s5.2数学命题(mathematical proposition)及其数学（含有课件） [引例一】对勾股定理和射影定理等价性的研究。 在学习Rt△射影定理之后，由射影定理很容易地导出勾股定理：而现在中 学课本中采用面积方法导出勾股定理。在教学中，可提出研究性课题：能否由勾 股定理导出射影定理呢？ 学生展开激烈的辩论，一方面怀疑其可行性，另一方面又害怕是循环论证。 其实，推导并不困难，研究如下： A 如图所示 AC2=AD2+CD2 即b2-[c2-(a-x)2]+x2 得b2=c2-a2+2ar-x2+x2 ∴b2=ar即AC2=CD.CB D C (a2=b2+c2) 另一方面，由于勾股定理与射影定理是各自独立得到的，它们互推说明了命 题间的等价性。 这种形式的辨证教学使学生对数学的公理体系、等价关系有了新的认识，特 别是对基本定理的探讨极大地鼓励学生的创新意识。 [引例二】射影定理有无逆定理，为什么？ 首先，数学命题教学的重要性。 自从希尔伯特用公理化方法完成了对传统欧氏几何的改造以后，公理化的方 法己成为数学中重要方法，而且正在被其它有关科学门类所吸收，对各门自然科 学具有示范作用。 任何一门成熟的数学学科，都是由概念、公理、定理、公式等所组成严密的 逻辑关系。正是数学命题将概念联系起来，逐步形成完整的数学学科。 在中学数学教学中，教师若不引导学生掌握数学命题，学生就不可能通晓那 门学科的结构，就不可能学好那门学科。 在解决问题时，数学定理和公式起着极大的作用，可以说，每前进一步都离 不开定理和公式。 数学教学过程就是发展学生数学思维的过程。发展学生的数学思维，必须对
§5.2 数学命题(mathematical proposition)及其数学（含有课件） [引例一] 对勾股定理和射影定理等价性的研究。 在学习 Rt△射影定理之后，由射影定理很容易地导出勾股定理；而现在中 学课本中采用面积方法导出勾股定理。在教学中，可提出研究性课题：能否由勾 股定理导出射影定理呢？ 学生展开激烈的辩论，一方面怀疑其可行性，另一方面又害怕是循环论证。 其实，推导并不困难，研究如下： A 如图所示 ( ) 2 [ ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b ax AC CD CB b c a ax x x b c a x x AC AD CD = + = = = − + − + = − − + = + 即 得 即 B D C 另一方面，由于勾股定理与射影定理是各自独立得到的，它们互推说明了命 题间的等价性。 这种形式的辨证教学使学生对数学的公理体系、等价关系有了新的认识，特 别是对基本定理的探讨极大地鼓励学生的创新意识。 [引例二] 射影定理有无逆定理，为什么？ 首先，数学命题教学的重要性。 自从希尔伯特用公理化方法完成了对传统欧氏几何的改造以后，公理化的方 法已成为数学中重要方法，而且正在被其它有关科学门类所吸收，对各门自然科 学具有示范作用。 任何一门成熟的数学学科，都是由概念、公理、定理、公式等所组成严密的 逻辑关系。正是数学命题将概念联系起来，逐步形成完整的数学学科。 在中学数学教学中，教师若不引导学生掌握数学命题，学生就不可能通晓那 门学科的结构，就不可能学好那门学科。 在解决问题时，数学定理和公式起着极大的作用，可以说，每前进一步都离 不开定理和公式。 数学教学过程就是发展学生数学思维的过程。发展学生的数学思维，必须对
学生进行严格的科学训练，这种训练必须和传授知识有机地、和谐地结合起来 而数学命题是教学正是一个很好的结构点。 由此可得出结论：有效的教学命题教学，将有助于学生牢固的学握数学知识 结构，有助于解决问题能力的提高，有助于数学思维的发展 一、数学命题(mathematical proposition)的意义和结构 1、数学命题的意义 (1)判断：对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 逻辑上的判断，只注重形式，不管判断的内容 判断可按不同的标准进行分类： 简单判断性质判断 关系判断 「量：全称，特称（单称） 判断 「负判断 良合判断联言判断 :判断{质：肯定，否定 关系：定言，选言，假言 选言判断 假言判断 ""-AⅡ "-Existentia 例性质判断的组成： 一判断的主项（主词S),即表示判断对象的概念。用“S”表示 一判断的谓项（宾词P),即表示判断对象的性质（属性）的概念。用“P 表示。 一判断的联项（系词）。常用“是”或“不是”表示。 例“菱形(S)是平行四边形(P)” 性质判断的基本是辑结构是“所有（有的）S是（不是）P”。 这样，性质判断，又可按“质”和“量”分成以下几种： ①全称肯定判断，能常用“A”表示。 “SAP”即“所有S都是P”。 ②全称否定判断，用“E”表示。 “SEP”即“所有S都不是P”。 ③特称肯定判断，用“1”表示
学生进行严格的科学训练，这种训练必须和传授知识有机地、和谐地结合起来。 而数学命题是教学正是一个很好的结构点。 由此可得出结论：有效的教学命题教学，将有助于学生牢固的掌握数学知识 结构，有助于解决问题能力的提高，有助于数学思维的发展。 一、数学命题(mathematical proposition)的意义和结构 1、数学命题的意义 （1）判断：对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 逻辑上的判断，只注重形式，不管判断的内容。 判断可按不同的标准进行分类： : , , . : , : , ( ) ; 关系 定言 选言 假言 质 肯定 否定 量 全称 特称 单称 判断 假言判断 选言判断 联言判断 负判断 复合判断 关系判断 性质判断 简单判断 判断 Existential All − − " " " " 例 性质判断的组成： —判断的主项（主词 S），即表示判断对象的概念。用“S”表示。 —判断的谓项（宾词 P），即表示判断对象的性质（属性）的概念。用“P” 表示。 —判断的联项（系词）。常用“是”或“不是”表示。 例 “菱形（S）是平行四边形（P）” 性质判断的基本是辑结构是“所有（有的）S 是（不是）P”。 这样，性质判断，又可按“质”和“量”分成以下几种： ①全称肯定判断，能常用“A”表示。 “SAP”即“所有 S 都是 P”。 ②全称否定判断，用“E”表示。 “SEP”即“所有 S 都不是 P”。 ③特称肯定判断，用“I”表示
“SIP”即“有S是P” ④特称否定判断，用“O”表示。 “SOP”即“有S不是p”。 (2)数学判断：(Mathematical Judgement 关于数学对象及其属性的判断。 数学判断，既研究判断的形式，也研究判断的内容，把判断的内容与形式统 一起来。如：应用题中不合题意者舍去。 常用的数学判断（假言判断）：“若p,则q”。 (3)命题（数理逻辑名词）： 命题是一个具有真假语句意义的陈述语句.（或称可判断直假）。命题的真假， 由其内容来判定。用p、q、等来代表任意的语句。 p、q、r等称语句变元。 “1”代表一个真语句取的值，“0”代表一个假语句取的值。 “1”、“0”都称语句常项。 例：“2是偶数”一真命题：“1是偶数”一假命题。 显然，一个语句或式子不一定是命题。例如： “3加4等于多少？” “圆具有什么性质？” “方程x+68”,“x是偶数”。（含有一个变数x,可真可假）。 在数理逻辑中，可真可假的句子叫做开句或命题函项，而不叫命题。 当命题函项赋值时，即成为命题。 (4)中学数学命题(Mathematical Proposition) 数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合称数学命题，中学数学中研 究的数学命题主要指：有关公理，定理，公式或数学题中的判断。 ·数学上，把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题，称为公理 (一般要求：满足“三性”一无矛盾性、独立性、完备性) ·在数学中，根据已知概念和真命题，运用正确逻辑推理方法已经证明其真 实性的命题，叫做定理 何谓“定理((theorem)”:在数学科学体系中，根据已知概念和真命题，运用
“SIP”即“有 S 是 P”。 ④特称否定判断，用“O”表示。 “SOP”即“有 S 不是 P”。 （2）数学判断：（Mathematical Judgement） 关于数学对象及其属性的判断。 数学判断，既研究判断的形式，也研究判断的内容，把判断的内容与形式统 一起来。如：应用题中不合题意者舍去。 常用的数学判断（假言判断）：“若 p，则 q”。 （3）命题（数理逻辑名词）： 命题是一个具有真假语句意义的陈述语句。（或称可判断直假）。命题的真假， 由其内容来判定。用 p、q、r 等来代表任意的语句。 p、q、r 等称语句变元。 “1”代表一个真语句取的值，“0”代表一个假语句取的值。 “1”、“0”都称语句常项。 例： “2 是偶数”—真命题；“1 是偶数”—假命题。 显然，一个语句或式子不一定是命题。例如： “3 加 4 等于多少？” “圆具有什么性质？” “方程 x+6=8”，“x 是偶数”。（含有一个变数 x，可真可假）。 在数理逻辑中，可真可假的句子叫做开句或命题函项，而不叫命题。 当命题函项赋值时，即成为命题。 （4）中学数学命题（Mathematical Proposition） 数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合称数学命题，中学数学中研 究的数学命题主要指：有关公理，定理，公式或数学题中的判断。 ·数学上，把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题，称为公理。 （一般要求：满足“三性”—无矛盾性、独立性、完备性） ·在数学中，根据已知概念和真命题，运用正确逻辑推理方法已经证明其真 实性的命题，叫做定理。 何谓“定理(theorem)”：在数学科学体系中，根据已知概念和真命题，运用
正确逻辑推理方法来证明其真实性的命题，叫做定理。 “系或推论”：很容易由某个定理导出的定理，称系或推论。 “公理(axiom)”:按上述定义，证明命题要有已知真命题作为根据，而所根 据的已知真命题的证明，又要根据另一些已知真命题，这样，在真命题序列中 必有某些真命题是不能从别的真命题推出的，这样的真命题，叫该科学系统中的 “公理”。 2.命题的结构 (1)命题中的变项与常项 “变项”：把命题中没有固定含义的一个代词或者未完全确定的对象，叫做 变项。 “常项”：具有固定含义的词或概念，叫做常项。 例如：命题“若p,则q”。 p、q一变项，“若”，“则”一常项。 (2)简单命题与复合命题 [命题合取式（联言命题） 常见复合命题模式命题析取式（选言命题） 命题涵式（段言命题） 命题否定式 、入、→、的结合力依次减弱。 (3)基本逻辑联词与命题演算规则（曹本P208) °.否定（非）p读作“非P” 2°.合取（与） pAq 3°.析取（或） Note:“或”有两种不同的意义。 ①不可兼“或”，用pg表示，如： “今天下午阴雨或晴天”，“我爬山或游泳”：“△ABC或是锐角△，或是R △，或是钝角△”一一排除选言支同时存在的可能。 ②可兼“或”：用pvg表示，如： “我弹琴或我唱歌”，“a大于或等于b”,“x=0或y=0
正确逻辑推理方法来证明其真实性的命题，叫做定理。 “系或推论”：很容易由某个定理导出的定理，称系或推论。 “公理(axiom)”：按上述定义，证明命题要有已知真命题作为根据，而所根 据的已知真命题的证明，又要根据另一些已知真命题，这样，在真命题序列中， 必有某些真命题是不能从别的真命题推出的，这样的真命题，叫该科学系统中的 “公理”。 2．命题的结构 （1）命题中的变项与常项 “变项”：把命题中没有固定含义的一个代词或者未完全确定的对象，叫做 变项。 “常项”：具有固定含义的词或概念，叫做常项。 例如：命题“若 p，则 q”。 p、q—变项，“若”，“则”—常项。 （2）简单命题与复合命题 命题否定式 命题涵式 段言命题 命题析取式 选言命题 命题合取式 联言命题 常见复合命题模式 （ ） （ ） （ ） 、、、→、的结合力依次减弱。 （3）基本逻辑联词与命题演算规则（曹本 P.208） 1 ．否定（非） p 读作“非 P” 2 ．合取（与） pq 3 ．析取（或） p q Note: “或”有两种不同的意义。 ①不可兼“或”，用 pq 表示，如： “今天下午阴雨或晴天”，“我爬山或游泳”；“△ABC 或是锐角△，或是 Rt △，或是钝角△”——排除选言支同时存在的可能。 ②可兼“或”：用 q 表示，如： “我弹琴或我唱歌”，“a 大于或等于 b”,“x=0 或 y=0
不可兼或真值表： 对照 可兼或真值表： q pvg p q 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 PVg为真(1)包括三种情况，其中之一就是“p真且q真”不可漏掉，即 不排除(=0且)=0即)=0的可能)。 数学上，一般讨论的析取是可兼或析取。 4°.蕴涵p→q=pvg(条件假言命题)=pAg 5.当且仅当pq(等价) (4)数学命题的表达形式 数学命题大多为蕴涵式，它用来表达某对象在一定的条件下所具有的属性， 其一般形式可表示为： 关于M,若p,则q(即关于Mp→q) 其中，作为题设的p,是蕴涵式的“前件”，作为题设的q,是蕴涵式的“后件” 不论前件和后件都是关于某对象(M)的，M又称为命题涉及的主体对象 在中学数学教材中解释为：在一定范围内，同一素材。命题的对象(M)在命题 的变换（如作逆、否、逆否命题等）中具有不变性。 例如在△ABC中，若∠A=∠B,则BC=AC: 实数a、b,若a2+b2-0,由a-0且b0: 平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它也 和这条斜线垂直。 但，也有不少数学命题的对象不是以明显的形式给出 例若x∈0，]，则y=snx是单调上升。 M-一函数“y=snx”。 例对顶角相等
不可兼或真值表： 对照 可兼或真值表： p q pq p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 p q 为真（1）包括三种情况，其中之一就是“p 真且 q 真”不可漏掉，即 不排除（x=0 且 y=0 即 x=y=0 的可能）。 数学上，一般讨论的析取是可兼或析取。 4 ．蕴涵 p→q≡ p q （条件假言命题）≡ p q 5 ．当且仅当 p q （等价） （4）数学命题的表达形式 数学命题大多为蕴涵式，它用来表达某对象在一定的条件下所具有的属性。 其一般形式可表示为： 关于 M，若 p，则 q （即关于 M：p → q ） 其中，作为题设的 p，是蕴涵式的“前件”，作为题设的 q，是蕴涵式的“后件” 不论前件和后件都是关于某对象（M）的，M 又称为命题涉及的主体对象。 在中学数学教材中解释为：在一定范围内，同一素材。命题的对象（M）在命题 的变换（如作逆、否、逆否命题等）中具有不变性。 例如 在△ABC 中，若∠A=∠B，则 BC=AC； 实数 a、b，若 a 2+b2=0，由 a=0 且 b=0； 平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它也 和这条斜线垂直。 但，也有不少数学命题的对象不是以明显的形式给出。 例 若 ] 2 [0, x ，则 y = sin x 是单调上升。 M—— 函数“ y = sin x ”。 例 对顶角相等
M一一一对“角”。 对于非明显给出对象的命题，要注意其对象的确定性。 ·逻辑联词及命题演算规则 Note: (1)等价式或逻辑等价是不一样的 ·等价式，是从已知p、q构成一个新语句：pq,读作p当且仅当q 等价式的构成，是要排除它们之中的一个是真的另一个是假的可能值。因此， 说“p一q”就是指若p、q都是真的或都是假的，则这个等价式(p一q) 是真的，否则是假的，其真值表： 0 0 ·逻辑等价，是两个语句间的关系p三q,它本身不是语句。如： p→g=PVq=PAg它们是逻辑等价（其真值表完全相同）。 如果A、B逻辑等价，则记作A=B。 (2)蕴涵式(p→q),也叫充分条件假言命题与逻辑蕴涵也不是一回事 (3)逻辑联词一、八、V、→、←一的结合力依次减弱。 例如：(pvq)→r可以写作pvq→r (4)恒真命题与恒假命题（特别地，语句常项“1”可看作一个恒真命题， 语句常项“0”可看作一个恒假命题) 若A≡B(逻辑等价-同真同假)，则命题AB≡1。 (5)命题演算中常用的等价式(12个) (6)如何合并命题(P.211) (7)逆否命题的制作举例(P212) (8)同一性命题((ityropsin)与分断式命题(6 emtn)) (9)关于逆命题、偏逆命题的真假（十三院校P,137)(真假需证明） 二、数学命题的四种形式
M—— 一对“角”。 对于非明显给出对象的命题，要注意其对象的确定性。 • 逻辑联词及命题演算规则 Note： （1）等价式或逻辑等价是不一样的 • 等价式，是从已知 p、q 构成一个新语句：p q，读作 p 当且仅当 q。 等价式的构成，是要排除它们之中的一个是真的另一个是假的可能值。因此， 说“p q”就是指若 p、q 都是真的或都是假的，则这个等价式（p q） 是真的，否则是假的，其真值表： p q p q 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 • 逻辑等价，是两个语句间的关系 p≡q，它本身不是语句。如： p → q p q = p q 它们是逻辑等价（其真值表完全相同）。 如果 A、B 逻辑等价，则记作 A≡B。 （2）蕴涵式（p→q），也叫充分条件假言命题与逻辑蕴涵也不是一回事。 （3）逻辑联词﹃、∧、∨、→、 的结合力依次减弱。 例如： (p q) → r可以写作p q → r （4）恒真命题与恒假命题（特别地，语句常项“1”可看作一个恒真命题， 语句常项“0” 可看作一个恒假命题） 若 A≡B（逻辑等价-同真同假），则命题 AB≡1。 （5）命题演算中常用的等价式（12 个） （6）如何合并命题（P. 211） （7）逆否命题的制作举例（P. 212） （8）同一性命题(identity proposition)与分断式命题(segmented proposition) （9）关于逆命题、偏逆命题的真假（十三院校 P. 137）（真假需证明） 二、数学命题的四种形式
1、四种命题的形式及其关系 2、四种命题研究的重要意义 3、数学命题中的充分、必要、充要条件(sufficient condition and necessary condition) (1)定义 (2)正确理解“三种条件间的关系” (3)三种条件在数学证明中的指导作用 4、数学命题的制作 (1)制作否命题的常见错误 (2)逆命题制作及其个数的各种不同看法 (3)互为逆否命题的等效性及其作用 [对引例二的讨论！射影定理有无逆定理？ 5、基本逻辑联词在教学中的应用散学笔记（三）p.8刀 6、命题演算规则 三、数学定理、公式的教学要求和教法探讨 1、基本要求： (1)应使学生认识命题的条件和结论： (2)掌握命题证明方法及如何用来推理和解决问题 (3)掌握定理或公式间的关系或推广，把知识加深巩固系统化。 2、教法探讨： (1)如何使学生认识定理公式的条件和结论一一明确命题。 (2)如何使学生掌握定理、公式的证明方法一一思路和方法。 一命题教学的节骨眼，也是一个难点。其中心环节：思路策略、分析要点等。 教学上，一般以分析法探索证题途径（口头的），而后用综合法简练地表达 出来（书面的），长此训练，让学生养成“执果索因”的研究习惯。 例“对数计算公式”的证明方法分析： 中心思路：对数形式→指数形式。 log a(M.N)=log aM+lg aN(a>0,a≠1，M、N>0)。 [指数形式证明]（分析法）：
1、四种命题的形式及其关系 2、四种命题研究的重要意义 3、数学命题中的充分、必要、充要条件(sufficient condition and necessary condition) （1）定义 （2）正确理解“三种条件间的关系” （3）三种条件在数学证明中的指导作用 4、数学命题的制作 （1）制作否命题的常见错误 （2）逆命题制作及其个数的各种不同看法 （3）互为逆否命题的等效性及其作用 [对引例二的讨论] 射影定理有无逆定理？ 5、基本逻辑联词在教学中的应用 [教学笔记（三）p. 87] 6、命题演算规则 三、数学定理、公式的教学要求和教法探讨 1、基本要求： （1）应使学生认识命题的条件和结论； （2）掌握命题证明方法及如何用来推理和解决问题； （3）掌握定理或公式间的关系或推广，把知识加深巩固系统化。 2、教法探讨： （1）如何使学生认识定理公式的条件和结论——明确命题。 （2）如何使学生掌握定理、公式的证明方法——思路和方法。 ——命题教学的节骨眼，也是一个难点。其中心环节：思路策略、分析要点等。 教学上，一般以分析法探索证题途径（口头的），而后用综合法简练地表达 出来（书面的），长此训练，让学生养成“执果索因”的研究习惯。 例 “对数计算公式”的证明方法分析： 中心思路 : 对数形式⎯转化⎯→指数形式。 log a(M N) = log aM + log aN (a 0, a 1, M、N 0)。 [指数形式证明]（分析法）：
尝试把求证公式写成指数式：qlogaN+logaN-=M·N 再化简为：logaN·doga=M·N 由alogaM=M,a logaN=-N 便发现了分析法证法。（曹本P293) [参数形式证明]（综合法）： 设1 logaM=x,logaN=y,则M=,N=a →M·N=ar·d=y .'loga(MN)=x+y=logaM+logaN 有了这两个证明的基础，后几个定理： oalogat ay,b aNoa gaM=是ogaM,也不难证明。 (3)如何使学生掌握和使用定理、公式 一一命题的应用 一一理论上的和实际应用 例讲完“勾股定理”后→在Rt△中应用→在三角中计算三角函数值→解 析几何中求两点间距离公式→实地测量应用等。 (4)如何使学生认识定理、公式的关系使之成为系统知识一一知识结构（梳 理知识链)。 研究性论题的讨论： [议题一]条件甲：两条不同的直线h和h的斜率k1=2 条件乙：h∥h:那么甲是乙成立的()。 [议题二]条件M:两条不同的直线h∥h: 条件N:直线h与2的斜率k1=:问M是N成立的() A、充分但非必要条件 B、充要条件 C、必要但非充分条件 D、既非充分也非必要条件
尝试把求证公式写成指数式：a logaM+logaN=M·N 再化简为：a logaN·a logaN= M·N 由 a logaM=M ，a logaN=N 便发现了分析法证法。（曹本 P. 293） [参数形式证明]（综合法）： 设 logaM = x，logaN = y ,则 M = a x，N = a y M·N = a x·a y = a x+y ∴loga(MN) = x + y = logaM + logaN . 有了这两个证明的基础，后几个定理： aM， 。 N a M aM aN aM N aM N M a N N 也不难证明 ， log 1 log log ( ) log log log log = = − = （3）如何使学生掌握和使用定理、公式 ——命题的应用 ——理论上的和实际应用 例 讲完“勾股定理”后→在 Rt△中应用→在三角中计算三角函数值→解 析几何中求两点间距离公式→实地测量应用等。 （4）如何使学生认识定理、公式的关系使之成为系统知识——知识结构（梳 理知识链）。 研究性论题的讨论： [议题一] 条件甲：两条不同的直线 l1 和 l2 的斜率 k1= k2 ； 条件乙：l1 // l2；那么甲是乙成立的（ ）。 [议题二] 条件 M：两条不同的直线 l1 // l2； 条件 N：直线 l1 与 l2 的斜率 k1=k2；问 M 是 N 成立的（ ） A、充分但非必要条件 B、充要条件 C、必要但非充分条件 D、既非充分也非必要条件