弗赖登塔尔数学教育理论与思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威 学者。在他担任国际数学教育委员会(1CM1)主席期间，召开了第一届国际数学 教育大会(ICME一l),并创办了《Educa一tional Studies in Mathematics》杂 志，现任ICMI主席（巴黎十一大学校长）加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学 教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” 作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转 向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。弗赖登塔尔的数学教育理论 与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切， 可以说已经摆脱了“教育学”，（或“心理学”）加数学例子这种“传统的”数 学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献， 也正是我们特别需要借鉴之处。 第一节关于现代数学特性的论述 数学教育的研究不能离开它的对象一数学的特有规律，进入20世纪 以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数 学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久 传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代 实数理论的诞生和约当（了ordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法， 那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于 这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面： 1.数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数 学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一 个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新 词汇，最终汇成一个新潮流一形式化，这是组织现代数学的重要方法之一， 也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着， 新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继 续活动。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入傲分、积分以及 无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要 对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了 极限的概念，才有了一形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外 衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算程 进行形式化改造的结果。 再如表示一个函数的符号，为什么应该记作f,而不宜写作f(x)、这个 道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容 易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它 们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确 化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性
弗赖登塔尔数学教育理论与思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威 学者。在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学 教育大会(ICME—1)，并创办了《Educa—tional Studies in Mathematics》杂 志，现任 ICMI 主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学 教育，本世纪的上半叶 Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶 Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献。” 作为一位数学家，弗赖登塔尔 30 年代就享有盛誉，从 50 年代起就逐渐转 向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。弗赖登塔尔的数学教育理论 与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切， 可以说已经摆脱了“教育学”，(或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数 学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献， 也正是我们特别需要借鉴之处。 第一节 关于现代数学特性的论述 数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入 20 世纪 以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数 学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久 传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代 实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法， 那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于 这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面： 1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数 学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一 个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新 词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一， 也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着， 新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继 续活动。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及 无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要， 对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了 极限的概念，才有了 —形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外 衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算程 进行形式化改造的结果。 再如表示一个函数的符号，为什么应该记作 f，而不宜写作 f(x)、这个 道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容 易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它 们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确 化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性
这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的 也不容许矛盾。换句话说 ,数些需要有白口特完的再 严密 精确 完整而且相容。 随着数学抽象程度的 语言表 达的严 性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语 言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程 度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言 根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育， 当处不可可能要 求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿， 以形式化的现代数学内容 充塞于 各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心 理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础， 可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达 的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化， 并日云用普不同水平的搬受基言 干是如何根据学生的情况 培养他们从现实 背景中，概括出各种数学的观念 与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言， 有 意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程， 就必须贯穿在数学教育的始终。 2.数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向 公阻系练的抽兔化重认含形式的定义 ,从而在现代科学方法论的道路 迈开了决定性的 要是把康用 的集合论的创造，作为现代数 学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延 来描述 个概念，脚拉 述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念 :随者现代 数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法， 在不少情况下难以达到预定的目的：在更多的内容中， 人们借助于具有这些特 性的所有对象， 从各种特殊情况中 描述它们的 比性 阐述它们所必须满足的 共有关系， 解释它们所受的相关的约束、限制条件等等， 从而抽象出 个更 泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念：它的实质就是 以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延 相知 已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义， 跳出了亚里士 多的形式罗的理诊 从而使现代数学跨上 了更高水平的形式体系， 护加以 布尔巴基为代表的学说， 认为整个数学 只是对 “结构 的研 从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上 个等价关系：那就是 的充分而又必要条件是ad=bc(这里a、b、c、d均为整数，bd≠0)，于是有理 数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的 概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式， 通常是规定在某个集合 中 定义 使之 合结合律 开且仔在 单位元和 于是这个 合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群， 非琴有理 数集是个乘法群；同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为 在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地 阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中， ▣纪 充分体现了 这种方式， 直线、 平面乳 虽然去掉了像欧几里德所 作的 “点是没有部分的” 这类模糊的描述，但也并未给出任 可清晰的阐述，却 只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质： 在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就
这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的 数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语 言，严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密 性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语 言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程 度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言。 根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要 求一下子飞跃到 20 世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于 各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心 理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础， 可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达 的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化， 并且运用着不同水平的数学语言。于是如何根据学生的情况，培养他们从现实 背景中，概括出各种数学的观念与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言，有 意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程， 就必须贯穿在数学教育的始终。 2．数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向 实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路 上，迈开了决定性的一步。要是把康脱(Cantor)的集合论的创造，作为现代数 学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念，即描 述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念；随着现代 数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法， 在不少情况下难以达到预定的目的；在更多的内容中，人们借助于具有这些特 性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的 共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广 泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念；它的实质就是 以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延”，但却 已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义，跳出了亚里土 多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形式体系，就如以 布尔巴基为代表的学说，认为整个数学也只是对“结构”的研究。 从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上一个等价关系：那就是～ 的充分而又必要条件是 ad＝bc(这里 a、b、c、d 均为整数，bd≠0)，于是有理 数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的 概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式，通常是规定在某个集合 中，定义了一个运算，使之符合结合律，并且存在单位元和逆元，于是这个集 合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群，非零有理 数集是个乘法群；同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为 在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地 阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中，已经 充分体现了这种方式，点、直线、平面究竞是什么，虽然去掉了像欧几里德所 作的“点是没有部分的”这类模糊的描述，但也并未给出任何清晰的阐述，却 只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质， 在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就
像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地与形状，注重的恰恰只是 棋子所必须服从的活动规则。 弗赖登塔尔之所以强调这 一特性 正在干他抓住了而代斯受的发显在主 法论上所起的突变。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是 在教学过程中，让学生自己亲身实践，而抓住其发展规律，学会抽象化、形式 化的方法。就我国的数学教育而言，近年来已开始注意一些现代“结构” “公 理化”思想方法的渗透，但如何抓住其精萃，真正的“渗透” ,并日又不至太 脱离了具体的现实世界，超趣了当前教育的实践基础要使我们的数学教育脚 踏实地地赶上世界潮流，而不仅是囫囵枣 地咽下 些新名词，何况 数学 理 ”、数学“结构”，毕竟还需要人们所赖以生存的现实物质世界作为基础， 如果忘记了这个背景，再高深、再严密的抽象概念，也难以让人们掌握与领会 3.传统的数学领域之间界限的月趋消失， 一贯奉为严密性的典范的几 何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学 领域之间起着联络的作用 加康德（： nt)所说 没有概念的直观是无用的 没有直观的概念是盲目的。当年欧几里德的《几何原本》曾被奉若神明，可是 今天，在布尔巴基学派的结构主义数学中，几何却占据了很少的篇幅， 学校数 学教育中，几何的地位也已岌岌可危，可实际情况又是怎么样呢？ 现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系，几何的术语如 “空间 等几乎渗 ”的久 函数理论的发展，基础在于复数表示为平面的点；代数方程知 1的意义之阐 明，与复数平面中正边形的作法密切相关：集合论的研究更充分显现出几何 直观的数轴、点集、映射、.等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在 几何面积概念的基础上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开始于最基本 的形状 多面休的直研 大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解 决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的维空间甚至无限维空间的直观形象 或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。且看爱因斯坦 的一段精辟论述：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理如果 必然就不洗及即过 ，公理化的进展就反映在逻辑形式与现实直观内容 的截然分开 而几何恰恰是在其间： 着启示 联络 理解 甚至提供方法 的作用，在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠中，几何 直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们什么是重要的、有趣的和可 以理解的。 从现代数学反映出的这一特性，给我们根出了两个方面的问颗。多少年 来数学课程的设置常在“分久必合 合久必分”的一对“分”“合”矛盾之间 周旋，算术、代数、几何、三角、微积分、 .这 一系列的学科，反映了数学先 展史中各个不同阶段：不同侧面的情况，它们自有其各自的特点与规律；再结 合学生的认识发展规律与认知过程，更需根据教学的规律来作出课程的设计， 在不同时期侧重于不同方面是完全应该的：但总的目标是显然的，即使分也不 总还应该将数学视作为 个工具以解决问题时，就必须 于综 应用代数、儿何、 等 冬种) 法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂， 生搬硬套。 另一个问题则是对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，这同样
像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地与形状，注重的恰恰只是 棋子所必须服从的活动规则。 弗赖登塔尔之所以强调这一特性，正在于他抓住了现代数学的发展在方 法论上所起的突变。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是 在教学过程中，让学生自己亲身实践，而抓住其发展规律，学会抽象化、形式 化的方法。就我国的数学教育而言，近年来已开始注意一些现代“结构”、“公 理化”思想方法的渗透，但如何抓住其精萃，真正的“渗透”，并且又不至太 脱离了具体的现实世界，超越了当前教育的实践基础；要使我们的数学教育脚 踏实地地赶上世界潮流，而不仅是囫囵枣地咽下一些新名词，何况这些数学“公 理”、数学“结构”，毕竟还需要人们所赖以生存的现实物质世界作为基础， 如果忘记了这个背景，再高深、再严密的抽象概念，也难以让人们掌握与领会。 3．传统的数学领域之间界限的月趋消失，一贯奉为严密性的典范的几 何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学 领域之间起着联络的作用；正如康德(Kant)所说：没有概念的直观是无用的， 没有直观的概念是盲目的。当年欧几里德的《几何原本》曾被奉若神明，可是 今天，在布尔巴基学派的结构主义数学中，几何却占据了很少的篇幅，学校数 学教育中，几何的地位也已岌岌可危，可实际情况又是怎么样呢? 现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系，几何的术语如 “空间”、“维”、“邻域”、“映射”、.等几乎渗入了数学的各个领域．复 函数理论的发展，基础在于复数表示为平面的点；代数方程 xn＝1 的意义之阐 明，与复数平面中正 n 边形的作法密切相关；集合论的研究更充分显现出几何 直观的数轴、点集、映射、.等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在 几何面积概念的基础上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开始于最基本 的形状——多面体的直观研究。 大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解 决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的 n 维空间甚至无限维空间的直观形象， 或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。且看爱因斯坦 的一段精辟论述：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理如果 必然，它就不涉及现实，.，公理化的进展就反映在逻辑形式与现实直观内容 的截然分开，.”而几何恰恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法 的作用，在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠中，几何 直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们什么是重要的、有趣的和可 以理解的。 从现代数学反映出的这一特性，给我们提出了两个方面的问题。多少年 来数学课程的设置常在“分久必合，合久必分”的一对“分”“合”矛盾之间 周旋，算术、代数、几何、三角、微积分、.这一系列的学科，反映了数学发 展史中各个不同阶段；不同侧面的情况，它们自有其各自的特点与规律；再结 合学生的认识发展规律与认知过程，更需根据教学的规律来作出课程的设计， 在不同时期侧重于不同方面是完全应该的；但总的目标是显然的，即使分也不 能一分到底，完全分家，总还应该将数学视作为一个整体；当学生运用数学这 个工具以解决问题时，就必须善于综合地应用代数、几何、三角、.等各种方 法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂， 生搬硬套。 另一个问题则是对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，这同样
是多年来争论不休，各不相让的问题，叫了多少年的“欧几里德滚出去”的口 号，可是仍有不少人认为，任何数学问题。最终坏是需要辣立在几何的基础上 这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它 一定的道理。当然几何究竟应 该处于怎料 台当的地位 它在数学体系的 学中 可以起什么样的作用， 到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开 花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。 4。相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视橱 念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志 合论、抽象代数和分花 拓扑 是概念， 思辨的喷发 它冲破了传统数学的 僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的 道略。算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新 与旧，高与低：概念数学果然体现了机成操作运算的突破，提高了理论的深度： 而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念 深度，同时也为了有个广阔的平 ,可以跳导更高 个典型的例子，相同数量的 杯白酒与一杯红酒， 匙白酒倒) 酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的 红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？通常的解法是：假设两酒杯容量 均为a,一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为ab,第二次 动作后， 不心人合在计算过程中浅、碰壁。 在解此题时，很少人会作这 样的推理： 两个杯子最终还是含有相同数量的酒， 如果想象每 子中白酒 红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺 现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与 红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种 解法就是思辨的。 在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力 韦达(Vieta)的代 数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果， 近年才 的同调论以及同态图解法也是惊人的例子，算法数学确实有其迷人之处，通过 算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了 沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎楷，必须跳出这个圈子，才能 在数学的视野范围上有所拓广、有所深入，墨守成规地机械操作，必须随之以 概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。集合论的诞生，公理系 统的建立，布尔巴基学派的出现，又证明了这一点。 如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教 育，也是经常使人感到困惑的问题之一。其实这个问题，就是知识与技能的关 系，是品调念，品理解坏是若重坛算， 着重操作？有人认为理解是基础， 有人又主张熟能生 在我国的中小学数学教育中， 似乎也不乏这方面的颇具 说服力的例子，算术中的九九表，分数的运算；国外对于计算器使用的教育等 看来也必须用辩证的方法来处理这一辩证的关系，应该使我们的数学教育，能 在算法的数学与思辨的数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的 还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。 第二节 关于数学教育目的的探讨 学习数学究竟是为了什么？进行数学教育，最终要达到什么效果？弗赖登塔 尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育
是多年来争论不休，各不相让的问题，叫了多少年的“欧几里德滚出去”的口 号，可是仍有不少人认为，任何数学问题。最终还是需要建立在几何的基础上， 这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它一定的道理。当然几何究竟应 该处于怎样一个恰当的地位，它在数学体系的教学中，可以起什么样的作用， 到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开 花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。 4．相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概 念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志——集 合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发，它冲破了传统数学的 僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的 道路。算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新 与旧，高与低；概念数学果然体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度； 而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念 深度，同时也为了有个广阔的平台为基础，可以跳导更高。 一个典型的例子，相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红 酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的 红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反?通常的解法是：假设两酒杯容量 均为 a，一匙的容量为 b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为 a-b，第二次 动作后，.，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，很少人会作这 样的推理：两个杯子最终还是含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和 红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺 现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与 红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种 解法就是思辨的。 在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力。韦达(Vieta)的代 数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果，近年来 的同调论以及同态图解法也是惊人的例子，算法数学确实有其迷人之处，通过 算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了 沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎梏，必须跳出这个圈子，才能 在数学的视野范围上有所拓广、有所深入，墨守成规地机械操作，必须随之以 概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。集合论的诞生，公理系 统的建立，布尔巴基学派的出现，又证明了这一点。 如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教 育，也是经常使人感到困惑的问题之一。其实这个问题，就是知识与技能的关 系，是强调概念，强调理解，还是着重运算，着重操作?有人认为理解是基础， 有人又主张熟能生巧。在我国的中小学数学教育中，似乎也不乏这方面的颇具 说服力的例子，算术中的九九表，分数的运算；国外对于计算器使用的教育等， 看来也必须用辩证的方法来处理这一辩证的关系，应该使我们的数学教育，能 在算法的数学与思辨的数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的 还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。 第二节 关于数学教育目的的探讨 学习数学究竟是为了什么?进行数学教育，最终要达到什么效果?弗赖登塔 尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育
的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。例 如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基 本的目的？这是否还有教育价值 另一方面，在概率与数理统计取得迅速进展的情况下，我们的数学教育 是否还能闭眼不看这一事实，而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望？那就是 说，数学本身的飞跃发展与变化，自然也影响到数学教育的目的，因为我们毕 竟是要让学生能运用数学来解决社会的实际问题。可是，数学有着如此广泛的 应用， 话的 问题就是学生的情况，因为需要是 会事，可能又是另 会事 这依赖于学生的接受能力，是否能理解某些数学内容，当然这也必须包括教学 过程中所作出的各种努力：就像有些试验声称小学就可以教群论，这恐怕是 种过于夸张的说法，如果仅仅是用几个特殊的群进行一些具体运算，恐伯只是 行家才知道他们在学习群论，对学生来说，这只是 一些右用的学习活动。但书 未理解 的古。 实质 弗赖登塔尔对通常提到的一些数学教育的目的，进行了仔细的分析与探 讨： 1，堂操数学的整个体系 因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪 些概念和技能，难以预料， 于是只能根据数学内在的体系出发 希望通过数学 教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能 够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。 这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大 多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的 个方面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强调数学体系， 以之作 为数学育的最终目的，那不恰当的 特别是如果仅仅以数学体系来决定学 内容的取舍，那必然会违反教学法的规律：甚至引起学生反感。 这种目的的提出， 一般都出自于专家权威，他们更多地倾向于培养数学 家，更多地着眼于数学的严密与完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽 略了社会的要求与学生的实际 2 学会数学的实际应用 应该知道，从过去、现在 直到未来，教数学的教室不可能浮在半空中 而学数学的学生也必然是属于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应 该是数学教育的首要目的，也就是必须学会数学在解决实际问题中的作用、会运 用数学知识于具体现实，而不是一味追求完整的数学体系。 大安都同音】 ,教数学就必须教互相连贯的材料， 而不是孤立的片断，但 这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。 这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使数学僵化，而数学的 最大特点就是灵活性。所以一般说来，还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生 硬的或是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联 系，譬如说通过数学与其他自然科学的生动联系 目前物理、 化学的数学与 学的教学显然是互相割裂、各行其是的，尤其在教师培训工作中，问题更为 重。 了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学成为应用于实际的锐利工具， 而且将会使人们所掌握的知识长期地富有活力，可以断地联系实际、发挥作用
的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。例 如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基 本的目的?这是否还有教育价值? 另一方面，在概率与数理统计取得迅速进展的情况下，我们的数学教育 是否还能闭眼不看这一事实，而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望?那就是 说，数学本身的飞跃发展与变化，自然也影响到数学教育的目的，因为我们毕 竟是要让学生能运用数学来解决社会的实际问题。可是，数学有着如此广泛的 应用，究竟教到哪个范围才是最合适的? 再一个问题就是学生的情况，因为需要是一会事，可能又是另一会事， 这依赖于学生的接受能力，是否能理解某些数学内容，当然这也必须包括教学 过程中所作出的各种努力；就像有些试验声称小学就可以教群论，这恐怕是一 种过于夸张的说法，如果仅仅是用几个特殊的群进行一些具体运算，恐伯只是 行家才知道他们在学习群论，对学生来说，这只是一些有用的学习活动，但并 未理解它的真正实质。 弗赖登塔尔对通常提到的一些数学教育的目的，进行了仔细的分析与探 讨： 1．掌握数学的整个体系 因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪 些概念和技能，难以预料，于是只能根据数学内在的体系出发，希望通过数学 教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能 够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。 这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大 多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一 个方面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强调数学体系，以之作 为数学教育的最终目的，那不恰当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学 内容的取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反感。 这种目的的提出，一般都出自于专家权威，他们更多地倾向于培养数学 家，更多地着眼于数学的严密与完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽 略了社会的要求与学生的实际。 2．学会数学的实际应用 应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的教室不可能浮在半空中， 而学数学的学生也必然是属于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应 该是数学教育的首要目的,也就是必须学会数学在解决实际问题中的作用、会运 用数学知识于具体现实，而不是一味追求完整的数学体系。 大家都同意，教数学就必须教互相连贯的材料，而不是孤立的片断，但 这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然 这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使数学僵化，而数学的 最大特点就是灵活性。所以一般说来,还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生 硬的或是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联 系，譬如说通过数学与其他自然科学的生动联系，目前物理、化学的教学与数 学的教学显然是互相割裂、各行其是的，尤其在教师培训工作中，问题更为严 重。 了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学成为应用于实际的锐利工具， 而且将会使人们所掌握的知识长期地富有活力，可以断地联系实际、发挥作用
而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体 系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。 3。数学作为思维的训练 自古 以来就将数学作为“智力的磨刀石 ,认为对所有的人而言，数学 都是一种不可缺少的思维训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。从 18世纪拿破仑的军事胜利，到20世纪苏联的卫星上天，似乎都证明了这个结论。 严格说来，究竞什么是逻辑思维？是否存在思维的训练？数学又是否是其 中的一种？甚至是最好的 一种？这些都是很难回答的问题。因为无人能证明， 个好的数学家在其他科学领域中 也必然会 很 高的成就 也 知道数学天才是 否是一般天才所必须具备的特征；同样也无法使人相信，数学家的超人智力完 全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西， 又会有什么样的结果。 弗赖登塔尔多次给大学数学、物理系一、二年级的学生以及中学生提出 以下问题： (1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同 个人？ (2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人 (3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同 一个人？ (4④)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子，对任意=1,2,3， 下列断言成立 如果 座房子中有n条腿的桌子 那里就没有多于n条腿的桌 子.问以下命题是否成立？对n=1,2,3“,如果一座房子中有n条腿的桌子， 那里就没有少于n条腿的桌子 (⑤)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否 定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同？ 试验结果的事实证明， 受过数学教育以后， 对上述问题的看法、理解与 回答，都有很大长进，可见，数学教育与逻辑思维还是有着一定的联系。问题 在于，如何找出它们之间的本质联系以及内在规律，这也许需要从心理学、认 识论的角度，对此作更进一步的探讨。 4.数学作为筛选的工具 长久以夹 在各种领域内，都将数学作为一种选择方法 不仅是科学 技术、 医学的学生，要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生，也有 定的数学要求；于是数学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因 为人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与才能，它比其他学 科，甚至比智力测验更可信，更容易使用。 同样的问存在着。每个新部坚信，准的新学学得，那他在其他绿 域中通常也学得好；事实是谁也不知道， 如果他 未学过数学 是否其他领域 就一定学不好。这和前面提到的数学作为思维的训练，遇到了同样的困难。 特别成问题的是，这种筛选工具的作用，进一步又发展成为数学教育的 目的似乎就是为了考试，还不仅是数学，其他科目也处在同样的危险之中，那 就是为了考试而教学。社会本有各种不同的需要， 也有名种不同的层次 们 必须通过形形色色的入场考试，即使社 但社会总是要 的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工， 因此筛选工具是必须的，考 也是必要的，但如果说学生学习只是为了一 个分数，而教师的职责也只是在给 分宽严之间进行一个最佳选择，那就与数学教育的目的相距太远了
而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体 系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。 3．数学作为思维的训练 自古以来就将数学作为“智力的磨刀石”，认为对所有的人而言，数学 都是一种不可缺少的思维训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。从 18 世纪拿破仑的军事胜利，到 20 世纪苏联的卫星上天，似乎都证明了这个结论。 严格说来，究竟什么是逻辑思维?是否存在思维的训练?数学又是否是其 中的一种?甚至是最好的一种?这些都是很难回答的问题。因为无人能证明，一 个好的数学家在其他科学领域中也必然会有很高的成就，也不知道数学天才是 否是一般天才所必须具备的特征；同样也无法使人相信，数学家的超人智力完 全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西， 又会有什么样的结果。 弗赖登塔尔多次给大学数学、物理系一、二年级的学生以及中学生提出 以下问题： (1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同一个人? (2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人? (3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同 一个人? (4)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子，对任意 n＝1，2，3，.， 下列断言成立：如果一座房子中有 n 条腿的桌子，那里就没有多于 n 条腿的桌 子．问以下命题是否成立?对 n＝l，2，3.，如果一座房子中有 n 条腿的桌子， 那里就没有少于 n 条腿的桌子． (5)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否一 定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同? 试验结果的事实证明，受过数学教育以后，对上述问题的看法、理解与 回答，都有很大长进，可见，数学教育与逻辑思维还是有着一定的联系。问题 在于，如何找出它们之间的本质联系以及内在规律，这也许需要从心理学、认 识论的角度，对此作更进一步的探讨。 4．数学作为筛选的工具 长久以来，在各种领域内，都将数学作为一种选择方法，不仅是科学、 技术、医学的学生，要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生，也有一 定的数学要求；于是数学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因 为人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与才能，它比其他学 科，甚至比智力测验更可信，更容易使用。 同样的问题存在着。每个教师都坚信：谁的数学学得好，那他在其他领 域中通常也学得好；事实是谁也不知道，如果他从未学过数学，是否其他领域 就一定学不好。这和前面提到的数学作为思维的训练，遇到了同样的困难。 特别成问题的是，这种筛选工具的作用，进一步又发展成为数学教育的 目的似乎就是为了考试，还不仅是数学，其他科目也处在同样的危险之中，那 就是为了考试而教学。社会本有各种不同的需要，也有各种不同的层次，人们 必须通过形形色色的入场考试，即使社会差异会逐渐消失，但社会总是要对它 的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工，因此筛选工具是必须的，考试 也是必要的，但如果说学生学习只是为了一个分数，而教师的职责也只是在给 分宽严之间进行一个最佳选择，那就与数学教育的目的相距太远了
5。培养解快问题的能力 人们往往时数学给以高麻平价。因为它可以解独许多问题。从口营生证 中常常遇见的数值计算， 油越的魔朵与我 直到高精尖的领域 从计 算机直到火箭发射，都可以发挥与施展数学的魔力，因而使人对数学产生了极 高的信念。数学可以训练语言的表达，以最精确、简洁的语言来描述现象，数 学可以使问题简化，又能将问题推广，使之一般化，这样数学就从多个侧面， 给人们提供了解决各种问题的手段、背景，以至思维的方法，这就为综合地分 析各种因素， 顺利地解决各种实际问题，创造了条件 了能 当然需要考虑数学教育究竟能够培养哪些能力， 人们解决问题所需要的 不仅是单纯的数学知识，也许更重要的是人们的思想方法，分析、综合、推理 否定以及演绎、归纳、类比等等，似乎都与数学有着天然紧密的联系，数学究竞 能否在这些方法上起巨大的影响？另一方面，问题有着多方面背景，包括各种所 谓非智力因素，数学教育能否在这些方面，提供综合的帮助，而使学生确实通过 数学的 色墙在 决 问题的能力这方面获得培 提高 根据以上的探讨，结合我国的实际情况，这几个方面的目的都有它的道 理，也应该作为我国数学教育的目的，只是随着义务制教育的普及，根据各个 不同的年龄阶段，是否可以在各个方面，有不同的侧重点，譬如对义务教育制 来说，应该特别强调实际应用，因为那是全社会公民必备的训练，社会价值需 突出对于高中准备继续升入大学的， 应该加强一些对数学整个体系的要求 在知识的逻辑结构、演绎推理方面适当加强：关于思维训练及解决问题的能) 这两方面，必须作深入探讨，掌握其确切规律，才能做到这些：至于数学作为 筛选工具的这一职能，不应放在过高的地位，为了考试而学数学，那就违背数 学教育的本意了。 第三节 关于数学教学原则的设想 弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性， 特别是数学的 严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、 更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实 一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法 弗赖登塔尔认为，人类历史必然是 前进的 历史，只有突破了、对传 统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是 教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的：因而学校的教学必须由被 动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来 主动获取知识。 这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会 ,让他们充满信心，在 自身活动的过程中，继承传 ,学习科学， 由于社会 不断前进，人们就必须不断学习。因此，教育中更重要的 “个问题，并不是教 的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法， 那是更根本的东西 根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了下列儿个数学教学 的原则 1, “数学现实”原则
5．培养解决问题的能力 人们往往对数学给以高度评价，因为它可以解决许多问题，从日常生活 中常常遇见的数值计算，各种神秘的魔术与游戏，一直到高精尖的领域，从计 算机直到火箭发射，都可以发挥与施展数学的魔力，因而使人对数学产生了极 高的信念。数学可以训练语言的表达，以最精确、简洁的语言来描述现象，数 学可以使问题简化，又能将问题推广，使之一般化，这样数学就从多个侧面， 给人们提供了解决各种问题的手段、背景，以至思维的方法，这就为综合地分 析各种因素，顺利地解决各种实际问题，创造了条件，培养了能力。 当然需要考虑数学教育究竟能够培养哪些能力，人们解决问题所需要的 不仅是单纯的数学知识，也许更重要的是人们的思想方法，分析、综合、推理、 否定以及演绎、归纳、类比等等，似乎都与数学有着天然紧密的联系,数学究竟 能否在这些方法上起巨大的影响?另一方面,问题有着多方面背景,包括各种所 谓非智力因素,数学教育能否在这些方面,提供综合的帮助,而使学生确实通过 数学的学习,能够在解决问题的能力这方面获得培养与提高。 根据以上的探讨，结合我国的实际情况，这几个方面的目的都有它的道 理，也应该作为我国数学教育的目的，只是随着义务制教育的普及，根据各个 不同的年龄阶段，是否可以在各个方面，有不同的侧重点，譬如对义务教育制 来说，应该特别强调实际应用，因为那是全社会公民必备的训练，社会价值需 突出；对于高中准备继续升入大学的，应该加强一些对数学整个体系的要求， 在知识的逻辑结构、演绎推理方面适当加强；关于思维训练及解决问题的能力 这两方面，必须作深入探讨，掌握其确切规律，才能做到这些；至于数学作为 筛选工具的这一职能，不应放在过高的地位，为了考试而学数学，那就违背数 学教育的本意了。 第三节 关于数学教学原则的设想 弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的 严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、 更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实 现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法。 弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传 统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是 教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被 动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来 主动获取知识。 这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在 自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在 不断前进，人们就必须不断学习。因此，教育中更重要的一个问题，并不是教 的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法， 那是更根本的东西。 根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了下列几个数学教学 的原则： 1．“数学现实”原则
数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔 尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏， 而是现实世界中人类经验的总结 ,根据数学发展的历史 无论是数学的概念 还是数学的运算与规则，都 是由于现实世界的 实际需要而形成的。 数 载育女如 果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本 之木” 另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领过 的多种形式的外部联系， 不断地充实和丰富着数学的内容与此同时，由于数 学内在的联系，形成了自身独特 的规律 ,进而发展成为严谨的形式逻辑演绎付 系。因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系 充满着各种各样内在 联系与外部关系的整体结构。 弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学 教给所有人。这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对 于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构 以及涉及内在联系的 规律，也许是最为本质、最为完美也是最感 趣的东西 可是对于大多数人而 言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活 并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的。为此，弗赖 登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在 实际中得到应用的数学，即“现实的数学”。如果过于强调了数学的抽象形式 忽视了 动的 内在的逻辑联系，割断了与 外部现实的密 切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。70年代“新数 运动的失欢 就是个明证。 如何理解“现实”？不同的社会需要是否就是“现实”？将“现实”等同 干实际的补会生立活动，这是 一种片面的理解。根据英国的Cockcmft报告，他 们在进行了比较广泛的调查、分析了 些比较实际的资料之后提出， 人们所需 要的数学可以分为三种水平 第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都 要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却 是每个人都必须知道的， 第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要， 从工程技术人员、 农业 技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作 的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求， 当然其中也含有某些共 同部分。 第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包恬范雨很大 差别也很大， 未来的科学家、企业家、 都需要与各个领域相关的 不同分支的 学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及 到千变万化的具体内容。 数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的 不同水平的需求。数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人 培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的 各种数学问， 为此， 弗赖登塔分 个基本 都有自己生活 工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各 种数学概念、它的 算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数 学现实”。从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于
数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔 尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏， 而是现实世界中人类经验的总结。根据数学发展的历史，无论是数学的概念， 还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学教育如 果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本 之木”。 另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域 的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数 学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体 系。因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在 联系与外部关系的整体结构。 弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学 教给所有人。这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对 于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的 规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西。可是对于大多数人而 言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活， 并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的。为此，弗赖 登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在 实际中得到应用的数学，即“现实的数学”。如果过于强调了数学的抽象形式， 忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密 切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。70 年代“新数学”运动的失败 就是个明证。 如何理解“现实”?不同的社会需要是否就是“现实”?将“现实”等同 于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解。根据英国的 Cockcmft 报告，他 们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需 要的数学可以分为三种水平。 第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都 要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却 是每个人都必须知道的。 第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业 技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作 的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共 同部分。 第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大， 差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的 不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及 到千变万化的具体内容。 数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的 不同水平的需求。数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人 培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的 各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、 工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运 算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数 学现实”。从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于
这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都 有白口所接触到的特定的“靴学迎实” 。大多数人的数学现实世界可能只限于 另一些人可能需要熟悉某些简单的函数 至于 个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的 算，子、拓扑学以及纤维丛等等。 数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应 该确定名举学牛在不同阶段必须状到的“数学现实”， 并日相据学生所实际拥 有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富， 予以扩展，从而使学生逐步提 高所具有的 “数学现实”的程度 广充其范围 通过这样的过程 ,数学教育 随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数 学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。 一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加诚 法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具 以及途中出现的各 种情况， 介绍各种类型的图象 示 进一步可分 绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同 规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以 及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其 性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。 由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实， 弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平： 第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变 换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题 起着核心作用。 第一级是根出了其个即面顺。杀组学生能越出与之右关的数学加 以组织，建立结构，从而解决问题。 这里需要运用数学作为工具来组织现实问 题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用。 第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引 进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从 通常的具体客观世界中抽象出来， 综上所状 弗赖登塔尔提氏 )“数学现实”原则 和我们通常所说的理论 联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。 首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体， 并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际” 也不是从具体例子引入， 然后做几个应用题就算完事。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、 数学方 法对客观事物的认识的总体， 其中既含有客观世界的现实情况 句些生 人用自已的数学水平观察这些事物所获得的认识，我们习惯于把课本上的知让 笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当 的。 其次，弗氏认为“每个人都有自已的数学现实”，这十分重要，这也许 我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学 现 ”来进行。学生的“实际 知识有多少？学生的 数学水平 有多高？学 “日常生活常识”有多广？这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将 “课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘。例如，在荷 兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向
这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都 有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实世界可能只限于 数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数 与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含 Hilbert 空间的 算，子、拓扑学以及纤维丛等等。 数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应 该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥 有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提 高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将 随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数 学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。 一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减 法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具 以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介 绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同 规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以 及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其 性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。 由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实， 弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平： 第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变 换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题 起着核心作用。 第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加 以组织，建立结构，从而解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实问 题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用。 第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引 进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从 通常的具体客观世界中抽象出来。 综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论 联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。 首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体， 并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入， 然后做几个应用题就算完事。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方 法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个 人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。我们习惯于把课本上的知识 笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当 的。 其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许 和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学 现实”来进行。学生的“实际”知识有多少?学生的“数学水平”有多高?学生 的“日常生活常识”有多广?这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将 “课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘。例如，在荷 兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向
而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离(s)与时间(t)的关系图表 示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根 据自己上学的情形来画草图，定函数 再次 弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为 体，你中有 我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯 线索，有些地方“联系” 下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的， 不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论'’第一，这当然 和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关。弗氏的“数学现实” 原则，主张把客观现实和知识体系溶 一体， 教学过程应该经历从现实背景中 抽象出数学知识的全过程，着眼于能力。 2。 “数学化”原则 弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化” 与其说是学习公理系统：还不组说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系 还不如说是学习“形式化”这是颜有见地的。 他认为 ,人们运用数学的方法观 察现实世界， 分析研究各种具体现象，并加以整理组织， 这个过程就是数学化 简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。 数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的集 合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，这是数学化。数学家从具体 的置换群与几何变换群抽象出群的 一船概令 ,这也是数学化 数学的整个体系，作为充满着各种各样内在联系与外部关系的整体 构，它并非一个僵硬的、静止的骨架，它是在与现实世界的各个领域的密切联 系过程中发生、形成并发展起来的。就象线性函数起始于自然和社会中的比例 关系，数量积开始于力学，以及导数开始于速度、密度、加速度等，可以这么 说，整个数学体系的形成就是数学化的结果。数学教育应该尊重数学的传统， 要按照历史的本来面目 根据数学的发展规律来进行 当儿童通过模仿学 数时， 当他们把两组具体对象的集合放在 起而写引出加法规律时 这实质上是 历史上现实世界数学化过程的再现，我们当然没有必要也没有可能将数学教育 变成历史发展过程的机械重复，但确实必须也可以从中获得很好的借鉴。事实 证明，只有将数学与它有关的现实世界背景密切联结在一起，也就是说只有通 过“数学化”的途径来进行数学教育 才能使学生真正获得充满着关系的 有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用 前己指出：每个人都有不同的数学现实世界，因此数学化有不同的层次 关于现实世界与数学化的关系以及它的不同水平的特点，荷兰的数学试验教材 以上页框图体现这一总体结构。 首先，现实世界自始至终贯串在数学化之中，我们常把由现实世界直接 形成数学概念的过程称为 概念性的数学化 它往往随着不同的认知水平而 逐渐得到提高：与此同时，对这个概念的形成过程进行反思，作更为抽象与形 式的加工，再将它用来解决现实世界的问题；通过现实世界的调节作用，而使 数学化得到进一步的发展与演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于组织 更高一层的现实世界，并产生新的数学概念。现实世界的数学化就是这样， 过两者交融在一起， 地相互反馈信息 使数学现实世界与数学化继续不 断地发展 与提高，这就是数学科学不断发展的动力，而这也同样应该成为数学 教育发展的动力
而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离(s)与时间(t)的关系图表 示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根 据自己上学的情形来画草图，定函数。 再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有 我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一 线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的， 不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论’’第一，这当然 和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关。弗氏的“数学现实” 原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中 抽象出数学知识的全过程，着眼于能力。 2．“数学化”原则 弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”； 与其说是学习公理系统；还不组说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系。 还不如说是学习“形式化”这是颇有见地的。他认为：人们运用数学的方法观 察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。 简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。 数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的集 合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，这是数学化。数学家从具体 的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念，这也是数学化。 数学的整个体系，作为充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结 构，它并非一个僵硬的、静止的骨架，它是在与现实世界的各个领域的密切联 系过程中发生、形成并发展起来的。就象线性函数起始于自然和社会中的比例 关系，数量积开始于力学，以及导数开始于速度、密度、加速度等，可以这么 说，整个数学体系的形成就是数学化的结果。数学教育应该尊重数学的传统， 要按照历史的本来面目，根据数学的发展规律来进行。当儿童通过模仿学会计 数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上是 历史上现实世界数学化过程的再现，我们当然没有必要也没有可能将数学教育 变成历史发展过程的机械重复，但确实必须也可以从中获得很好的借鉴。事实 证明，只有将数学与它有关的现实世界背景密切联结在一起，也就是说只有通 过“数学化”的途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系的、富 有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。 前已指出：每个人都有不同的数学现实世界，因此数学化有不同的层次， 关于现实世界与数学化的关系以及它的不同水平的特点，荷兰的数学试验教材 以上页框图体现这一总体结构。 首先，现实世界自始至终贯串在数学化之中，我们常把由现实世界直接 形成数学概念的过程称为“概念性的数学化”，它往往随着不同的认知水平而 逐渐得到提高；与此同时，对这个概念的形成过程进行反思，作更为抽象与形 式的加工，再将它用来解决现实世界的问题；通过现实世界的调节作用，而使 数学化得到进一步的发展与演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于组织 更高一层的现实世界，并产生新的数学概念。现实世界的数学化就是这样，通 过两者交融在一起，不断地相互反馈信息，促使数学现实世界与数学化继续不 断地发展与提高，这就是数学科学不断发展的动力，而这也同样应该成为数学 教育发展的动力