数学思想方法及其渗透教学 数学教学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一 条是暗线即数学思想方法的教学。而数学思想方法是数学的 精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力 的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体，在 教学中我们必须重视数学思想方法的渗透教学。 一、数学思想方法的界定 数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识； 数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体 反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数 学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学 基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处 理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用 数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当 这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思 想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。 因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念一数 学思想方法。 二、初中阶段应渗透的主要数学思想方法 在初中数学教学中至少应该向学生渗透如下几种主要的 数学思想方法：
数学思想方法及其渗透教学 数学教学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一 条是暗线即数学思想方法的教学。而数学思想方法是数学的 精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力 的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体，在 教学中我们必须重视数学思想方法的渗透教学。 一、数学思想方法的界定 数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识； 数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体 反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数 学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学 基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处 理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用 数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当 这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思 想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。 因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数 学思想方法。 二、初中阶段应渗透的主要数学思想方法 在初中数学教学中至少应该向学生渗透如下几种主要的 数学思想方法：
1.分类讨论的思想方法 分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点， 然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方 法。分类讨论既是一个重要的数学思想，又是一个重要的数 学方法，能克服思维的片面性，防止漏解。 2.类比的思想方法 类比是根据两个或两类的对象间有部分属性相同，而推 出它们某种属性也相同的推理形式，被称为最有创造性的一 种思想方法 3.数形结合的思想方法 数形结合的思想方法是指将数（量）与（图）形结合起来 进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 4.化归的思想方法 所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较 易问题或已经解决的问题。 5.方程与函数的思想方法 运用方程的思想方法，就是根据问题中已知量与未知量 之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程 (组)问题。 用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系， 通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究，从而使 问题获得解决，称为函数思想方法
1.分类讨论的思想方法 分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点， 然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方 法。分类讨论既是一个重要的数学思想，又是一个重要的数 学方法，能克服思维的片面性，防止漏解。 2.类比的思想方法 类比是根据两个或两类的对象间有部分属性相同，而推 出它们某种属性也相同的推理形式，被称为最有创造性的一 种思想方法 3.数形结合的思想方法 数形结合的思想方法是指将数(量)与(图)形结合起来 进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 4.化归的思想方法 所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较 易问题或已经解决的问题。 5.方程与函数的思想方法 运用方程的思想方法，就是根据问题中已知量与未知量 之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程 (组)问题。 用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系， 通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究，从而使 问题获得解决，称为函数思想方法
6.整体的思想方法 整体的思想方法就是考虑数学问题时不是着眼于它的 局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上， 通过对其全面深刻的观察，从宏观上、整体上认识问题的实 质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为 整体来处理的思想方法。 三、数学思想方法渗透教学的途径 1.在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法 数学教学内容从总体上可分为两个层次：一个称为表层 知识，包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内 容；另一个称为深层知识，主要指数学思想和方法。表层知 识是深层知识的基础，具有较强的操作性，学生只有通过对 教材的学习，在掌握与理解了一定的表层知识后，才能进 步学习和领悟相关的深层知识。而数学思想方法又是以数学 知识为载体，蕴涵于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑 和统率着表层知识。因而教师在讲授概念、性质、公式的过 程中应不断渗透相关的数学思想方法，让学生在掌握表层知 识的同时，又能领悟到深层知识，从而使学生思维产生质的 飞跃。只讲概念、定理、公式而不注重渗透数学思想、方法 的教学，将不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学 生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高。在教学 过程中要引导学生主动参与结论的探索、发现、推导过程
6.整体的思想方法 整体的思想方法就是考虑数学问题时不是着眼于它的 局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上， 通过对其全面深刻的观察，从宏观上、整体上认识问题的实 质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为 整体来处理的思想方法。 三、数学思想方法渗透教学的途径 1.在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法 数学教学内容从总体上可分为两个层次：一个称为表层 知识，包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内 容；另一个称为深层知识，主要指数学思想和方法。表层知 识是深层知识的基础，具有较强的操作性，学生只有通过对 教材的学习，在掌握与理解了一定的表层知识后，才能进一 步学习和领悟相关的深层知识。而数学思想方法又是以数学 知识为载体，蕴涵于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑 和统率着表层知识。因而教师在讲授概念、性质、公式的过 程中应不断渗透相关的数学思想方法，让学生在掌握表层知 识的同时，又能领悟到深层知识，从而使学生思维产生质的 飞跃。只讲概念、定理、公式而不注重渗透数学思想、方法 的教学，将不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学 生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高。在教学 过程中要引导学生主动参与结论的探索、发现、推导过程
搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲 身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方 法。 案例1： 探索： (1)请学生们在数轴上将下列各数表示出来：0,1，-1,4， -4 (2)1与-1,4与-4有什么关系？ (3)4到原点的距离与-4到原点的距离有何关系？1与-1 呢？ 给出绝对值的概念，并让学生自己从数轴上，从各点之间 的关系中讨论归纳出绝对值的描述性定义。 (4)绝对值等于9的数有几个？如何利用数轴加以说明？ 今后我们可以借助数轴来分析解决有关绝对值的问题，这 种方法称之为“数形结合”。 这样一来，学生既学习了绝对值的概念，同时又渗透了 数形结合的思想方法。在此，教师在教学中应恰当地对数学 思想方法给予提炼与概括，以加深学生的印象。 数学知识的学习要经过听讲、复习、做练习等过程才能 掌握与巩固。数学思想方法的形成同样要有一个循序渐进的 过程并经过反复训练才能使学生真正领悟。也只有经过一个 反复训练，不断完善的过程才能使学生形成直觉的运用数学
搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲 身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方 法。 案例 1： 探索： （1）请学生们在数轴上将下列各数表示出来：0，1，-1，4， -4 （2）1 与-1，4 与-4 有什么关系？ （3）4 到原点的距离与-4 到原点的距离有何关系？1 与-1 呢？ 给出绝对值的概念，并让学生自己从数轴上，从各点之间 的关系中讨论归纳出绝对值的描述性定义。 （4）绝对值等于 9 的数有几个？如何利用数轴加以说明？ 今后我们可以借助数轴来分析解决有关绝对值的问题，这 种方法称之为“数形结合”。 这样一来，学生既学习了绝对值的概念，同时又渗透了 数形结合的思想方法。在此，教师在教学中应恰当地对数学 思想方法给予提炼与概括，以加深学生的印象。 数学知识的学习要经过听讲、复习、做练习等过程才能 掌握与巩固。数学思想方法的形成同样要有一个循序渐进的 过程并经过反复训练才能使学生真正领悟。也只有经过一个 反复训练，不断完善的过程才能使学生形成直觉的运用数学
思想方法的意识，建立起学生自我的“数学思想方法系统”。 在新概念、新知识点的讲授过程中，如运用类比的数学方法， 可以使学生易于理解和掌握。例如在学习有理数的时候，可 用小学所学的“数”进行类比。 案例2： 教学环 教学过程 设计意图 节 1.把抛物线)=(+2少+5化为一般1、此题是为学 环节形式。 生进行下面的 二： 解：y=(尸+2(X)+(P+5 讨论所做的一 个铺垫。 2、通过讨论， 2.小组讨论： 让学生进行尝 （1)如果给出一个抛物线为试，找出解决问 势 y=x+4x+9,你能指出它的开口方} 题的办法，教师 课 向、对称轴和顶点坐标吗？ 进行讲评时，对 学 (此处视学生情况决定是否讨论) 学生提出解决 分 (2)思考：如果给出一个抛物线问题的不同方 为y=2x2+4x+9或者y=-+4x+9, 法，都给予积极 你能指出它们的开口方向、对称轴 的评价，以激发 和顶点坐标吗？ 学生学习的上 进心和自信心
思想方法的意识，建立起学生自我的“数学思想方法系统”。 在新概念、新知识点的讲授过程中，如运用类比的数学方法， 可以使学生易于理解和掌握。例如在学习有理数的时候，可 用小学所学的“数”进行类比。 案例 2： 教学环 节 教学过程 设计意图 环 节 二： 新 课 学 习 1.把抛物线 化为一般 形式。 解： = = 2.小组讨论： （ 1 ） 如 果 给 出 一 个 抛 物 线 为 ，你能指出它的开口方 向、对称轴和顶点坐标吗？ （此处视学生情况决定是否讨论） （2）思考：如果给出一个抛物线 为 或者 ， 你能指出它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标吗？ 1、此题是为学 生进行下面的 讨论所做的一 个铺垫。 2、通过讨论， 让学生进行尝 试，找出解决问 题的办法，教师 进行讲评时，对 学生提出解决 问题的不同方 法，都给予积极 的评价，以激发 学生学习的上 进心和自信心
讲评的同时要 规范学生的书 写格式。 通过2个变式 的思考问题，让 学生了解二次 项的系数不为 1时如何处理。 经过多次重复与渗透，使学生真正理解、掌握类比的方 法，从而灵活的运用到今后新知识的学习与问题的解决之中 去，同时也提高自己的数学思维能力。 2.在问题探索、解决过程中揭示数学思想方法 我们平时的教学工作中一直存有这么一个难点：平时题 目讲得不少，可只要条件稍稍一变，一些学生就会不知所措， 总是停留在模仿型解题的水平上，很难形成较强解决问题的 能力，更谈不上创新能力的形成。而培养学生解决问题的综 合能力又是数学教学的核心目标。在解决问题的过程中，教 师就应把最大的教学精力花在诱导学生怎样去想，怎样想 到，到哪里去找解题的思路上，要置数学思想方法的运用于 解题的中心位置，充分发挥数学思想的解题功能一定向功 能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能。若学生能在解决
讲评的同时要 规范学生的书 写格式。 通过 2 个变式 的思考问题，让 学生了解二次 项的系数不为 1 时如何处理。 经过多次重复与渗透，使学生真正理解、掌握类比的方 法，从而灵活的运用到今后新知识的学习与问题的解决之中 去，同时也提高自己的数学思维能力。 2.在问题探索、解决过程中揭示数学思想方法 我们平时的教学工作中一直存有这么一个难点：平时题 目讲得不少，可只要条件稍稍一变，一些学生就会不知所措， 总是停留在模仿型解题的水平上，很难形成较强解决问题的 能力，更谈不上创新能力的形成。而培养学生解决问题的综 合能力又是数学教学的核心目标。在解决问题的过程中，教 师就应把最大的教学精力花在诱导学生怎样去想，怎样想 到，到哪里去找解题的思路上，要置数学思想方法的运用于 解题的中心位置，充分发挥数学思想的解题功能──定向功 能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能。若学生能在解决
问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少 走弯路，而且还可大大提高学生的数学能力与综合素质。 案例3： 练习一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函数值） 和斜边，求一直角边？ (通过几个简单的变式，即巩固了有关知识，也锻炼了几何 思维，突出数形结合) 练习二、思考探索： (1)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=25,AC=2, 你能求出△ABC中其他的边和角吗？ (2)已知：在Rt△DEF中，∠E=90°，EF=5,∠F=60°， 你能求出△DEF中其他的边和角吗？ (3)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B =60°，你能求出△ABC中其他的边吗？若能求，则 写出求解过程。 (探索中展现出更多问题，讲精，讲透；从多方面，多 角度去探索) 这样的设计，充分发挥了学生的主体作用，学生参与 问题的探索，大大激发了学生的求知兴趣，使学生在知识学 习的同时，感受和领会到了数学思想和方法的魅力。 3.在小结和复习中提炼概括数学思想方法
问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少 走弯路，而且还可大大提高学生的数学能力与综合素质。 案例 3： 练习一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函数值） 和斜边，求一直角边？ (通过几个简单的变式，即巩固了有关知识，也锻炼了几何 思维，突出数形结合) 练习二、思考探索： （1）已知：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC=2 ，AC=2， 你能求出△ABC 中其他的边和角吗？ （2）已知：在 Rt△DEF 中，∠E＝90°，EF=5， ∠F=60°， 你能求出△DEF 中其他的边和角吗？ （3） 已知：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A=30°， ∠B ＝60°， 你能求出△ABC 中其他的边吗？若能求，则 写出求解过程。 （探索中展现出更多问题，讲精，讲透；从多方面，多 角度去探索） 这样的设计，充分发挥了学生的主体作用，学生参与 问题的探索，大大激发了学生的求知兴趣，使学生在知识学 习的同时，感受和领会到了数学思想和方法的魅力。 3.在小结和复习中提炼概括数学思想方法
数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以 内隐的方式溶于数学知识的体系中，要使学生把这种思想内 化成自己的观点并应用它来解决问题，就要努力把各种知识 所表现出来的数学思想方法表层化，这符合未来数学教育改 革的趋势。 作为教师，我们首先弄清楚教材中所反映的数学思想方 法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概 括，在具体的授课活动中，以适当的方式将数学思想方法加 以揭示，并使之表层化，使学生达到真正意义上的领会和掌 握，增强学生对数学思想方法的应用意识。 案例4： 苏教版七（下）第七章小结与思考 (1) 阅读课本第32页“特殊化”，从中你学会了什么 数学思想方法？ (2) 在本章知识的学习过程中你还学到了哪些重要的 数学思想方法？举例说明。 (3)小组合作探索n边形对角线的条数。 不仅在单元知识的复习回顾中，我们要重视引导学生对 章节知识中蕴藏的数学思想方法加以归纳和概括，在习题评 讲中我们也不能就题论题，授之以“渔”比授之以“鱼”更 为重要。因而我们要把潜于习题中的这种思想方法提炼出 来，挖掘其深刻内涵，使之表层化，使学生易于从中掌握有
数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以 内隐的方式溶于数学知识的体系中，要使学生把这种思想内 化成自己的观点并应用它来解决问题，就要努力把各种知识 所表现出来的数学思想方法表层化，这符合未来数学教育改 革的趋势。 作为教师，我们首先弄清楚教材中所反映的数学思想方 法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概 括，在具体的授课活动中，以适当的方式将数学思想方法加 以揭示，并使之表层化，使学生达到真正意义上的领会和掌 握，增强学生对数学思想方法的应用意识。 案例 4： 苏教版七（下）第七章小结与思考 （1） 阅读课本第 32 页“特殊化”，从中你学会了什么 数学思想方法？ （2） 在本章知识的学习过程中你还学到了哪些重要的 数学思想方法？举例说明。 （3） 小组合作探索 n 边形对角线的条数。 不仅在单元知识的复习回顾中，我们要重视引导学生对 章节知识中蕴藏的数学思想方法加以归纳和概括，在习题评 讲中我们也不能就题论题，授之以“渔”比授之以“鱼”更 为重要。因而我们要把潜于习题中的这种思想方法提炼出 来，挖掘其深刻内涵，使之表层化，使学生易于从中掌握有
关数学思想方法的知识，并使这种“知识”消化吸收成具有 “个性”的数学思想，逐步形成用数学思想方法指导思维活 动的能力。 案例5： (2009年江苏省数学试题)如图，已知射线DE与x轴和y轴 分别交于点D3,0和点0,4.动点C从点M5,0)出发，以1个 单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方 向作匀速运动.设运动时间为秒 ↑型 D园M (1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标； (2)以点为圆心、2个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧)，连接PAPB. ①当⊙C与射线DE有公共点时，求的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求：的值. 思路分析与点拨 1.用含有t的式子表示点A、B、C、P的坐标及线段的长， 是解题的基础.把这些点的坐标和线段的长一一罗列出来有
关数学思想方法的知识，并使这种“知识”消化吸收成具有 “个性”的数学思想，逐步形成用数学思想方法指导思维活 动的能力。 案例 5： （2009 年江苏省数学试题）如图，已知射线 DE 与 轴和 轴 分别交于点 和点 ．动点 从点 出发，以 1 个 单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P 从点 D 出发，也以 1 个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方 向作匀速运动．设运动时间为 秒． （1）请用含 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标； （2）以点 C 为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），连接 PA、PB． ①当 与射线 DE 有公共点时，求 的取值范围； ②当 为等腰三角形时，求 的值． 思路分析与点拨 1．用含有 t 的式子表示点 A、B、C、P 的坐标及线段的长， 是解题的基础．把这些点的坐标和线段的长一一罗列出来有
利于解题。 2.⊙C与射线DE有公共点的两个临界状态是：A与D 重合，⊙C与射线DE相切， 3.按腰相等分三种情况讨论等腰三角形P4B的存在性， 用几何法讨论时，三种情况各有特殊性，其中ABAP又有两 种情况， 4,用代数法讨论等腰三角形PAB的存在性，用点A、B、 P的坐标表示三边长的平方时，运算一定要仔细. 解题过程略； 反思： 你从本题的求解过程中学到了哪些重要的数学思想方 法？（运动变化思想、数形结合思想、分类思想、化归思想） 当然，要使学生真正具备个性化的数学思想方法，还要 有一个反复训练、不断完善的过程。这就要求我们教师在教 学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学之 中，使学生真正形成个性的思维活动，从而全面提高自身的 数学素养
利于解题． 2．⊙C 与射线 DE 有公共点的两个临界状态是： A 与 D 重合，⊙C 与射线 DE 相切． 3．按腰相等分三种情况讨论等腰三角形 PAB 的存在性， 用几何法讨论时，三种情况各有特殊性，其中 AB=AP 又有两 种情况． 4．用代数法讨论等腰三角形 PAB 的存在性，用点 A、B、 P 的坐标表示三边长的平方时，运算一定要仔细． 解题过程略； 反思： 你从本题的求解过程中学到了哪些重要的数学思想方 法？（运动变化思想、数形结合思想、分类思想、化归思想） 当然，要使学生真正具备个性化的数学思想方法，还要 有一个反复训练、不断完善的过程。这就要求我们教师在教 学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学之 中，使学生真正形成个性的思维活动，从而全面提高自身的 数学素养