§5-3数学推理及其证明 [知识结构 一、基本逻辑规律（形式思维的基本规律） 1、同一律 2、矛盾律 3、排中律 4、充足理由律 二、数学推理 推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式。 归纳推理，完全归纳推理 (严格讲是演绎推理) 不完全归纳推理 类比推理(analog ical inf erence) 「直接推理 三段论 关系推论 推理{演绎推理 联言推诊 间接推理 选言推论 (曹本P216,217) 假言推论 摸态推论 (deductive reasoning） 拟情推理（合情推理）（补充G波利亚的工作） 三、数学证明 1、直接证法：①综合法：②分析法：③分析综合法。 2、间接证法：①同一法：②反证法（归缪法）。 3、数学归纳法与普通归纳法（曹本P224)
§5-3 数学推理及其证明 [知识结构] 一、基本逻辑规律（形式思维的基本规律） 1、同一律 2、矛盾律 3、排中律 4、充足理由律 二、数学推理 推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式。 ( ) ( ) ( 216,217) log inf ( ) 拟情推理 合情推理 补充 波利亚的工作 （ ） 曹本 模态推论 假言推论 选言推论 联言推论 关系推论 三段论 间接推理 直接推理 演绎推理 类比推理（ ） 不完全归纳推理 完全归纳推理 严格讲是演绎推理 归纳推理 推理 G deductive reasoning P ana ical erence 三、数学证明 1、直接证法：①综合法；②分析法；③分析综合法。 2、间接证法：①同一法；②反证法（归缪法）。 3、数学归纳法与普通归纳法（曹本 P. 224）
§5-3数学推理及其证明 一、思维的基本规律 Basic Law of Thinking) 同一律、矛盾律、排中律、充足理由律 二、数学中的推理 (Mathematical inference) [引例] 例1线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等 所以，到线段两端点距离不等的点，不在这条线段的垂直平分线上 例2矩形中的对象线相等： 无限不循环小数是无理数： 正方形是矩形： π是无限不循环小数： “正方形的对角线相等。 是无理数。 1、什么是推理： 推理是从一个或几个已有的判断作出另一个新的判断的思维形式。 推理是一种重要的思维形式是探求新结果，由已知进到未知的思维方法， 2、推理的结构 前提：在推理过程中，所根据的己有判断叫做推理的前提。 结论：在推理过程中，所作出的新判断叫做推理的结论。 根据前提的数目： 只有1个为直接推理。如例1，较简单： 有2个以上为间接推理。如例2，较复杂。 NOTE:[必然性推理与或然性推理] 在逻辑里，根据推理的前提和结论之间是否具有蕴含关系，可以把推理分为 必然性推理和或然性推理。 前提蕴含结论的推理是必然性推理。 前提不蕴含结论的推理是或然性推理。 一般地，演绎推理是必然性推理的主要形式。 不完全归纳推理和类比推理是或然推理的主要形式，这两类推理往往在一些 推理中是相互渗透、相互补充、相辅助相成的： (参见《笔见二、三》p.24)
§5-3 数学推理及其证明 一、思维的基本规律 （Basic Law of Thinking） 同一律、矛盾律、排中律、充足理由律 二、数学中的推理 （Mathematical inference） [引例] 例 1 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。 所以，到线段两端点距离不等的点，不在这条线段的垂直平分线上。 例 2 矩形中的对象线相等； 无限不循环小数是无理数； 正方形是矩形； π是无限不循环小数； ∴正方形的对角线相等。 ∴π是无理数。 1、什么是推理： 推理是从一个或几个已有的判断作出另一个新的判断的思维形式。 推理是一种重要的思维形式是探求新结果，由已知进到未知的思维方法。 2、推理的结构 前提：在推理过程中，所根据的已有判断叫做推理的前提。 结论：在推理过程中，所作出的新判断叫做推理的结论。 根据前提的数目： 只有 1 个为直接推理。 如例 1，较简单； 有 2 个以上为间接推理。如例 2，较复杂。 NOTE：[必然性推理与或然性推理] 在逻辑里，根据推理的前提和结论之间是否具有蕴含关系，可以把推理分为 必然性推理和或然性推理。 前提蕴含结论的推理是必然性推理。 前提不蕴含结论的推理是或然性推理。 一般地，演绎推理是必然性推理的主要形式。 不完全归纳推理和类比推理是或然推理的主要形式，这两类推理往往在一些 推理中是相互渗透、相互补充、相辅助相成的。 （参见《笔见二、三》p. 24）
拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。” G·波利亚：“类比是个伟大的引路人。” 3、正确推理的要求 前提真实，运用符合形式逻辑基本规律的推理形式（即遵守推理规则），以 期得到真实的结论。 在数学中，只有做到推理合乎逻辑，才能正确地进行思维，深刻地理解系统 的知识。 4、推理的种类 归纳推理完全归纳推理（严格讲是演绎推理） 不完全归纳推理 类比推理(analog ical inf erence) 「直接推理 三段论 关系推理 推理演绎推理 向接推理联言推理 (曹本P.216,217) 选言推理 假言椎理 模态推理 (deductive reasoning) 拟情推理（合情推理，或然推理）补充G·波利亚的工作 以下合绍几种常用的间接推理： 归纳推理，演绎推理，类比推理，三段论，合情推理。 (一)归纳推理(Inductive inference) 从个别的或特殊的事物的作出的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推 理。也即，由特殊场合的知识推出一般原理的思维方法。 例由23.25=23*5及33.35=335→a3·a5=a5(a>0) 由a3·a5=a35及a4·a3-a4+5→am·a"=amn(a>0) (这种推理在中学数学中，随处可见)
拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。” G·波利亚：“类比是个伟大的引路人。” 3、正确推理的要求 前提真实，运用符合形式逻辑基本规律的推理形式（即遵守推理规则），以 期得到真实的结论。 在数学中，只有做到推理合乎逻辑，才能正确地进行思维，深刻地理解系统 的知识。 4、推理的种类 拟情推理 合情推理 或然推理 补充 波利亚的工作 （ ） 曹本 模态推理 假言推理 选言推理 联言推理 关系推理 三段论 间接推理 直接推理 演绎推理 类比推理 不完全归纳推理 完全归纳推理 严格讲是演绎推理 归纳推理 推理 ， G deductive reasoning P ana ical erence ( ) ( .216,217) ( log inf ) ( ) 以下合绍几种常用的间接推理： 归纳推理，演绎推理，类比推理，三段论，合情推理。 （一）归纳推理（Inductive inference） 从个别的或特殊的事物的作出的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推 理。也即，由特殊场合的知识推出一般原理的思维方法。 例 由 2 3·2 5 = 23+5 及 3 3·3 5 = 33+5 → a 3·a 5 = a3+5 (a>0) 由 a 3·a 5 = a3+5 及 a 4·a 5 = a4+5 → a m·a n = am+n (a>0) （这种推理在中学数学中，随处可见）
根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳法分为完全 归纳法和不完全归纳法。 (1)完全归纳：它是研究某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物 的一般性结论。 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完 全相同，则这种归纳推理，叫完全归纳法。 推理格式：s1具有（或不具有）p: 2具有（或不具有）p: sn具有（或不具有）p: 3具有（或不具有）p. :.A类事物具有（或不具有）p (S,32.5是A类事物所有的对象) 例证明三角形三条高线共点的定理。 分别证出锐角△，Rt△，钝角△三条高共点一任意△三高共点 其真理性如何判断： 由于完全归纳法在前提的判断中，己对结论的判断范围全部作出判断；如果 推理的前提所作判断都真的话，得出结论完全可靠一一完全归纳法可作为数学的 严格推理方法。 要点：用完全归纳法进行推理时，要注意前提的判断范围不要重复，也不要 遗漏。立即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。 (2)不完全归纳性 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则称为不完全归 纳法。 例从具体数的运算概括出运算律，指数运算性质等推理。 其真实性如何判断：可真可假。 推理格式：s1具有（或不具）p: s2具有（或不具）p: sn具有（或不具）p:
根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳法分为完全 归纳法和不完全归纳法。 （1）完全归纳：它是研究某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物 的一般性结论。 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完 全相同，则这种归纳推理，叫完全归纳法。 推理格式：s1 具有（或不具有）p； s2 具有（或不具有）p； . sn 具有（或不具有）p； ( , ) ( ) ( ) . 1 2 是 类事物所有的对象 类事物具有 或不具有 具有 或不具有 s s s A A p s p n n 例 证明三角形三条高线共点的定理。 分别证出锐角△，Rt△，钝角△三条高共点 任意△三高共点。 其真理性如何判断： 由于完全归纳法在前提的判断中，已对结论的判断范围全部作出判断；如果 推理的前提所作判断都真的话，得出结论完全可靠——完全归纳法可作为数学的 严格推理方法。 要点：用完全归纳法进行推理时，要注意前提的判断范围不要重复，也不要 遗漏。立即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。 （2）不完全归纳性 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则称为不完全归 纳法。 例 从具体数的运算概括出运算律，指数运算性质等推理。 其真实性如何判断：可真可假。 推理格式：s1 具有（或不具）p； s2 具有（或不具）p； . sn 具有（或不具）p；
SSS是A类事物的部份对象，在考察过程中没有遇到矛盾的估况】 ∴A类事物具有（或不具有）P (二)类比推理(Analogical inference) 类比推理是由特殊到特殊的推理。也即，由特殊场合的知识推出特殊场合知 识的思维方法。 具体讲，它是根据两个事物（或两类事物）的某些相同或相似的性质，推测 它们在别的性质上也可能相同或相似的推理形式。 例如算术和代数之间，有些性质是相类似的。 由此，可从算术中分数的基本性质和四则运算法则（类比推出）一代数中 分式的基本性质和四则运算法则 类推的形式：A类事物具有性质a、b、c、d: B类事物具有性质a、b、c: ∴.B类事物可能具有性质d 其真实性如何？并非一定为真。 例①“若a=b,则ac=bc”(真)。 类比→“若a>b,则ac心bc”(假)。 ②ab+c)与log-(x+y)或与sin(r+) ③(abr与(a+by 教学上，要防止学生乱用类比造成错误： toga(x+y)=togax+togay sin(x+y)=sin x+sin y (a+b)"=a"+b" (Deductive reasoning) (三)演绎推理(Deductive Reasoning)(与归纳推理过程相反 演绎推理是由一般到特殊的推理，亦即以某类事物的一般判断为前提作出这 类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。 演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围。演绎推理的前提和结论之 间有着必然的联系，只要前提是真的，推理合乎逻辑（规律）的，就一定能得到 正确的结论
(s1,s2.sn 是 A 类事物的部份对象，在考察过程中没有遇到矛盾的情况) ∴A 类事物具有（或不具有）p。 （二）类比推理（Analogical inference） 类比推理是由特殊到特殊的推理。也即，由特殊场合的知识推出特殊场合知 识的思维方法。 具体讲，它是根据两个事物（或两类事物）的某些相同或相似的性质，推测 它们在别的性质上也可能相同或相似的推理形式。 例如 算术和代数之间，有些性质是相类似的。 由此，可从算术中分数的基本性质和四则运算法则（类比推出） 代数中 分式的基本性质和四则运算法则 类推的形式：A 类事物具有性质 a、b、c、d； B 类事物具有性质 a、b、c； ∴B 类事物可能具有性质 d 其真实性如何？并非一定为真。 例① “若 a=b，则 ac=bc”（真）。 类比 “若 a>b，则 ac>bc”（假）。 ② a(b+c)与 loga(x+y)或与 sin(x+y) ③ (ab)n 与(a+b)n 教学上，要防止学生乱用类比造成错误： ( ) ( ) sin( ) sin sin ( ) Deductive reasoning a b a b x y x y toga x y togax togay n n n + = + + = + + = + （三）演绎推理 (Deductive Reasoning)（与归纳推理过程相反） 演绎推理是由一般到特殊的推理，亦即以某类事物的一般判断为前提作出这 类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。 演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围。演绎推理的前提和结论之 间有着必然的联系，只要前提是真的，推理合乎逻辑（规律）的，就一定能得到 正确的结论
因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。 演绎推理的形式较多，数学中用得较多的是真言三段论和假言三段论。 (1)三段论公理 一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是 什么。换句说话，如果对一类事物的全部有所断定，那么，对它的部分也有所断 定（如图所示）。 P(平行四边形) M(菱型】 四边形 ABCD M类包含在P类中，则M类的 M类和P类相排斥，则M类的 一部分(S)也包含在P类中。 一部分(S)也和P类相捧斥。 NOTE:结论中的主项一一小项(S) 结论中的谓项一一大项(P) 两个前提中所共有，而在结论中消失的项一一中项(M) 大/小前提。 例菱形(M)(中项)是平行四边形(P)(大项)。 四边形ABCD(S)(小项)是菱形(M) :.四边形ACBD(S)是平行四边形(P) (2)直言三段论 直言三段论就是从两个直言判断（其中一个必为全称判断）得出第三个判断 的推理方法。 例凡平行四边形(M)的对角线都互相平分(P)为 正方形(S)是平行四边形(P) ,正方形(S)的对角线互相平分(P)
因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。 演绎推理的形式较多，数学中用得较多的是真言三段论和假言三段论。 （1）三段论公理 一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是 什么。换句说话，如果对一类事物的全部有所断定，那么，对它的部分也有所断 定（如图所示）。 M 类包含在 P 类中，则 M 类的 M 类和 P 类相排斥，则 M 类的 一部分（S）也包含在 P 类中。 一部分（S）也和 P 类相排斥。 NOTE： 结论中的主项——小项（S） 结论中的谓项——大项（P） 两个前提中所共有，而在结论中消失的项——中项（M） 大 / 小前提。 例 菱形（M）（中项）是平行四边形（P）（大项）。 四边形 ABCD（S）（小项）是菱形（M） ∴ 四边形 ACBD（S）是平行四边形（P） （2）直言三段论 直言三段论就是从两个直言判断（其中一个必为全称判断）得出第三个判断 的推理方法。 例 凡平行四边形（M）的对角线都互相平分（P）； ( ) ( ) ( ) ( ) S P S P 正方形 的对角线互相平分 正方形 是平行四边形 P（平行四边形） M（菱型） S 四边形 ABCD M S P
(这里有且只有三个判断：大前提/小前提/结论) 推理格式：凡M皆是P S是M .S是P NOT正：直言三段论有四种不同形式，称为四个格。 (主项、谓项、前提、周延性等) (3)假言直言三段论 假言直言三段论就是从一个假言判断和一个直言判断得出第三个判断的推 理。 假言直言三段论有肯定式和否定式两种： ·肯定式，是从肯定假言前提的前件，从而肯定它的后件的推理 例若两角是对项角，则此两角相等： ∠AOC和∠BOD是对顶角， ∴.∠AOC=∠BOD A→B] 肯定式的推理格式： ●否定式，是从否定假言前提的后件，从而否定它的前件的推理。 例若两角是对顶角，则此两角相等： ∠AOC≠∠BOD ∴∠AOC和∠BOD不是对顶角 否定式的推理格式： A-B (这里，BA分别表示判断B、A的否定) 如果大前提A→B,用其等价命题B一A代替，()就成为(m)
（这里有且只有三个判断：大 前提/ 小前提 / 结论） 推理格式：凡 M 皆是 P S P S M 是 是 NOTE：直言三段论有四种不同形式，称为四个格。 （主项、谓项、前提、周延性等） （3）假言直言三段论 假言直言三段论就是从一个假言判断和一个直言判断得出第三个判断的推 理。 假言直言三段论有肯定式和否定式两种： ⚫ 肯定式，是从肯定假言前提的前件，从而肯定它的后件的推理。 例 若两角是对顶角，则此两角相等； AOC BOD AOC BOD ； = 和 是对顶角 肯定式的推理格式： (i) B A A B ⚫ 否定式，是从否定假言前提的后件，从而否定它的前件的推理。 例 若两角是对顶角，则此两角相等； AOC和BOD不是对顶角 AOC BOD 否定式的推理格式： (ii) A B A B （这里， B，A 分别表示判断 B、A 的否定） 如果大前提 A B ，用其等价命题 B A 代替，（ii）就成为（iii）
B→A (m)实质上，它即是肯定式(1) 假言直言三段式必须遵守以下规则： 10如果承认前件，就承认后件。 20如果否认后件，就否认前件。 NOTE: (注1)在一个科学系统中，归纳演绎是互相结合使用的，总有一些作为演 绎推理的大前提是用归纳推理作出的结论。这时，演绎推理的结论的真实性，还 要经过实践检验。 (注2)数学中的演绎推理，不仅是简单的三段论，命题演算规则，也可以 作为演绎推理的规划。 (4)复合三段论 复合三段论是几个三段论联结在一起构成的，其中前一个三段论的结论作为 后一个三段论的前提。如： 平行四边形(M)是多边形(P) M-P 菱形M,)是平行四边形(M, M2-M 菱形(M2)是多边形P) M2-P 四边形ABCD(S)是菱形(M2) S-M 四边形ABCD(S)是多边形(P) S-P (5)关系推理 关系推理是根据对象关系的逻辑性质（对称性、传递性等）进行推演的推理， 它的前提和结论都是关系判断。 例如，利用对称性进行推理，有 aRb .bRq 例A=B∴B=A: AB∥CD.CD∥AB:
(iii) A B B A 实质上，它即是肯定式（i） 假言直言三段式必须遵守以下规则： 1 0 如果承认前件，就承认后件。 2 0 如果否认后件，就否认前件。 NOTE： （注 1）在一个科学系统中，归纳演绎是互相结合使用的，总有一些作为演 绎推理的大前提是用归纳推理作出的结论。这时，演绎推理的结论的真实性，还 要经过实践检验。 （注 2）数学中的演绎推理，不仅是简单的三段论，命题演算规则，也可以 作为演绎推理的规划。 （4）复合三段论 复合三段论是几个三段论联结在一起构成的，其中前一个三段论的结论作为 后一个三段论的前提。如： 平行四边形（M1）是多边形（P） M1—P S P S M ABCD S P ABCD S M M P M M M P M M − − − − 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 四边形 是多边形 四边形 是菱形 菱形 是多边形 菱形 是平行四边形 （5）关系推理 关系推理是根据对象关系的逻辑性质（对称性、传递性等）进行推演的推理， 它的前提和结论都是关系判断。 例如，利用对称性进行推理，有 bRq aRb 例 A=B ∴B=A； AB // CD ∴CD // AB；
方程x=0与x)0同解，∴x=0与x片0同解 例如，利用传递性进行推理，有 aRb例：a>b bRc bxc ·.aRe ∴.a>c NOTE]关系命题中没有联项的地位，不能把这种关系推理着作三段论。 (四)合情推理（拟情推理） (1)合情推理，是一种可能性推理，是根据人们的经验、知识、直观与感 觉得到一种可能性结论的推理， 它不仅在发现数学结论中有着重要意义，而且在寻找定理证明方法和公式证 明方法中也是非常重要的。 例1若函数x)满足x+1)=x)-x-),则x)为周期函数 (《笔记二、三》P,27) (2)合情推理的方式 通常用的比较多的有归纳推理与类比推理。但这两种推理作为合情合理，都 有风险。因此，需要形式论证。而且一旦论证出错误，要及时改进合情推理的结 论。 (3)合情推理的作用 合情推理可以从某些知识条件预测某些结果，使学生克服对数学定理与公式 神秘感，可以给出某些问题证明思路，使学生克服对数学证明的畏惧感：可以发 现某些结论，增强兴趣。 通过合情推理，也可以预见某些命题的正确或错误，以增强证明它的信心或 否定它的决心。 只要在数学教学过程中稍能反映出数学的发现过程的话，就必须在教学中加 强合理推理和研究性意识的训练和培养。 (合理推理：猜想、直觉、发现) 例2将例1改为x)=x-a四)+x+)仍可证明其为周期函数。 三、数学中的证明(Mathematical Proof) 1、数学证明与证明结构 证明，就是用某个（或一些）真实判断确定另一判断真实性的思维过程。它
方程 f1(x)=0 与 f2(x)=0 同解，∴f1(x)=0 与 f2(x)=0 同解。 例如，利用传递性进行推理，有 aRb 例：a>b a c b c aRc bRc [NOTE] 关系命题中没有联项的地位，不能把这种关系推理着作三段论。 （四）合情推理（拟情推理） （1）合情推理，是一种可能性推理，是根据人们的经验、知识、直观与感 觉得到一种可能性结论的推理。 它不仅在发现数学结论中有着重要意义，而且在寻找定理证明方法和公式证 明方法中也是非常重要的。 例 1 若函数 f(x)满足 f(x+1) = f(x) - f(x-1)，则 f(x)为周期函数。 （《笔记二、三》P. 27） （2）合情推理的方式 通常用的比较多的有归纳推理与类比推理。但这两种推理作为合情合理，都 有风险。因此，需要形式论证。而且一旦论证出错误，要及时改进合情推理的结 论。 （3）合情推理的作用 合情推理可以从某些知识条件预测某些结果，使学生克服对数学定理与公式 神秘感，可以给出某些问题证明思路，使学生克服对数学证明的畏惧感；可以发 现某些结论，增强兴趣。 通过合情推理，也可以预见某些命题的正确或错误，以增强证明它的信心或 否定它的决心。 只要在数学教学过程中稍能反映出数学的发现过程的话，就必须在教学中加 强合理推理和研究性意识的训练和培养。 （合理推理：猜想、直觉、发现） 例 2 将例 1 改为 f(x) = f(x-) + f(x+) 仍可证明其为周期函数。 三、数学中的证明 (Mathematical Proof) 1、数学证明与证明结构 证明，就是用某个（或一些）真实判断确定另一判断真实性的思维过程。它
由论题、论据和论证方式三个要素构成。 (1)证明：是一种重要的思维过程。证明由推理构成而判断的真实性一般 性都需要经过证明才能确认。 (2)数学证明：是根据已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性 质等数学命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程。 数学证明过程往往表现为一系列的推理。 (3)证明的结构： 任何证明都由论题、论据、论证三部分组成， 论题：是需要证明其真实性的那个命题。 论据：是指被用来作为证明的理由。 论证：是证明的过程。就是根据论据进行一系列推理来证明论题真实性的过 程。 数学证明中常分为已知，求证、证明三个组成部分。 (4)证明的规则 ①论题要明确。 (论题是证明的基本目标，必须清楚、明确) ②论题应当始终如一。 (符合同一律，忌偷换论题) ③论据要真实。 (虚假论据一一根基错误) ④论据不能推出论题。 (符合充足理由律否则不能推出) ⑤论据必然能推出论题。 (过程严谨、思考镇密、无懈可击、无可置疑) 2、证明方法 (l)直接证法(direct demonstration) 由命题的题设出发，以有关的定义、公理、定理为前提，通过若干次推理得 到题断，这种推证方法，叫直接证法。 即： 本题题设 前此定义 前此公理 三A一B三.一K一本题题断 前此定理 在数学中命题大多采用直接证法，包括：分析法、综合法、分析综合法，逆 证法等
由论题、论据和论证方式三个要素构成。 （1）证明：是一种重要的思维过程。证明由推理构成而判断的真实性一般 性都需要经过证明才能确认。 （2）数学证明：是根据已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性 质等数学命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程。 数学证明过程往往表现为一系列的推理。 （3）证明的结构： 任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。 论题：是需要证明其真实性的那个命题。 论据：是指被用来作为证明的理由。 论证：是证明的过程。就是根据论据进行一系列推理来证明论题真实性的过 程。 数学证明中常分为已知，求证、证明三个组成部分。 （4）证明的规则 ①论题要明确。 （论题是证明的基本目标，必须清楚、明确） ②论题应当始终如一。 （符合同一律，忌偷换论题） ③论据要真实。 （虚假论据——根基错误） ④论据不能推出论题。 （符合充足理由律否则不能推出） ⑤论据必然能推出论题。 （过程严谨、思考镇密、无懈可击、无可置疑） 2、证明方法 （1） 直接证法（direct demonstration） 由命题的题设出发，以有关的定义、公理、定理为前提，通过若干次推理得 到题断，这种推证方法，叫直接证法。 即： 本题题断 前此定理 前此公理 前此定义 本题题设 A B K 。 在数学中命题大多采用直接证法，包括：分析法、综合法、分析综合法，逆 证法等