2 2) 2 ( 1) 2( 1) 1 2 1 (2 ) 2 ( ) 2 1 2 1,2, , ( ) 1   证法二（反向归纳法） 1 (2 ) 2 ( (2 ) (2) 2 (2 ) (2 2) (2 ) (2) 2 2 2 ) 1 +1 +1  = = = =  =  =  = m m k k k k k f 分析：①f f ；②f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 由反向归纳法， ( ) 对一切 都成立。 这样， 。 所以， 。 若 ， ， 。而 ， 。 f x x x N f x x f x f x f x f x x f x x x f x f x f x x x x f x f x =  − = − −  − +  − +   + − = −  =  −   −  − −  −  −  − 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) 1 1 1 1 2 ( 1) ( 2)   例 4 设 n  5 ，证明每一个正方形可以分为 n 个正方形。 分析（跳跃式归纳法） 1n = 6,7,8时，命题均成立