浅议概念形成过程的合理性 一“等差数列的前项和”的教学思考 北京首都师范大学附属中学黄风圣 《普通高中数学课程标准实验)》中指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自 主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”.对于数学 概念的教学，我们既要重结论，又要重过程所谓“重过程”就是通过教师创新的设计，让 学生主动经历数学督念的发现和证明的过程，在整个知识的形成过程让学生在不断地发现间 题、提出问题、解决问题的过程中，潜移默化地学会研究数学的方法，学会数学地思考，发 展创新意识.在概念的形成过程中，如何达到以上目标，教师的教学设计就显得尤为重要， 以“等差数列的前2项和”为例，浅议概念形成过程的合理性 数学故事高斯求和：德国著名数学家高斯被人们称为“数学王子”，因他小时候就非常 聪明，他是历史上不多见的以“神童”著称的一位数学家，一则广为流传的故事是高斯10 岁的时候，有一天，老师为了让班里的孩子们有事干，便出了一道题，求1+2+.+100 学生知道使用“配对”法求和。 等差数列实际应用“堆钢管”：如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根，下面每一层比 上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？学生可以想到利用梯形面积公式来求钢管 的总数. 以下是关于“等差数列的前”项和”的几种教学设计 教学设计一：创设问题情境：高斯求和一复习等差数列的性质：若州+”=P+9,则 4+a,=“,+4,一类比高斯求和的“配对”法，探求等差数列求和公式8，使用“倒序 相加”法证明一应用举例一小结 教学设计二：创设问题情境：高斯求和，实际应用“堆钢管”→探究利用探求等差数列 求和公式又，使用“倒序相加”法证明→应用举例一小结。 教学设计三：创设问题情境：高斯求和，实际应用“堆钢管”→利用“堆钢管”的方法， 探究特殊数列1+2++的和一探求等差数列求和公式心，使用“倒序相加”法证明一应 用举例小结
浅议概念形成过程的合理性 ──“等差数列的前项和”的教学思考 北京首都师范大学附属中学 黄凤圣 《普通高中数学课程标准(实验)》中指出:“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自 主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”.对于数学 概念的教学，我们既要重结论，又要重过程.所谓“重过程”就是通过教师创新的设计，让 学生主动经历数学概念的发现和证明的过程，在整个知识的形成过程让学生在不断地发现问 题、提出问题、解决问题的过程中，潜移默化地学会研究数学的方法，学会数学地思考，发 展创新意识. 在概念的形成过程中，如何达到以上目标，教师的教学设计就显得尤为重要. 以“等差数列的前 项和”为例，浅议概念形成过程的合理性. 数学故事高斯求和：德国著名数学家高斯被人们称为“数学王子”，因他小时候就非常 聪明，他是历史上不多见的以“神童”著称的一位数学家，一则广为流传的故事是高斯 10 岁的时候，有一天，老师为了让班里的孩子们有事干，便出了一道题，求 . 学生知道使用“配对”法求和. 等差数列实际应用“堆钢管”：如图堆放一堆钢管，最上一层放了 4 根，下面每一层比 上一层多放一根，共 8 层，这堆钢管共有多少根？学生可以想到利用梯形面积公式来求钢管 的总数. 以下是关于“等差数列的前 项和”的几种教学设计. 教学设计一：创设问题情境：高斯求和→复习等差数列的性质：若 ，则 →类比高斯求和的“配对”法，探求等差数列求和公式 ，使用“倒序 相加”法证明→应用举例→小结. 教学设计二：创设问题情境：高斯求和，实际应用“堆钢管”→探究利用探求等差数列 求和公式 ，使用“倒序相加”法证明→应用举例→小结. 教学设计三：创设问题情境：高斯求和，实际应用“堆钢管”→利用“堆钢管”的方法， 探究特殊数列 的和→探求等差数列求和公式 ，使用“倒序相加”法证明→应 用举例→小结
教学设计四：回顾等差数列通项公式的探究过程：从特殊到一般→类比等差数列通项公 式的深究方法先计草.马.号.及.鸟，并精指等花别前项和的公三白 2 一利用清的结论。鸟=十 ”，,逆推证明的方法一应用举例一小结 教学设计五：回顾等差数列通项公式的探究过程：从特殊到一般→类比等差数列通项公 式的究方法先针8.马，及.8.马并精起号花简泵和的分武=白 →利用前面求特殊的前”项和过程中的方法（配对法）来证明公式一对配对法证明的过程进 行反思，进行再创造，从而得到“倒序相加”法的证明一从实际应用“堆钢管”出发，对探 寻求和公式的几何解析一应用举例一小结教学设计五的简要过程如下： 1.回顾等差数列通项公式的探究过程：从特殊到一般，先计算41、4、43、4、45， 然后猜想:,用叠加法证明 2天北带卷最道项公式的究方法先计堂号=1马=2色+ 2 9=3x6+a 2 （提如何用，乌表标，8-2 (提问42、4如何用 4、a4表示)， =5x+a到 2 (提问、a4如何用马、a5表示)，.，猜测 8=”x色+ 2 3从上述过程中提炼证明方法。 (1)n为偶数时：
教学设计四：回顾等差数列通项公式的探究过程：从特殊到一般→类比等差数列通项公 式的探究方法，先计算 、 、 、 、 ，并猜想等差列前 项和的公式 →利用猜想的结论“ ”，逆推证明的方法→应用举例→小结. 教学设计五：回顾等差数列通项公式的探究过程：从特殊到一般→类比等差数列通项公 式的探究方法，先计算 、 、 、 、 ，并猜想等差列前 项和的公式 →利用前面求特殊的前 项和过程中的方法（配对法）来证明公式→对配对法证明的过程进 行反思，进行再创造，从而得到“倒序相加”法的证明→从实际应用“堆钢管”出发，对探 寻求和公式的几何解析→应用举例→小结.教学设计五的简要过程如下： 1.回顾等差数列通项公式的探究过程：从特殊到一般，先计算 、 、 、 、 ， 然后猜想 ，用叠加法证明. 2.类比等差数列通项公式的探究方法，先计算 ， ， （提问 如何用 、 表示）， （提问 、 如何用 、 表示）， （提问 、 、 如何用 、 表示），.，猜测： . 3.从上述过程中提炼证明方法. （1）n 为偶数时：
=a+a,)+a+o,0++a;t %=4+6-10d a-0-0d1sa5 :8=x色+8 2 (2)n为奇数时： =a+a,)+.+a1ta}+ay ∫a=a+6-10d 6a1is安- 4+a=4t21sis"41-1 学=4+岁-a 学2 &=0牛-Da+a)+a 2
∵ （ ） ∴ （ ） ∴ （2）n 为奇数时： ∵ （ ） ∴ （ ） ∵ ∴
=8+1-0%+a,)+9 2 2 Wa ta) 2 4.对上述证明过程进行反思，进行再创造， ∫4=a+6-1)d 提出问题：在上面证明的过程中有没有什么新发现？（提示，4，=4，-6-d中的 1必须满足1s1 2吗？范围是否可以扩大？)，则的范围可以变成1≤i≤”，从而所有 项都可以用首项4表示，所有项也可以用末项2：表示 S=a+(a+d)++[a1+(u-1d] S.=[a-(n-10d]+[a.-(n-2)d]+.+a 从西得到序相如商，文。型 2 5.从实际应用“堆钢管”出发，对探寻求和公式的几何解析. 6.应用举例， 7小结. 一教学目标设计的合理性 教有部《基础教有课程政革纲要（试行）》对课程目标从“知识与技能”、“过程与方 法”、“情感态度与价值观”三方面提出了要求，构成了新课程的“三维目标”，三维的课 程目标应是一个整体，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面互相联系，融 为一体，体现了学生的全面发展、个性发展和终身发展的基本规律，体现了学生各种素质在 学科课程培养中的有机联系，体现了时代对基础性学习能力、发展性学习能力和创新性学习 能力培养的整体要求. 所以本节课的目标为： (一)知识与技能目标 (1)掌握等差数列前项和公式的推导方法和公式的简单运用：
4. 对上述证明过程进行反思，进行再创造. 提出问题：在上面证明的过程中有没有什么新发现？（提示， 中的 必须满足 吗？范围是否可以扩大？），则 的范围可以变成 ，从而所有 项都可以用首项 表示，所有项也可以用末项 表示： 从而得到倒序相加得： 5. 从实际应用“堆钢管”出发，对探寻求和公式的几何解析. 6.应用举例. 7.小结. 一．教学目标设计的合理性 教育部《基础教育课程改革纲要（试行）》对课程目标从“知识与技能”、“过程与方 法”、“情感态度与价值观”三方面提出了要求，构成了新课程的“三维目标”，三维的课 程目标应是一个整体，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面互相联系，融 为一体，体现了学生的全面发展、个性发展和终身发展的基本规律，体现了学生各种素质在 学科课程培养中的有机联系，体现了时代对基础性学习能力、发展性学习能力和创新性学习 能力培养的整体要求. 所以本节课的目标为： （一）知识与技能目标 （1）掌握等差数列前 项和公式的推导方法和公式的简单运用；
(2)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分 析问题和解决问愿的能力： (3)掌握数列求和的基本方法： (4)掌握解决问题的基本方法 (二)过程与方法目标 (1)通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形式过程中培养学生观察、联想、 归纳、分析、综合和逻辑推理的能力： (2)利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过 体验数学发现和创造的过程导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力： (3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分 析问题和解决问题的能力 (三)情感态度与价值观目标 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发 学习兴趣，通过学生自己动手体验知识的形成过程，使学生获得成功的体验，增强学生的自 信心，培养学生探索、再创造的意识. 二.问题情境创设的合理性 布鲁纳说过：“学习的最好刺激，是对所学材料的兴趣”设计融科学性和趣味性于 体的数学课堂，能够培养学生的学习兴趣，使学生觉得“其乐无穷”，学生就会积极、主动、 愉快地去学习但是问题情境的创设不仅具有趣味性，更重要的是有科学性，为教学目标服 务，使得学生能通过自身独立思考、判断，提出自己一些见解的问题背景，从而在一定程度 上推动了学生的理解与思维的发展。 例如，教学设计二中，把高斯求和和堆钢管都放在问题情境中，虽然学生能很快的得到 倒序相加法，但是学生思维量就小，达不到应有的思维训练和能力培养。 三.符合学生认知的合理性 数学教学必须遵循人们认知的普遍规律，即“由特殊到一般”，也就是在认识个体的基 础上去认识全体，继而再用一般的结论或方法来解决具体问题。 在教学设计一中直接由“高斯算法”过渡到“倒序相加法”是一个思维跨越，学生难以 完成，产生了困惑教学设计三仍有“倒序相加”揭示不充分、不自然的感觉设计一个适合 学生认知的自然的知识发展过程：归纳一猜想一证明，让学生历经观察、归纳、猜想、证明， 结论的探究、方法的探求，体验了知识创造过程的辛酸苦辣，感悟了数学本质， 四.知识形成中再创造的合理性 在知识形成的过程中，学生创造性思维火花的不断碰撞和相互启发，促进了每位学生思 维的发展，使学生看问题的角度不断扩大，让学生经历“再创造与再发现的过程”获得科 学发现的体验，不仅能激发学生学习数学的兴趣，使学生在感受数学自然、亲切的同时，片 生“看个究竟”的冲动，兴趣盎然地投入学习，而且也更符合学生的心理特征和认知水平
（2）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分 析问题和解决问题的能力； （3）掌握数列求和的基本方法； （4）掌握解决问题的基本方法. （二）过程与方法目标 （1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形式过程中培养学生观察、联想、 归纳、分析、综合和逻辑推理的能力； （2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过 体验数学发现和创造的过程导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力； （3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分 析问题和解决问题的能力. （三）情感态度与价值观目标 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发 学习兴趣.通过学生自己动手体验知识的形成过程，使学生获得成功的体验，增强学生的自 信心，培养学生探索、再创造的意识. 二．问题情境创设的合理性 布鲁纳说过：“学习的最好刺激，是对所学材料的兴趣.”设计融科学性和趣味性于一 体的数学课堂，能够培养学生的学习兴趣，使学生觉得“其乐无穷”，学生就会积极、主动、 愉快地去学习.但是问题情境的创设不仅具有趣味性，更重要的是有科学性，为教学目标服 务，使得学生能通过自身独立思考、判断，提出自己一些见解的问题背景，从而在一定程度 上推动了学生的理解与思维的发展. 例如，教学设计二中，把高斯求和和堆钢管都放在问题情境中，虽然学生能很快的得到 倒序相加法，但是学生思维量就小，达不到应有的思维训练和能力培养. 三．符合学生认知的合理性 数学教学必须遵循人们认知的普遍规律，即“由特殊到一般”，也就是在认识个体的基 础上去认识全体，继而再用一般的结论或方法来解决具体问题. 在教学设计一中直接由“高斯算法”过渡到“倒序相加法”是一个思维跨越，学生难以 完成，产生了困惑.教学设计三仍有“倒序相加”揭示不充分、不自然的感觉.设计一个适合 学生认知的自然的知识发展过程：归纳－猜想－证明，让学生历经观察、归纳、猜想、证明， 结论的探究、方法的探求，体验了知识创造过程的辛酸苦辣，感悟了数学本质. 四．知识形成中再创造的合理性 在知识形成的过程中，学生创造性思维火花的不断碰撞和相互启发，促进了每位学生思 维的发展，使学生看问题的角度不断扩大，让学生经历“再创造与再发现的过程”.获得科 学发现的体验，不仅能激发学生学习数学的兴趣，使学生在感受数学自然、亲切的同时，产 生“看个究竟”的冲动，兴趣盎然地投入学习，而且也更符合学生的心理特征和认知水平
在教学设计四，学生先计算、今、号、凡、凡，并猜想出等差列前”项和的公式 之，然后利用骑起的结论S=62。 S=m(a+a,) 2”,逆推证明的方法在这个过程 中学生在猜想等差列前力项和的公式的时候经历了再创造，虽然利用猜想结论逆推证明方法 (倒序相加)也是再创造的过程，但是这个再创造的过程显得不是特别自然。 在教学设计五，学生先计算、，、，并猜想出等差列前”项和的公式 S.=m(a+a) ，接着利用前面计算过程中的配对法推广到一般情况，这个再创造的过程 J%=4+6-10d 显得很自然，然后反思前面证明过程中，发现a,=4,一6-1d中的：的范围可以扩大成 1≤i≤，从而所有项都可以用首项4表示，所有项也可以用末项a,表示： S=a4+(a+d)++[a+u-1)d].S=[a.-(n-10d]+[a.-a-2d]++a. 倒序相加就水到渠成了，最后直观上通过梯形面积公式理解公式，很符合学生的认知 五。小结的合理性 弗赖登塔尔认为：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的”，数学教学应以数学知 识为载体，以数学思想方法为核心，以提高学生能力和素质为目的，所以要小结如何暴露知 发生的思维过程，如何优化了学生的思维品质，如何提高了创新意识，如何拓宽了数学视 的形式，要小结这几个方面：(1)类比法的使用：(2)研究问题的基本方法：从特殊到一 般：(3)如何抽象概括出结论的：(4)如何抽象出证明方法（配对法）：(5)如何反思， 再创造出新的证明方法（倒序相加）：(6)如何几何解释求和公式等等.让每个学生经历 并用自己的内心体验“再创造与再发现的过程”，完成个人体验的全过程，其潜在价值不容 忽视 参考文献 1.索云旺《对等差（比数列前n项和公式推导的思考》数学教学研究2010.8
在教学设计四，学生先计算 、 、 、 、 ，并猜想出等差列前 项和的公式 ，然后利用猜想的结论“ ”，逆推证明的方法.在这个过程 中学生在猜想等差列前 项和的公式的时候经历了再创造，虽然利用猜想结论逆推证明方法 （倒序相加）也是再创造的过程，但是这个再创造的过程显得不是特别自然. 在教学设计五，学生先计算 、 、 、 、 ，并猜想出等差列前 项和的公式 ，接着利用前面计算过程中的配对法推广到一般情况，这个再创造的过程 显得很自然，然后反思前面证明过程中，发现 中的 的范围可以扩大成 ，从而所有项都可以用首项 表示，所有项也可以用末项 表示： ， ， 倒序相加就水到渠成了，最后直观上通过梯形面积公式理解公式，很符合学生的认知. 五．小结的合理性 弗赖登塔尔认为:“数学知识不是教出来的，而是研究出来的”，数学教学应以数学知 识为载体，以数学思想方法为核心，以提高学生能力和素质为目的，所以要小结如何暴露知 识发生的思维过程，如何优化了学生的思维品质，如何提高了创新意识，如何拓宽了数学视 野. 在这节课的教学过程中，不能只简单小结一下等差列前 项和的公式 的形式，要小结这几个方面：（1）类比法的使用；（2）研究问题的基本方法：从特殊到一 般；（3）如何抽象概括出结论的；（4）如何抽象出证明方法（配对法）；（5）如何反思， 再创造出新的证明方法（倒序相加）；（6）如何几何解释求和公式等等. 让每个学生经历 并用自己的内心体验“再创造与再发现的过程”，完成个人体验的全过程，其潜在价值不容 忽视. 参考文献 1. 索云旺 《对等差(比)数列前 n 项和公式推导的思考》数学教学研究 2010.8
2.余锦银《在平凡中凸现新课标理念一“等差数列的前项和”的教学实录及其反思》中 学数学2007.10 2011-09-29人教
2. 余锦银 《在平凡中凸现新课标理念—“等差数列的前 n 项和”的教学实录及其反思》 中 学数学 2007.10 2011-09-29 人教 网