《中学数学研究》课程教学大纲 一、课程性质与目的 (一)课程的性质 初等代数研究是高等师范本科数学与应用数学专业、专科数学教育专业的 门专业方向课。本课程需要从中学数学的教学需要出发，根据中学数学的内容和 知识结构，把初等代数的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和 充实，在理论、观点和方法上予以提高。对各个专题的教学，都要着重基本思维 方法和基本技能技巧的训练。要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无 限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 (二)课程的目的 本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等代数的基础理 论、基础知识和基本技能：了解初等代数的内容和知识结构：在数学思想上得到 启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。 二、与相关课程的联系与分工 中学数学研究（代数分册）是高等师范院校数学专业的专业方向课。它是在 学生已己经掌握了一定的数学专业知识的基础上，继“心理学”、“教育学”之后 开设的，是研究初等数学系统理论的一门课程。本课程的主要特点是高等数学与 初等数学相联系，弥补学生学习初等数学与高等数学衔接的不足，为学生用高观 点指导中学数学教学、进行教学研究打下基础。 三、教学内容及要求 第一章数系 【教学要求】了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则。掌握自然数的序 数理论。理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，掌握有理数（实数）大小比 较的法则、有理数（实数）的运算法则和有理数（实数）集的性质。理解无理数 实数和复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。 【教学重点】序数理论、整数环、实数的运算、实数集的性质、复数 的三角形式、复数的运算、复数集的性质。 【教学难点】基数理论、序数理论、整数环、退缩有理闭区间序列、 实数的运算、实数集的性质、复数的三角形式、复数的运算、复数集的 性质。 【教学内容】 第一章数系
《中学数学研究》课程教学大纲 一、课程性质与目的 （一）课程的性质 初等代数研究是高等师范本科数学与应用数学专业、专科数学教育专业的一 门专业方向课。本课程需要从中学数学的教学需要出发，根据中学数学的内容和 知识结构，把初等代数的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和 充实，在理论、观点和方法上予以提高。对各个专题的教学，都要着重基本思维 方法和基本技能技巧的训练。要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无 限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 （二）课程的目的 本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等代数的基础理 论、基础知识和基本技能；了解初等代数的内容和知识结构；在数学思想上得到 启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。 二、与相关课程的联系与分工 中学数学研究（代数分册）是高等师范院校数学专业的专业方向课。它是在 学生已经掌握了一定的数学专业知识的基础上，继“心理学”、“教育学”之后 开设的，是研究初等数学系统理论的一门课程。本课程的主要特点是高等数学与 初等数学相联系，弥补学生学习初等数学与高等数学衔接的不足，为学生用高观 点指导中学数学教学、进行教学研究打下基础。 三、教学内容及要求 第一章 数系 【教学要求】了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则。掌握自然数的序 数理论。理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，掌握有理数（实数）大小比 较的法则、有理数（实数）的运算法则和有理数（实数）集的性质。理解无理数、 实数和复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。 【教学重点】序数理论、整数环、实数的运算、实数集的性质、复数 的三角形式、复数的运算、复数集的性质。 【教学难点】基数理论、序数理论、整数环、退缩有理闭区间序列、 实数的运算、实数集的性质、复数的三角形式、复数的运算、复数集的 性质。 【教学内容】 第一章 数系
第一节数的概念的扩展 第二节自然数的序数理论 第三节整数环 第四节有理数域 第五节实数域 第六节复数域 第二章式与不等式 【教学要求】理解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法。 掌握根式的运算法则和变形、指数式和对数式的性质。掌握不等式的基本性质 掌握证明不等式的常用方法。熟悉几个著名的不等式。 【教学重点】多项式的恒等定理：用待定系数法、综合除法进行因式分解： 复合二次根式的化简：解不等式（组）；不等式的证明 【教学难点】求共轭根式及根式的化简：不等式的证明：指数式和对数式 的证明 【教学内容】 第一节解析式的基本概念 第二节多项式 一、基本概念 二、多项式的恒等、待定系数法 三、对称多项式与轮换对称多项式 四、多项式的因式分解方法 第三节分式 一、基本概念及性质 二、分式恒等变形举例 第四节实数域上的根式 一、算术根的意义 二、算术根的运算法则 三、根式的化简 四、复合二次根式 五、根式计算举例 第五节不等式 一、不等式及基木概 二、不等式及基本性质 三、解不等式（组》
第一节 数的概念的扩展 第二节自然数的序数理论 第三节整数环 第四节 有理数域 第五节 实数域 第六节 复数域 第二章 式与不等式 【教学要求】理解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法。 掌握根式的运算法则和变形、指数式和对数式的性质。掌握不等式的基本性质， 掌握证明不等式的常用方法。熟悉几个著名的不等式。 【教学重点】多项式的恒等定理；用待定系数法、综合除法进行因式分解； 复合二次根式的化简；解不等式（组）；不等式的证明 【教学难点】求共轭根式及根式的化简；不等式的证明；指数式和对数式 的证明。 【教学内容】 第一节 解析式的基本概念 第二节 多项式 一、基本概念 二、多项式的恒等、待定系数法 三、对称多项式与轮换对称多项式 四、多项式的因式分解方法 第三节 分式 一、基本概念及性质 二、分式恒等变形举例 第四节 实数域上的根式 一、算术根的意义 二、算术根的运算法则 三、根式的化简 四、复合二次根式 五、根式计算举例 第五节 不等式 一、不等式及基本概念 二、不等式及基本性质 三、解不等式（组）
四、证明不等式的常用解法 五、几个著名不等式 第三章方程与函数 【教学要求】理解函数概念的发展与几种定义方式。理解方程（组）的基本 概念。掌握方程（组）的同解性，会解一些特殊类型的方程（组），掌握基本初 等函数的性质和图象。掌握用初等方法讨论函数。 【教学重点】函数的性质，用初等方法讨论函数：解一些特殊类型的方程。【教 学难点】方程（组）的同解性分析：高次方程的解法；列方程解应用问题 的步骤。求函数定义域和值域的一般方法。 【教学内容】 第一节方程与方程组的概念及分类 一、方程的概念 二、方程的分类 三、方程组的概念 四、方程组的分类 第二节方程与方程组的同解性 一、方程与方程组的同解概念 二、方程（组）的同解定理 第二节整式方程 一、一元N次方程的根的有关性质 二、 一元三次方程的解法 三、一元四次方程的解法 四、倒数方程 第四节分式方程、无理方程和超越方程 一、分式方程 二、无理方程 三、初等超越方程 第五节方程组的解法 一、一元二次和高次方程组 二、无理方程组 三、超越方程组 第六节函数概念的概述 一、变量说 二、对应说与关系说
四、证明不等式的常用解法 五、几个著名不等式 第三章 方程与函数 【教学要求】理解函数概念的发展与几种定义方式。理解方程（组）的基本 概念。掌握方程（组）的同解性，会解一些特殊类型的方程（组），掌握基本初 等函数的性质和图象。掌握用初等方法讨论函数。 【教学重点】函数的性质，用初等方法讨论函数；解一些特殊类型的方程。【教 学难点】方程（组）的同解性分析；高次方程的解法；列方程解应用问 题 的步骤。求函数定义域和值域的一般方法。 【教学内容】 第一节 方程与方程组的概念及分类 一、方程的概念 二、方程的分类 三、方程组的概念 四、方程组的分类 第二节 方程与方程组的同解性 一、方程与方程组的同解概念 二、方程（组）的同解定理 第二节 整式方程 一、一元 N 次方程的根的有关性质 二、一元三次方程的解法 三、一元四次方程的解法 四、倒数方程 第四节 分式方程、无理方程和超越方程 一、分式方程 二、无理方程 三、初等超越方程 第五节 方程组的解法 一、一元二次和高次方程组 二、无理方程组 三、超越方程组 第六节 函数概念的概述 一、变量说 二、对应说与关系说
第七节初等函数性质的判定 一、初等函数 二、初等函数性质 习题3 第四章数列 【教学要求】理解和掌握等差数列与等比数列的性质，熟练运用数学归纳法 解一些数学问题，会求高阶等差数列。 【教学重点】等差数列与等比数列的性质，数学归纳法的运用。 【教学难点】高阶等差数列的求法。 【教学内容】 第一节数列概述 第二节等差数列与等比数列 一、等差数列 二、等比数列 第三节几种特殊的数列 一、高阶等差数列 二、斐波那契数列 三、分群数列 第四节数学归纳法 第五节数列的母函数* 习题4 第五章排列与组合 【教学要求】掌握加法原理和乘法原理，掌握排列与组合的概念及公式应用， 掌握几个组合恒等式及其在多项式定理中的应用。 【教学重点】排列与组合的性质，排列与组合的实际应用，组合公式在多项 式定理中的应用。 【教学难点】排列和组合在实际中的应用，相异元素的环状排列和组合公式 在多项式定理中的应用。 【教学内容】 第一节加法原理与乘法原理 一、加法原理 二、乘法原理 第二节排列 一、无重（线状）排列
第七节 初等函数性质的判定 一、初等函数 二、初等函数性质 习题 3 第四章 数列 【教学要求】理解和掌握等差数列与等比数列的性质，熟练运用数学归纳法 解一些数学问题，会求高阶等差数列。 【教学重点】等差数列与等比数列的性质，数学归纳法的运用。 【教学难点】高阶等差数列的求法。 【教学内容】 第一节 数列概述 第二节 等差数列与等比数列 一、等差数列 二、等比数列 第三节 几种特殊的数列 一、高阶等差数列 二、斐波那契数列 三、分群数列 第四节 数学归纳法 第五节 数列的母函数 * 习题 4 第五章 排列与组合 【教学要求】掌握加法原理和乘法原理，掌握排列与组合的概念及公式应用， 掌握几个组合恒等式及其在多项式定理中的应用。 【教学重点】排列与组合的性质，排列与组合的实际应用，组合公式在多项 式定理中的应用。 【教学难点】排列和组合在实际中的应用，相异元素的环状排列和组合公式 在多项式定理中的应用。 【教学内容】 第一节加法原理与乘法原理 一、加法原理 二、乘法原理 第二节 排列 一、无重（线状）排列
二、可重复（线状）排列 三、圆排列 第三节组合 一、无重组合 二、相异元素的重复组合 第四节容斥原理 习题5 第六章算法* 第一节算法概念 第二节程序的基本结构 第三节算法设计的基本方法 第四节算法思想在高中数学课程中的地位及其教学 四、教学学时分配（教学内容以章为单位填写） 序号 教学内容 学时 讲授 实验 学时 学时 第一章数系 6 2第二章式与不等式 10 10 3第三章方程与函数 12 12 4第四章数列 10 10 5第五章排列与组合 10 10 6第六章算法 0 合计 48 48 0 五、各教学环节的基本要求 (一)教学方法与手段 以课堂讲授为主，采用启发式、讨论式等教学方法，培养学生独立思考问题、 分析问题和解决问题的能力 (二)实践教学（含实践性教学环节的课程须有此项。否则，取消此项，以 下标题依次提上)（空2格宋体小四） 1.实践教学要求（空2格末体小四） 实践课是初等代数研究课程中的重要的实践环节。通过本课程的实践，使学 生对初等代数的教学体系有更加深入的实践，为今后中学数学教学打下基础。 2.实践教学内容（空2格宋体小四） (1)式与不等式的教学 (2)方程与函数的教学
二、可重复（线状）排列 三、圆排列 第三节 组合 一、无重组合 二、相异元素的重复组合 第四节容斥原理 习题 5 第六章 算法 * 第一节 算法概念 第二节程序的基本结构 第三节算法设计的基本方法 第四节 算法思想在高中数学课程中的地位及其教学 四、教学学时分配（教学内容以章为单位填写） 序号 教学内容 学时 讲授 学时 实验 学时 1 第一章 数系 6 6 0 2 第二章 式与不等式 10 10 0 3 第三章 方程与函数 12 12 0 4 第四章 数列 10 10 0 5 第五章 排列与组合 10 10 0 6 第六章 算法 0 0 0 合计 48 48 0 五、各教学环节的基本要求 （一）教学方法与手段 以课堂讲授为主，采用启发式、讨论式等教学方法，培养学生独立思考问题、 分析问题和解决问题的能力 （二）实践教学（含实践性教学环节的课程须有此项。否则，取消此项，以 下标题依次提上）（空 2 格 宋体 小四） 1.实践教学要求（空 2 格 宋体 小四） 实践课是初等代数研究课程中的重要的实践环节。通过本课程的实践，使学 生对初等代数的教学体系有更加深入的实践，为今后中学数学教学打下基础。 2.实践教学内容（空 2 格 宋体 小四） （1）式与不等式的教学 （2）方程与函数的教学
(3)数列的教学 (4)排列与组合的教学 (三)铺导与作业 采用课后辅导和课间辅导两种形式进行，每周在规定时间和地点至少安排 次辅导。根据教学需要，除教材中的习题外，适当补充一定量的课外习题，学生 必须独立、按时完成。 (四)考核及成绩评定方式 本课程的考核方式采用闭卷考试。成绩评定采用期末考试与平时成绩相结合 的方式进行综合评定。期末考试成绩占总成绩的70%，平时成绩占总成绩的30%。 六、建议教材和教学参考书 (一)建议教材 主编：《初等数学研究》，上海，华东师范大学出版社，2009.8 (二)教学参考书 1.主编：《初等代数教程》，北京，北京师范大学出版社1986出版社， 2.主编：《初等代数研究》北京高等教育出版社1988 3.主编：《初等代数研究》北京高等教育出版社1988 4.主编：《中学代数研究》北京高等教育出版社2006 七、大纲其他说明 打有*号的内容不上
（3）数列的教学 （4）排列与组合的教学 （三）辅导与作业 采用课后辅导和课间辅导两种形式进行，每周在规定时间和地点至少安排一 次辅导。根据教学需要，除教材中的习题外，适当补充一定量的课外习题，学生 必须独立、按时完成。 （四）考核及成绩评定方式 本课程的考核方式采用闭卷考试。成绩评定采用期末考试与平时成绩相结合 的方式进行综合评定。期末考试成绩占总成绩的 70%，平时成绩占总成绩的 30%。 六、建议教材和教学参考书 （一）建议教材 主编：《初等数学研究》，上海 ，华东师范大学出版社，2009.8 （二）教学参考书 1.主编：《初等代数教程》 ，北京，北京师范大学出版社 1986 出版社， 2.主编：《初等代数研究》北京 高等教育出版社 1988 3.主编：《初等代数研究》北京 高等教育出版社 1988 4.主编：《中学代数研究》北京 高等教育出版社 2006 七、大纲其他说明 打有*号的内容不上