《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 第三章函数极限 引言 在《数学分析》中,所讨论的极限基本上分两部分,第一部分是“数列的极限”,第二部分 是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系;数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念:“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限 是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如,数列{a}这种变量即是 研究当n→+o时,{a}的变化趋势. 我们知道,从函数角度看,数列{a,}可视为一种特殊的函数f,其定义域为N,值域是{a}, f:N→R(n→an):或f(n)=an,n∈N或f)=an. 研究数列{a}的极限,即是研究当自变量n→+∞时,函数fm)变化趋势. 此处函数f(m)的自变量n只能取正整数:因此自变量的可能变化趋势只有一种,即n→+o. 但是,如果代之正整数变量而考虑一般的变量为x∈R,那么情况又如何呢?具体地说,此时 自变量x可能的变化趋势是否了仅限于x→+0一种呢? 为此,考虑下列函数: ()=1x0 0,x=0. 类似于数列,可考虑自变量x→+∞时,f(x)的变化趋势:除此而外,也可考虑自变量x→-∞ 时,f(x)的变化趋势:还可考虑自变量x→o时,f(x)的变化趋势:还可考虑自变量x→a时, f(x)的变化趋势,. 由此可见,函数的极限较之数列的极限要复杂得多,其根源在于自变量性质的变化但同时 我们将看到,这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明 方法上都类似于数列的极限. 下面,我们就依次讨论这些极限
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中,所讨论的极限基本上分两部分,第一部分是“数列的极限”,第二部分 是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系;数列极限是函数极限的特例. 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念:“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限 是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如,数列 an 这种变量即是 研究当 n → + 时, an 的变化趋势. 我们知道,从函数角度看,数列 an 可视为一种特殊的函数 f ,其定义域为 N+ ,值域是 an, 即 : ( ) n f N R n a + → → ; 或 ( ) , n f n a n N = + 或 ( ) n f n a = . 研究数列 an 的极限,即是研究当自变量 n → + 时,函数 f n( ) 变化趋势. 此处函数 f n( ) 的自变量 n 只能取正整数!因此自变量的可能变化趋势只有一种,即 n → + . 但是,如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为 x R ,那么情况又如何呢?具体地说,此时 自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于 x → + 一种呢? 为此,考虑下列函数: 1, 0; ( ) 0, 0. x f x x = = 类似于数列,可考虑自变量 x → + 时, f x( ) 的变化趋势;除此而外,也可考虑自变量 x →− 时, f x( ) 的变化趋势;还可考虑自变量 x → 时, f x( ) 的变化趋势;还可考虑自变量 x a → 时, f x( ) 的变化趋势, . 由此可见,函数的极限较之数列的极限要复杂得多,其根源在于自变量性质的变化.但同时 我们将看到,这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明 方法上都类似于数列的极限. 下面,我们就依次讨论这些极限
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 §1函数极限的概念 教学内容:第三章函数极限一一§1函数极限的概念。 教学目标:掌握各种函数极限的分析定义,能够用分析定义证明和计算函数的极限 教学要求:学握当x→xo:x→0:x→+0:x→-0:x→x:x→x5时函数极限的分析 定义,并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限. 教学建议:本节的重点是各种函数极限的分析定义.对多数学生要求主要掌握当x→x,时函数 极限的分析定义,并用函数极限的分析定义求函数的极限。 教学过程: 一、x→+o时函数的极限 (一)引言 设函数定义在[a,+∞)上,类似于数列情形,我们研究当自变量x→+∞时,对应的函数值能 否无限地接近于某个定数A.这种情形能否出现呢?回答是可能出现,但不是对所有的函数都具 此性质 例如f)-x无限增大时,f)无限地接近于0:g)=mg,x无限增大时,f无 限地接近于号:从)=xx无限增大时,了)与任何数都不能无限地接近.正因为如此,所以才 有必要考虑x→+o时,f(x)的变化趋势.我们把象fx),g(x)这样当x→+o时,对应函数值 无限地接近于某个定数A的函数称为“当x→+0时有极限A”, 0. -1日 问题如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当x→+®时函数极限的精确定义如下. (仁)x→+0时函数极限的定义 定义1设∫为定义在[a,+o)上的函数,A为实数.若对任给的s>0,存在正数M(Ca)
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 §1 函数极限的概念 教学内容:第三章 函数极限——§1 函数极限的概念. 教学目标:掌握各种函数极限的分析定义,能够用分析定义证明和计算函数的极限. 教学要求:掌握当 0 x → x ; x → ; x →+ ; x → − ; → + 0 x x ; → − 0 x x 时函数极限的分析 定义,并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限. 教学建议:本节的重点是各种函数极限的分析定义.对多数学生要求主要掌握当 0 x → x 时函数 极限的分析定义,并用函数极限的分析定义求函数的极限. 教学过程: 一、 x → + 时函数的极限 (一) 引言 设函数定义在 [ , ) a + 上,类似于数列情形,我们研究当自变量 x → + 时,对应的函数值能 否无限地接近于某个定数A.这种情形能否出现呢?回答是可能出现,但不是对所有的函数都具 此性质. 例如 1 f x x ( ) , x = 无限增大时, f x( ) 无限地接近于 0; g x arctgx x ( ) , = 无限增大时, f x( ) 无 限地接近于 2 ; h x x x ( ) , = 无限增大时, f x( ) 与任何数都不能无限地接近.正因为如此,所以才 有必要考虑 x → + 时, f x( ) 的变化趋势.我们把象 f x( ) ,g x( ) 这样当 x → + 时,对应函数值 无限地接近于某个定数A的函数称为“当 x → + 时有极限A”. 问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当 x → + 时函数极限的精确定义如下. (二) x → + 时函数极限的定义 定义 1 设 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数,A为实数.若对任给的 0 ,存在正数M ( ) a
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 使得当x>M时有Ifx)-AKe,则称函数∫当x→+o时以A为极限.记作 1imfx)=A或fx)→4x→+0). (三)几点注记 1、义1中作用ε与数列极限中作用相同,衡量f(x)与A的接近程度,正数M的作用与数 列极限定义中N相类似,表明x充分大的程度:但这里所考虑的是比M大的所有实数x, 而不仅仅是正整数n. 2、mf)=A的邻域描述:6,3U+o,当x∈U+o)时,)eU4E). 3、imf()=A的几何意义:对E,就有y=A+e和y=A-e两条直线,形成以A为中 心线,以2E为宽的带形区域。“当x>M时有|fx)-Akε”表示:在直线x=M的右方,曲线 y=f(x)全部落在这个带形区域内. 如果ε给得小一点,即带形区域更窄一点,那么直线x=M一般往右移;但无论带形区域 如何窄,总存在正数M,使得曲线y=f(x)在x=M的右边的全部落在这个更窄的带形区域内. 4、现记f为定义在U(-o)或U(o)上的函数,当x→-o或x→o时,若函数值f(x)能无 限地接近于常数A,则称∫当x→-0或x→o时时以A为极限,分别记作, 1imf(x)=A或fx)→A(x→-o), 1imf(x)=A或f(x)→A(x→o). 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,简写如下: imf(x)=A台e>0,3M>0,当x0,3M>0,当|xbM时,Ifx)-Ake. 5、推论设fx)为定义在U(o)上的函数,则 lim f(x)=4 lim f(x)=lim f(x)=4. (四)利用Iimf(x)=A的定义验证极限等式举例 例1正明-0, 例2证明 1 )limarctx=-子:2)mrc=号
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 使得当 x M 时有 | ( ) | f x A − , 则称函数 f 当 x → + 时以A为极限.记作 lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ) → → + . (三) 几点注记 1、义 1 中作用 与数列极限中 作用相同,衡量 f x( ) 与A的接近程度,正数M的作用与数 列极限定义中N相类似,表明 x 充分大的程度;但这里所考虑的是比M大的所有实数 x , 而不仅仅是正整数 n. 2、 lim ( ) x f x A →+ = 的邻域描述: + , ( ), U 当 x U + ( ) 时, f x U A ( ) ( ; ). 3、 lim ( ) x f x A →+ = 的几何意义:对 ,就有 y A = + 和 y A = − 两条直线,形成以A为中 心线,以 2 为宽的带形区域.“当 x M 时有 | ( ) | f x A − ”表示:在直线 x M= 的右方,曲线 y f x = ( ) 全部落在这个带形区域内. 如果 给得小一点,即带形区域更窄一点,那么直线 x M= 一般往右移;但无论带形区域 如何窄,总存在正数M,使得曲线 y f x = ( ) 在 x M= 的右边的全部落在这个更窄的带形区域内. 4、现记 f 为定义在 U( ) − 或 U ( ) 上的函数,当 x →− 或 x → 时,若函数值 f x( ) 能无 限地接近于常数A,则称 f 当 x →− 或 x → 时时以A为极限,分别记作, lim ( ) x f x A →− = 或 f x A x ( ) ( ) → → − , lim ( ) x f x A → = 或 f x A x ( ) ( ) → → . 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿,简写如下: lim ( ) x f x A →− = 0, 0, M 当 x M − 时, | ( ) | f x A − , lim ( ) x f x A → = 0, 0, M 当 | | x M 时, | ( ) | f x A − . 5、推论 设 f x( ) 为定义在 U ( ) 上的函数,则 lim ( ) x f x A → = lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = . (四) 利用 lim ( ) x f x →+ =A的定义验证极限等式举例 例 1 证明 1 lim 0 x→ x = . 例 2 证明 1) lim x 2 arctgx →− = − ;2) lim x 2 arctgx →+ =
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 二、x→x时函数的极限 (一)引言 上节讨论的函数f当x→+o时的极限,是假定∫为定义在[a,+∞)上的函数,这事实上是 U(+oo),即∫为定义在U(+∞)上,考虑x→+∞时f(x)是否趋于某个定数A. 本节假定∫为定义在点x,的某个空心邻域U(x,)内的函数,现在讨论当x→xx≠x,) 时,对应的函数值能否趋于某个定数A数列, 先看下面几个例子: 例1fx)=1(x≠0).(fx)是定义在U(0)上的函数,当x→0时,fx)→1)。 例20)=-4.()是定义在U2上的函数,当x→2时,f)→4). x-2 例3因-士(是定义在U0上的商数,当→0时,九因). 由上述例子可见,对有些函数,当x→x(x≠x)时,对应的函数值fx)能趋于某个定数 A:但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当x→x(x≠x。)时,∫(x)的变化趋势. 我们称上述的第一类函数fx)为当x→x。时以A为极限,记作Iimf(x)=A. 和数列极限的描述性说法一样,这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给 出这类函数极限的精确定义呢? 作如下分析: “当自变量x越来越接近于x时,函数值f(x)越来越接近于一个定数A”→只要x充分接 近x。,函数值∫x)和A的相差就会相当小→欲使fx)-A相当小,只要x充分接近。就可以 了.即对Vs>0,36>0,当0x-xk6时,都有1f(x)-Ak6.此即1imf)=A. (二)x→xx≠x)时函数极限的E-6定义 定义2设函数f(x)在点x的某个空心邻域U°(x。;6)内有定义,A为定数,若对任给的 6>0,3(0,使得当0x-xK6时有1f(x)-Aks,则称函数∫当x趋于时以A为 极限(或称A为x→x,时f)的极限),记作m)=A或(f)→4x→) (三)函数极限的ε-6定义的几点说明
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 二、 0 x x → 时函数的极限 (一) 引言 上节讨论的函数 f 当 x → + 时的极限,是假定 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数,这事实上是 U( ) + ,即 f 为定义在 U( ) + 上,考虑 x → + 时 f x( ) 是否趋于某个定数A. 本节假定 f 为定义在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 U x 0 内的函数,.现在讨论当 0 0 x x x x → ( ) 时,对应的函数值能否趋于某个定数A数列. 先看下面几个例子: 例 1 f x x ( ) 1( 0) = .( f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数,当 x →0 时, f x( ) 1 → ). 例 2 2 4 ( ) 2 x f x x − = − .( f x( ) 是定义在 0 U (2) 上的函数,当 x →2 时, f x( ) 4 → ). 例 3 1 f x( ) x = .( f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数,当 x →0 时, f x( ) ? → ). 由上述例子可见,对有些函数,当 0 0 x x x x → ( ) 时,对应的函数值 f x( ) 能趋于某个定数 A;但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当 0 0 x x x x → ( ) 时, f x( ) 的变化趋势. 我们称上述的第一类函数 f x( ) 为当 0 x x → 时以A为极限,记作 0 lim ( ) x x f x A → = . 和数列极限的描述性说法一样,这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给 出这类函数极限的精确定义呢? 作如下分析: “当自变量 x 越来越接近于 0 x 时,函数值 f x( ) 越来越接近于一个定数A” → 只要 x 充分接 近 0 x ,函数值 f x( ) 和A的相差就会相当小 → 欲使 | ( ) | f x A − 相当小,只要 x 充分接近 0 x 就可以 了.即对 0, 0 ,当 0 0 | | − x x 时,都有 | ( ) | f x A − .此即 0 lim ( ) x x f x A → = . (二) 0 0 x x x x → ( ) 时函数极限的 − 定义 定义 2 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 0 U x ; 内有定义,A为定数,若对任给的 0, ( ) 0 ,使得当 0 0 | | − x x 时有 | ( ) | f x A − ,则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以A为 极限(或称A为 0 x x → 时 f x( ) 的极限),记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或( 0 f x A x x ( ) ( ) → → . (三) 函数极限的 − 定义的几点说明
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 1、If(x)-Ak6是结论,0x-xK6是条件,即由0x-xk6推出. 2、ε是表示函数f(x)与A的接近程度的.为了说明函数f(x)在x→x。的过程中,能够任 意地接近于A,必须是任意的.这即ε的第一个特性一一任意性,即ε是变量:但&一经给定 之后,暂时就把ε看作是不变的了.以便通过s寻找6,使得当0x-xk6时1∫(x)-Ak8成 立.这即ε的第二特性一一暂时固定性.即在寻找6的过程中ε是常量:另外,若6是任意正数, 则三,E,.均为任意正数,均可扮演6的角色,也即6的第三个特性一一多值性: (If(x)-Aksf(x)-As) 3、δ是表示x与x,的接近程度,它相当于数列极限的6-N定义中的N.它的第一个特性 是相应性.即对给定的£>0,都有一个6与之对应,所以6是依赖于£而适当选取的,为此记之 为6(x:):一般说来,ε越小,6越小.但是,定义中是要求由0x-x,k6推出1f(x)-Ak6 即可,放若石满足此要求,则号等等比6还小的正数均可满足要求,因此6不是唯一的这即 δ的第二个特性一一多值性. 4、在定义中,只要求函数∫在x的某空心邻域内有定义,而一般不要求∫在x处的函数 值是否存在,或者取什么样的值.这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x趋于x,的过程中 函数的变化趋势,与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑∫在点a的函数值是否存在,或 取何值,因而限定“0x-”, 5、定义中的不等式0dx-xk6台x∈U(x,6):Ifx)-AkE台fx)∈U(4s).从而定 义2一e>0,36>0,当x∈U°(x,8)时,都有fx)eU(4)一e>0,38>0,使得 f(U(x.5))U(A:s). 6、6-6定义的几何意义. 创1设0-证期:里-4 例2设f(x)=1(x≠0),讨论x→0时f(x)的极限 例3证明1)imsinx=sin:2)mco=cos
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 1、| ( ) | f x A − 是结论, 0 0 | | − x x 是条件,即由 0 0 | | − x x 推出. 2、 是表示函数 f x( ) 与A的接近程度的.为了说明函数 f x( ) 在 0 x x → 的过程中,能够任 意地接近于A, 必须是任意的.这即 的第一个特性——任意性,即 是变量;但 一经给定 之后,暂时就把 看作是不变的了.以便通过 寻找 ,使得当 0 0 | | − x x 时 | ( ) | f x A − 成 立.这即 的第二特性——暂时固定性.即在寻找 的过程中 是常量;另外,若 是任意正数, 则 2 , , , 2 均 为任 意 正数 ,均 可 扮演 的角色 .也 即 的 第 三个 特性 — —多 值性 ; ( | ( ) | f x A − − | ( ) | f x A ) 3、 是表示 x 与 0 x 的接近程度,它相当于数列极限的 −N 定义中的N.它的第一个特性 是相应性.即对给定的 0 ,都有一个 与之对应,所以 是依赖于 而适当选取的,为此记之 为 0 ( ; ) x ;一般说来, 越小, 越小.但是,定义中是要求由 0 0 | | − x x 推出 | ( ) | f x A − 即可,故若 满足此要求,则 , 2 3 等等比 还小的正数均可满足要求,因此 不是唯一的.这即 的第二个特性——多值性. 4、在定义中,只要求函数 f 在 0 x 的某空心邻域内有定义,而一般不要求 f 在 0 x 处的函数 值是否存在,或者取什么样的值.这是因为,对于函数极限我们所研究的是当 x 趋于 0 x 的过程中 函数的变化趋势,与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑 f 在点 a 的函数值是否存在,或 取何值,因而限定“ 0 0 | | −x x ”. 5、定义中的不等式 0 0 | | − x x 0 0 x U x( , ) ; | ( ) | ( ) ( ; ) f x A f x U A − .从而定 义 2 0, 0 , 当 0 0 x U x ( , ) 时 , 都 有 f x U A ( ) ( ; ) 0, 0 ,使得 ( ) 0 0 f U x U A ( , ) ( ; ) . 6、 − 定义的几何意义. 例 1 设 2 4 ( ) 2 x f x x − = − ,证明: 2 lim ( ) 4 x f x → = . 例 2 设 f x x ( ) 1( 0) = ,讨论 x →0 时 f x( ) 的极限. 例 3 证明 1) 0 0 lim sin sin x x x x → = ;2) 0 0 lim cos cos x x x x → =
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 州4明园品号 例5证明m-F=-了0xk): 例6证明mC=C四x=: 帆7重期只a0 正明注意到d可阿,要想它任意小,女-4可任意小,内知不能任意小,当x→。 卧.它起点.当4经.中-小号等7 1_1s21x-al0,要使N=匠0,VG>0,要传-问<e 注意到 -6洁 只要方4小<e 且0,取=m6c号,则当0<-时,有-同< 即偏G=石 例9验证典-2 器州尝半程清 2 州10f“号
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 6 例 4 证明 2 2 1 1 2 lim x 2 1 3 x → x x − = − − . 例 5 证明 0 2 2 0 lim 1 1 x x x x → − = − 0 (| | 1) x . 例 6 证明 0 0 0 lim , lim x x x x C C x x → → = = . 例 7 证明 ( 0) 1 1 lim = → a x a x a . 证明 注意到 x a x a x a − − = 1 1 ,要想它任意小, x − a 可任意小, x 却不能任意小,当 x →a 时,它必须远离零点.当 2 a x − a 时, 2 a x a − x − a 就远离零点了. 0 , 取 ) 2 , 2 min( 2 a a = ,则当 0 x − a 时, 有 − − 2 1 1 2 | | a x a x a . 例 8 证明 x a x a = → lim . 证明 先设 a = 0 ,要证 lim 0 0 = → + x x , 0 ,要使 x = x , 取 2 = ,则当 0 x 时,有 x = x ,即 lim 0 0 = → + x x . 再设 a 0, 0 , 要使 x − a , 注意到 x a x a a x a x a − + − − = 1 , 只要 x − a a 1 , 且 x 0,取 ) 2 min( , a = a ,则当 0 x − a 时,有 x − a , 即 x a x a = → lim . 例 9 验证 2. 2 2 lim 2 2 = − + → x x x x 证明 . 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x x = − + − + − = − + 例 10 验证 . 5 12 2 7 3 3 3 9 lim 2 3 2 3 = − + − + − → x x x x x x
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 证明由x≠3, |x23-3x2+3x-912x2+3)(x-3)12 2x2-7x+3-5(2x-0x-3)-5 |x2+3125x-9x-35x-9x-3 2x-155px- 2x-1 为使5x-9=5x-15+6≤5r-3到+6≤1l,需有x-31 需有r-30而趋于0时,应按(x)=x2来考察函数值的变化趋势:当x0而趋于0时来 考察.为此,引进“单侧极限”的概念. (二)单侧极限的定义 定义3设函数∫在U(x:)内有定义,A为定数.若对任给的s>0,36(0,使得 当,<x<x+6时有1f(x)-AkE,则称数A为函数∫当x趋于x,时的右极限,记作 国=A或)→4x→x或6+0)=A
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 7 证明 由 x 3, 5 12 (2 1) ( 3) ( 3) ( 3) 5 12 2 7 3 3 3 9 2 2 3 2 − − − + − − = − + − + − x x x x x x x x x = . 2 1 5 9 3 52 1 5 9 3 5 12 2 1 3 2 − − − − − − − = − + x x x x x x x x 为使 5x −9 = 5x −15+ 6 5 x −3 + 6 11, 需有 x −3 1; 为使 2x −1 = 2x − 6 + 5 5− 2 x −3 1, 需有 x − 3 2. 于是, 倘限制 0 x −3 1 , 就有 5 12 2 7 3 3 3 9 2 3 2 − − + − + − x x x x x 2 1 5 9 3 − − − x x x 11 3. 1 11 3 = − − x x . 练习 1 1、证明 3 1 1 lim 3 x 1 x → x − = − ; 2、证明 6 5 lim 6 x x →+ x + = . 三、单侧极限 (一) 引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同,如 2 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x x = 或函数在某些点仅在其一侧有定义,如 2 f x x x ( ) , 0 = . 这时,如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢?此时,不能再用前面的定义(讨论方法), 而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论 1 f x( ) 在 x →0 时的极限.要在 x = 0 的左右两侧分别讨论. 即当 x 0 而趋于 0 时,应按 2 1 f x x ( ) = 来考察函数值的变化趋势;当 x 0 而趋于 0 时,应按 1 f x x ( ) = 来考察函数值的变化趋势;而对 2 f x( ) ,只能在点 x = 0 的右侧,即 x 0 而趋于 0 时来 考察.为此,引进“单侧极限”的概念. (二) 单侧极限的定义 定义 3 设函数 f 在 0 0 U x( ; ) + 内有定义,A为定数.若对任给的 0, ( ) 0 ,使得 当 0 0 x x x + 时有 | ( ) | f x A − , 则称数A为函数 f 当 x 趋于 0 x 时的右极限,记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → + 或 0 f x A ( 0) + =
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 类似可给出左极限定义(U(化:),无-60,由A,36>0,使得当00,由即)=A,38>0,使得当00,使得当0<-x<d时,有闭-4<E.令=m6,), 当0<-<时,有)-A<c,故网f国=4 注:1)利用此可验证函数极限的存在,如由定理3.1知:1m(x)=0.还可说明某些函数 极限不存在,如由例2知imsgn x不存在.2)f化+0),化,-0),化)可能毫无关系,如例 作业教材P47一482一7
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 8 类似可给出左极限定义( 0 0 U x( ; ) − , 0 0 x x x − , 0 lim ( ) x x f x A → − = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → − 或 0 f x A ( 0) − = ). 注 右极限与左极限统称为单侧极限. (三) 例子 例 1 讨论函数 1 f x( ) 在 x = 0 的左、右极限. 例 2 讨论 sgn x 在 x = 0 的左、右极限. 例 3 讨论函数 2 1− x 在 1 处的单侧极限. (四) 函数极限 0 lim ( ) x x f x → 与 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 的关系 定理 3.1 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x A f x f x A → → → + − = = = . 证 明 必要性 : 0 , 由 f x A x x = → lim ( ) 0 , 0 , 使得当 0 x − x0 时,有 f (x) − A ,特别地当 0 x − x0 时,有 f (x) − A ,故 f x A x x = → + lim ( ) 0 0 . 同理当 0 x0 − x 时,也有 f (x) − A , 故 f x A x x = → − lim ( ) 0 0 . 充分性: 0 , 由 f x A x x = → + lim ( ) 0 0 , 1 0, 使得当 0 − 0 1 x x 时,有 f (x) − A , 又由 f x A x x = → − lim ( ) 0 0 , 2 0, 使得当 0 0 − 2 x x 时,有 f (x) − A . 令 min( , ) = 1 2 , 当 0 x − x0 时,有 f (x) − A ,故 f x A x x = → lim ( ) 0 . 注:1)利用此可验证函数极限的存在,如由定理 3.1 知: 1 0 lim ( ) 0 x f x → = .还可说明某些函数 极限不存在,如由例 2 知 0 limsgn x x → 不存在.2) 0 f x( 0) + , 0 f x( 0) − , 0 f x( ) 可能毫无关系,如例 2. 作业 教材 P47—48 2—7