《初等数论》教学大纲 课程名称：初等数论 课程名称：Primary Number Theory 课程编号：0707190 课程类型：专业基础课 学时：54 适用专业：数学与应用数学专业本科生 一、课程性质： 《初等数论》是数学与应用数学本科专业的一门专业选修课，其内容包含了 新课程标准下高中数学选修系列4《初等数论初步》模块的全部的内容，同时也 是高中数学选修系列3《信息安全与密码》模块内容的基础。该课程是综合应用 近现代数学的工具，来处理与整数相关的问题。在计算方法、代数编码、组合论、 信息安全与密码学等方面有着广泛的应用。同时由于数论问题的丰富性、多样性 及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能 力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。因此该课程对培养中学数学 教师和从事数学研究都具有特殊重要的作用。 二、课程目的与要求： 通过本课程的学习，使学生加深对整数性质的了解，更深入地理解初等数论 与其它邻近学科的关系。使学生了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜想、 费尔马大定理等；了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学 等方面的广泛应用：熟练掌握初等数论的基本内容、基本思想与基本方法：加深 对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科：培养学生的数学思维，从而提高分 析问题、解决问题的能力。 三、课程内容与学时安排 1、整数的整除性理论(12学时) 教学内容
《初等数论》教学大纲 课程名称：初等数论 课程名称：Primary Number Theory 课程编号：0707190 课程类型：专业基础课 学 时：54 适用专业：数学与应用数学专业本科生 一、课程性质： 《初等数论》是数学与应用数学本科专业的一门专业选修课，其内容包含了 新课程标准下高中数学选修系列 4《初等数论初步》模块的全部的内容，同时也 是高中数学选修系列 3《信息安全与密码》模块内容的基础。该课程是综合应用 近现代数学的工具，来处理与整数相关的问题。在计算方法、代数编码、组合论、 信息安全与密码学等方面有着广泛的应用。同时由于数论问题的丰富性、多样性 及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能 力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。因此该课程对培养中学数学 教师和从事数学研究都具有特殊重要的作用。 二、课程目的与要求： 通过本课程的学习，使学生加深对整数性质的了解，更深入地理解初等数论 与其它邻近学科的关系。使学生了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜想、 费尔马大定理等；了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学 等方面的广泛应用；熟练掌握初等数论的基本内容、基本思想与基本方法；加深 对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科；培养学生的数学思维，从而提高分 析问题、解决问题的能力。 三、课程内容与学时安排 1、整数的整除性理论（12 学时） 教学内容
[1]整除性、公因数、公倍数 两个整数整除的概念、带余除法：最大公因数的概念、性质及求最大公因数 的方法：最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。 [2]素数与整数的素因子分解 素数与合数的概念、素数的性质、算术基本定理、素数的求法（筛法）。 [3]函数[x]、{x}及其应用 函数[x]与{x}的概念、性质、n!的素数分解、组合数为整数的性质。 [4]抽屉原理 抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应 用。 重点：整除、最大公因数、素数的概念及性质：带余除法，求最大公因数的 方法，整数的素数分解定理。 难点：函数[x]、{x}的概念及其应用。 教学基本要求 [1]理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟 练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 [2]理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用 筛法求素数。 [3]了解函数[x与{x}的概念、性质，！的素数分解、组合数为整数的性质。 [4]了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质 整数。 2、整数的同余理论(18学时) 教学内容 [1]同余的概念及性质 整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单 验证整数乘积运算的结果。 [2]简化剩余系、完全剩余系
[1] 整除性、公因数、公倍数 两个整数整除的概念、带余除法；最大公因数的概念、性质及求最大公因数 的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。 [2] 素数与整数的素因子分解 素数与合数的概念、素数的性质、算术基本定理、素数的求法（筛法）。 [3] 函数[x]、{x}及其应用 函数[x]与{x}的概念、性质、n!的素数分解、组合数为整数的性质。 [4] 抽屉原理 抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应 用。 重点：整除、最大公因数、素数的概念及性质；带余除法，求最大公因数的 方法，整数的素数分解定理。 难点：函数[x]、{x}的概念及其应用。 教学基本要求 [1] 理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟 练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 [2] 理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用 筛法求素数。 [3] 了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 [4] 了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质 整数。 2、整数的同余理论（18 学时） 教学内容 [1] 同余的概念及性质 整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单 验证整数乘积运算的结果。 [2] 简化剩余系、完全剩余系
简化剩余系、完全剩余系的概念，判断简化剩余系的方法，欧拉函数的定义 及性质。 [3]欧拉定理及其应用 欧拉定理、Fermat小定理，循环小数的判定条件。 [4]一次同余式 同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式。 [5]中国剩余定理 中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。 [6]高次同余式 判断高次同余式的解个数，解高次同余式的方法，模整数同余式与模素数同 余式的关系，求解简单的(3、4次)同余式。 [7]素数模的高次同余式 素数模同余式的次数化简，Wilson定理，同余式的次数与解数的关系，n 次同余式有n个解的条件。 重点：简化剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，求解三 次以下的同余式。 关系难点：简化剩余系的判定，中国剩余定理，模整数同余式与模素数同余式的 教学基本要求 [1]理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条 件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。 [2]理解简化剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断简化剩余系的方法， 理解欧拉函数的定义及性质。 [3]了解欧拉定理、Fermat小定理，掌握循环小数的判定方法。 [4]理解同余式的定义，学握一次同余式有解的条件，熟练学握求解一次同 余式。 [5]理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余 式方程组的方法
简化剩余系、完全剩余系的概念，判断简化剩余系的方法，欧拉函数的定义 及性质。 [3] 欧拉定理及其应用 欧拉定理、Fermat 小定理，循环小数的判定条件。 [4] 一次同余式 同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式。 [5] 中国剩余定理 中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。 [6] 高次同余式 判断高次同余式的解个数，解高次同余式的方法，模整数同余式与模素数同 余式的关系，求解简单的（3、4 次）同余式。 [7] 素数模的高次同余式 素数模同余式的次数化简，Wilson 定理，同余式的次数与解数的关系，n 次同余式有 n 个解的条件。 重点：简化剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，求解三 次以下的同余式。 难点：简化剩余系的判定，中国剩余定理，模整数同余式与模素数同余式的 关系。 教学基本要求 [1] 理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条 件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。 [2] 理解简化剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断简化剩余系的方法， 理解欧拉函数的定义及性质。 [3] 了解欧拉定理、Fermat 小定理，掌握循环小数的判定方法。 [4] 理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同 余式。 [5] 理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余 式方程组的方法
[6]了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法，了解 模整数同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的(3、4次)同余式解的方 [7]了解素数模同余式的次数化简、Wi1so定理，了解同余式的次数与解 的个数的关系，知道n次同余式有n个解的条件。 3、平方剩余与原根(20学时) 教学内容 [1]二次同余式 二次同余式的一般形式，模整数同余与模素数幂同余的关系，平方剩余与平 方非剩余的概念。 [2]单素数的平方剩余 单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，单素数的平方剩余与平方非 剩余的个数。 [3]Legendre、Jacobi符号 Legendre符号的定义、性质，Jacobi符号的定义、性质，利用Legendre 和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。 [4]非素数模的二次同余式 非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数。 [5]素数的平方和分解 对素数p讨论不定方程 有整数解的条件。 [6]阶数 原根的定义，阶数的定义及其基本性质。 [7]原根存在的条件 讨论原根存在的条件，求原根的简单方法。 [8]简化剩余系的构造 介绍利用原根得到整数简化剩余系的方法
[6] 了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法，了解 模整数同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的（3、4 次）同余式解的方 法。 [7] 了解素数模同余式的次数化简、Wilson 定理，了解同余式的次数与解 的个数的关系，知道 n 次同余式有 n 个解的条件。 3、平方剩余与原根（20 学时） 教学内容 [1] 二次同余式 二次同余式的一般形式，模整数同余与模素数幂同余的关系，平方剩余与平 方非剩余的概念。 [2] 单素数的平方剩余 单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，单素数的平方剩余与平方非 剩余的个数。 [3] Legendre、Jacobi 符号 Legendre 符号的定义、性质，Jacobi 符号的定义、性质，利用 Legendre 和 Jacobi 符号判断同余式的解的存在性。 [4] 非素数模的二次同余式 非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数。 [5] 素数的平方和分解 对素数 p 讨论不定方程 有整数解的条件。 [6] 阶数 原根的定义，阶数的定义及其基本性质。 [7] 原根存在的条件 讨论原根存在的条件，求原根的简单方法。 [8] 简化剩余系的构造 介绍利用原根得到整数简化剩余系的方法
[9]指标 指标的定义、性质，指标的应用（讨论同余式有解的条件及解的个数）。 重点：模整数同余与模素数幂同余的关系，欧拉判定法，利用Legendre和 Jacobi符号判断同余式的解的存在性，讨论同余式有解的条件及解的个数。 难点：非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数，素数的平方和分解 原根存在的条件。 教学基本要求 [1]理解二次同余式的一般形式、模整数同余与模素数幂同余的关系、平方 剩余与平方非剩余的概念。 [2]理解单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，了解单素数的平方 剩余与平方非剩余的个数。 [3]了解Legendre符号的定义、性质及Jacobi符号的定义、性质，熟练掌 握利用Legendre和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。 [4]掌握非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数的有关结论。 [5]会对素数p讨论不定方程 有整数解的条件。 [6]了解原根的定义、阶数的定义及其基本性质。 [7]会讨论原根存在的条件，掌握求原根的简单方法。 [8]会利用原根得到整数简化剩余系的方法。 [9]了解指标的定义、性质，掌握指标的应用（讨论同余式有解的条件及解 的个数)。 四、教材与主要参考书 教材： 初等数论（第三版）/闵嗣鹤严士健，高等教育出版社，2003年6月. 主再参老书： 1《数论讲义》（第一至七章）/柯召、孙琦编著，高等教育出版社， 上册第 二版2001年：下册第 版2003年) 2《数论导引》/华罗庚著，科学出版社. 3《算法数论》/裴定一、祝跃飞编著，科学出版社. 4《信息安全数学基础》/陈恭亮编著，清华大学出版社： 五、责任认定 1.大纲执笔人：谢红梅 2.大纲审定人：
[9] 指标 指标的定义、性质，指标的应用（讨论同余式有解的条件及解的个数）。 重点：模整数同余与模素数幂同余的关系, 欧拉判定法, 利用 Legendre 和 Jacobi 符号判断同余式的解的存在性,讨论同余式有解的条件及解的个数。 难点：非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数，素数的平方和分解， 原根存在的条件。 教学基本要求 [1] 理解二次同余式的一般形式、模整数同余与模素数幂同余的关系、平方 剩余与平方非剩余的概念。 [2] 理解单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，了解单素数的平方 剩余与平方非剩余的个数。 [3] 了解 Legendre 符号的定义、性质及 Jacobi 符号的定义、性质，熟练掌 握利用 Legendre 和 Jacobi 符号判断同余式的解的存在性。 [4] 掌握非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数的有关结论。 [5] 会对素数 p 讨论不定方程 有整数解的条件。 [6]了解原根的定义、阶数的定义及其基本性质。 [7] 会讨论原根存在的条件，掌握求原根的简单方法。 [8] 会利用原根得到整数简化剩余系的方法。 [9] 了解指标的定义、性质，掌握指标的应用（讨论同余式有解的条件及解 的个数）。 四、教材与主要参考书 教材： 初等数论(第三版)/ 闵嗣鹤 严士健, 高等教育出版社，2003 年 6 月. 主要参考书： 1 《 数 论讲 义 》（ 第一 至 七章 ）/柯召 、孙 琦 编 著，高等 教 育出 版 社， （上册第二版 2001 年 ； 下册 第 二版 2 003 年 ）. 2 《数论导引》/华 罗庚 著 ，科 学 出版 社. 3 《算法数论》/裴 定一 、 祝跃 飞 编著 ， 科 学出 版 社. 4 《信息安全数学基础》/陈恭 亮 编著 ， 清 华大 学 出版 社. 五、责任认定 1. 大纲执笔人：谢红梅 2．大纲审定人：